[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷18及答案与解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 已知 A 是四阶矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,若 A*的特征值是 1,一 1,2,4,那么不可逆矩阵是( )(A)AE 。(B) 2AE。(C) A+2E。(D)A 一 4E。2 已知 A 是三阶矩阵,r(A)=1,则 =0( )(A)必是 A 的二重特征值。(B)至少是 A 的二重特征值。(C)至多是 A 的二重特征值。(D)一重、二重、三重特征值都有可能。3 设 1, 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1, 2,则1, A(1+2)线性
2、无关的充分必要条件是( )(A) 10。(B) 20。(C) 1=0。(D) 2=0。4 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ,若向量组 ,A,A 2线性无关,而A3=3A 一 2A2,那么矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量是( )(A)。(B) A2。(C) A2一 A。(D)A 2+2A 一 3。5 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则( )(A)EA=E B。(B) A 与 B 有相同的特征值和特征向量。(C) A 和 B 都相似于一个对角矩阵。(D)对任意常数 t,tE 一 A 与 tE 一 B 相似。6 下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( )7 设
3、 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,一 2,相应的特征向量依次是 1, 2, 3,若 P=(1,2 3,一 2),则 P1 AP=( )8 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0,1,2。设 B=A3 一 2A2,则 r(B)=( )(A)1。(B) 2。(C) 3。(D)不能确定。二、填空题9 矩阵 的非零特征值为_。10 已知 =12是 A= 的特征值,则 a=_。11 已知 =(1,3,2) T,=(1,一 1,一 2)T,A=E 一 BT,则 A 的最大的特征值为_。12 若三维列向量 , 满足 T=2,其中 T 为 的转置,则矩阵 T 的非零特征值为_。13 设 A 是三阶矩阵,且各行元
4、素的和都是 5,则矩阵 A 一定有特征值_。14 已知矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量,那么 A 的三个特征值是_。15 设矩阵 A 与 B= 相似,则 r(A)+r(A 一 2E)=_。16 设三阶方阵 A 的特征值是 1,2,3,它们所对应的特征向量依次为1, 2, 3,令 P=(31, 2,2 2),则 P1 AP=_。17 设二阶实对称矩阵 A 的一个特征值为 i=1,属于 1 的特征向量为(1,一 1)T,若A= 一 2,则 A=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设矩阵 A= ,行列式A= 一 1,又 A*的属于特征值 0 的一个特征向量为 =(一 1
5、,一 1,1) T,求 a,b,c 及 0 的值。18 已知 的一个特征向量。19 求参数 a, b 及特征向量 p 所对应的特征值;20 问 A 能不能相似对角化?并说明理由。21 设矩阵 A= 的特征值有一个二重根,求 a 的值,并讨论矩阵 A 是否可相似对角化。22 设矩阵 A= 。当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P,使得 P1 AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵。22 设 A 是三阶方阵, 1, 2, 3 是三维线性无关的列向量组,且A1=2+3,A 2=3+1,A 3=1+2。23 求 A 的全部特征值;24 A 是否可对角化?24 设三阶矩阵 A 的特征值 1=1, 2
6、=2, 3=3 对应的特征向量依次为 1=(1,l ,1)T, 2=(1,2,4) T, 3=(1, 3,9) T。25 将向量 =(1,1,3) T 用 1, 2, 3 线性表示;26 求 An。26 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1=(一 1,2,一 1)T, 2=(0,一 1,1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。27 求 A 的特征值与特征向量;28 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 QTAQ=A。29 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1, 2=3=1,对应于 1 的特征向量为1=(0,1,1) T,求 A。30 28已知矩阵 A= 有特征值
7、=5,求 a 的值;当 a0 时,求正交矩阵Q,使 Q1 AQ=A。考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1,一 1,2,4,所以 A*=一 8,又A *=A 41 ,因此A 3=一 8,于是A=一 2。那么,矩阵 A 的特征值是:一 2,2,一 1,一 。因此,A 一 E 的特征值是一 3,1,一 2,一 。因为特征值非零,故矩阵 AE 可逆。同理可知,矩阵 A2E 的特征值中含有 0,所以矩阵 A+2E 不可逆。所以应选 C。【知识模块】 矩阵的特征
8、值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。r(A)=l,即 r(OEA)=1, (OEA)x=0 必有两个线性无关的特征向量,故 =0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值,也可能是三重。例如 A= ,r(A)=1,但 =0 是三重特征值。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A(1+2)=0,则(k 1+k21)1+k222=0。 因为 1, 2 线性无关,所以 k1+k21=0,且 k22=0。 当 20 时,显然有 k1=0,k 2=0,此时1, A(1+2)线性
9、无关;反过来,若 1,A( 1+2)线性无关,则必然有 20(否则,1 与 A(1+2)=11 线性相关),故应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2 一 3A=0。故 (A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A2 一 A)。 因为 ,A ,A 2 线性无关,必有 A2 一 A0,所以 A2 一 A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量,即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量。所以应选C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B,所以选项 A 不正确。
10、 相似矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,但不一定具有相同的特征向量,故选项 B 也不正确。 对于选项 C,因为根据题设不能推知 A,B 是否相似于对角阵,故选项 C 也不正确。 综上可知选项 D 正确。事实上,因 A 与 B 相似,故存在可逆矩阵 P,使 P 1 AP=B。 于是 P1 (tEA)P=tE 一 P1 AP=tE 一 B, 可见对任意常数 t,矩阵 tE 一 A 与 tE 一 B 相似。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中,r(A)=1,r(B)=2 ,故 A 和 B 不相似。选项 B 中,tr(A)=9,
11、tr(B)=6,故 A、和 B 不相似。选项 D 中,矩阵 A 的特征值为 2,2,一 3,而矩阵 B 的特征值为 1,3,一 3,故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。事实上,在选项 C 中,矩阵 A 和 B 的特征值均为 2,0,0。由于 A 和 B 均可相似对角化,也即 A 和 B 均相似于对角矩阵 ,故由矩阵相似的传递性可知 A 和 B 相似。所以选 C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32,有 A(一 2)=3(一 2),即当 2 是矩阵 A 属于特征值=3 的特征向量时,一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理
12、,2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =一 2 的特征向量。当 P1 AP= 时,P 由 A 的特征向量构成,由 A 的特征值构成,且 P 与 的位置是对应一致的,已知矩阵 A 的特征值是1,3,一 2,故对角矩阵 应当由 1,3,一 2 构成,因此排除选项 B、C 。由于23 是属于 =一 2 的特征向量,所以一 2 在对角矩阵 中应当是第二列,所以应选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵 A 有三个不同的特征值,所以 A 必能相似对角化,即存在可逆矩阵 P,使得 P1 AP= ,于是 P1 BP=P1 (A3 一 2A2)P=P1 A3P 一
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