数学建模——回归分析模型.ppt

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1、在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,Keep focusedFollow me Jiang,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,回归分析名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题等。几类常用的回归模型：一元线性回归 线性回归多元线性回归 非线性回归,有何区别与联系？,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,comparing.,在生活中竞赛，在竞赛

2、中生活,数学建模回归分析模型,一元线性回归模型模型随机变 量（因变量）与实际变 量（因变量）存在着某种相关关系。现对 做正态假设确定这种关系为：其中 为未知参数，与 无关。上式等价于这就是一元线性回归模型，为回归系数。是随机误差，是人们不可控制的。,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,一元线性回归模型 估计 方法：最小二乘法 求解：对 取不全相同的值做独立实验，得到样本。记第 组实验的误差 ，使总误差尽量小，即下式有最小值：,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,一元线性回归模型 估计 令其偏导数为零，求得最大似然估计为：这样我们就求得了未知参数 的值，我们记为关于的

3、经验回归方程，简称回归方程，其图形为回归直线。上面右式为计算 公式， 越小，用一次线性函数研究随机变量与的关系就越有效。,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,一元线性回归模型线性假设的显著性检验 必要性：上面我们假设 关于 的回归形式是否为线性函数需要检验，称为拟合优度检验 方法：相关系数法（还有其他方法）样本相关系数如右式。 为相关系数。与 无关系，不相关存在相关关系,线性相关关系显著,线性相关关系不显著,判别准则,接近1,接近0,线性相关关系显著,接近1,接近0,线性相关关系显著,接近1,接近0,线性相关关系显著,接近1,当R R(n-2), （通常取0.8） 认为X与Y之间

4、的线性相关关系显著，反之，则不显著,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,一元线性回归模型应用举例在研究机器工作效应时，测得工作时间与出品率如下表所示，求出品率关于工作时间的回归方程并作拟合优度检验。,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,解：,所以回归方程为：,相关系数值为：,相关系数接近1，说明随机变量与x具有显著的相关性，线性回归的拟合度较高，检验通过,请同学将结论与实际问题结合，分析工作时长与出品率的关系，并预测20小时和6小时时的出品率？时间趋于无限大呢？,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,一元线性回归的Excel实现 （1）将数据导入Exce

5、l工作表； （2）工具栏中选插入图表XY散点图； （3）选择数据区域，填写标题、图例等内容，完成； （4）右击散点图选添加趋势线线性（类型）在选项中选显示公式和R平方值。此时作出了回归图并求得方程； （5）在工具栏中选工具数据分析找到回归并确定选择数据区域、输出数据区域，勾选置信度残差、标准残差、线性拟合图。此时得到几个表格，可查得回归系数、常数项及R平方值。,请同学用Excel完成上面的例题,Excel是做一元线性回归的其中一种 软件，还有Spss，Matlab都可以做,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,多元线性回归模型模型现实生活中，一个变量往往受到多个因素的影响，假设有

6、个因素，称为解释变量，这种多个解释变量与因变量构成的这种关系称为多元线性关系，由这种关系构成的函数关系式称为多元线性回归模型，其一般式如下：称为回归系数。,矩阵形式,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,多元线性回归模型 估计 方法：最小二乘法 基本思想：寻找实际值与拟合值的离差平方和最小的回归直线。 由于参数未知，需要样本回归函数，如下所示：,类比一元线性回归模型为使误差最小,这里称为残差，则下式取最小值，,残差平方和,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,多元线性回归模型 估计令上式 对 的偏导数为零，得到正规方程组，用线性代数的方法求解，求得值为：,其中 为矩阵形

7、式，具体如下：,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,多元线性回归模型线性假设的显著性检验 必要性：与一元线性回归模型类似，多元线性回归模型也需要进行拟合优度检验。样本观测值和回归函数因变量满足关系：可决系数（判定系数） 为:可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,多元线性回归模型应用实例 例2 某厂生产的一种电器的销售量与竞争对手的价格 和本厂的价格 有关。下表是该商品在10个城市的销售记录。,请建立销售量与两个价格之间的关系，并进行检验,在生

8、活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,解：分别画出y与x1，y与x2的散点图，判断关系，可以看出y与x2可以看出有线性关系，而y与x1关系较为复杂，现假设关系为：,在生活中竞赛，在竞赛中生活,编写如下Matlab程序： x1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150; x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250; y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85; x=ones(10,1),x1,x2; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x); b,bint,st

9、ats 结果：stats =0.6527 6.5786 0.0247 R平方值为0.6527，不接近1，p=0.0247，在 时模型失效 进一步讨论采用二次函数形式：,在生活中竞赛，在竞赛中生活,编写如下Matlab程序： x1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150; x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250; y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85; x=x1 x2; rstool(x,y,purequadratic),得到回归系数为： beta =-312.5871 7.270

10、1 -1.7337 -0.0228 0.0037 rmse =16.6436这时的剩余残差为16.6436，已经达到最小，所以此时回归方程可用。,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,注 意 回归分析模型主要用于分析几个变数之间的相关关系，定量的给出数学表达式，即回归方程，同时对未知量作出预测，因果分析或寻找最值情况，根据变量个数灵活选取； 由于模型最初是对变量关系的一种假设，必须要做显著性检验； 用回归分析解决问题时不仅仅是得到方程式，要结合问题对结果进行分析，升华成结论。,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,多元线性回归回归系数的确定 （1）偏导数为零,（2）得到正规方程组,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,（3）用矩阵式求解,在生活中竞赛，在竞赛中生活,数学建模回归分析模型,Thankyou,