第一章 基本概念.ppt
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1、第一章 基本概念,1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域,课外学习1: 山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村-评析数学进程中的三次危机,惠州学院数学系,在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。 康托尔(Cantor,集合论的奠基人,18451918)算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 -高斯(Gauss,1777-1855)数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。 -麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879),惠州学院数学系,1.1 集合,内容分布 1
2、.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法 重点、难点 集合概念、证明集合相等,惠州学院数学系,1.1.1 集合的描述性定义,表示一定事物的集体,我们把它们称为集合或集,如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,表示元素. 如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作 ;或者说A包含a,记作Aa 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 ;或者说A不包含a,记作,例如,设A是
3、一切偶数所成的集合,那么4A, 而 .,惠州学院数学系,一个集合可能只含有有限多个元素,这样的集合叫做有限集合. 如,前十个正整数的集合;一个学校的全体学生的集合;一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的,就叫做无限集合. 如,全体自然数的集合;全体实数的集合;小于的全体有理数的集合等等都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为:,惠州学院数学系,1.1.2 集合的表示方法,枚举法:,例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限集合 表示成: . 前五个正整数的集合就可以记作 .,拟枚举:,自然数的集合可以记作 , 拟枚举可以用来表示能够排列出来
4、的的集合, 像自然数、整数,概括原则:,惠州学院数学系,表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.,常用的数集: 全体整数的集合,表示为Z 全体有理数的集合,表示为Q 全体实数的集合,表示为R 全体复数的集合,表示为C,惠州学院数学系,1.1.3 集合的包含和相等,设A,B是两个集合,如果A的每一元素都是B的元素,那么就说是的子集,记作 (读作属于),或记作 (读作包含). 根据这个定义,是的的子集必要且只要对于每一个元素x,如果 ,就有 .,例如,一切整数的集合是一切有理数的集合的子集,而后者又是一切实数的集合的子集.,A是B的子集,记作:,惠州学院数学系,如果A不是B的子集,就记作:
5、或 . 因此,A不是B的子集,必要且只要A中至少有一个元素不属于B,即:,例如,一节可以用被有整除的整数所成的集合,不是一切偶数所成的集合的子集,因为3属于前者但不属于后者. 集合1,2,3不是2,3,4,5的子集.,根据定义,一个集合A总是它自己的子集,即:,如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的,就说A与B相等,记作:A=B. 我们有,惠州学院数学系,例如,设A=1,2,B是二次方程 的根的集合,则A=B.,惠州学院数学系,1.1.4 集合的运算及其性质,并运算 设A,B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集(简称并),记作 . 如图1所示.,例如,A
6、=1,2,3,B =1,2,3,4,则,根据定义,我们有,惠州学院数学系,交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交),记作: ,如图2所示.,例如,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5,则,我们有,惠州学院数学系,两个集合A与B不一定有公共元素,我们就说它们的交集是空集.,例如,设A是一切有理数的集合,B是一切无理数的集合,那么 就是空集. 又如方程 的实数根的集合为空集.,空集是任意集合的子集.,惠州学院数学系,运算性质:,分配律 :,证明 设 ,那么 且 ,于是 且至少属于B与C 中的之一. 若 ,那么因为 ,所以, ;同样,若 ,则 . 不论哪一种情形都有 .
7、 所以,反之,若 ,那么 或者 . 但 , ,所以不论哪一种情形都有 ,所以这就证明了上述等式.,惠州学院数学系,两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去,设 是给定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并;由 的一切公共元素所成的集合叫做的 交. 的并和交分别记为: 和 . 我们有,惠州学院数学系,积运算: 设设A,B是两个集合,令称为A与B的笛卡儿积(简称为积). 是一切元素对(a, b )所成的集合,其中第一个位置的元素a取自A,第二个位置的元素b取自B.,惠州学院数学系,12 映射,一、 内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成
8、 1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成,满射、单射、可逆映射的判断。 三、 重点、难点 映射的合成,满射、单射、可逆映射的判断。,惠州学院数学系,1.2.1 映射的概念及例,定义1 设A,B 是两个非空的集合,A到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于集合A中的每一个元素 x,有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应.,用字母f,g,表示映射. 用记号 表示f 是A到B的一个映射.,如果通过映射f,与A中元素x对应的B中元素是y,那么就写作,这时y 叫做 x 在f 之下的象,记作 .,惠州学院数学系,例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整
9、数n,令 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射,,例4 设A是一切非负被减数的集合,B是一切实数的集 合. 对于每一 ,令 与它对应. f 不是A 到B的映射, 因为当 时, 不能由x唯一确 定.,惠州学院数学系,例5 令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射,因为 .,例6 设A是任意 一个集合,对于每一 ,令 与它对应:,这自然是A到A的一个映射,这个映射称为集合A的恒等映射.,注意: A与B可以是相同的集合,也可以是不同的集合 对于A的每一个元素x,需要B中一个唯一确定的元素与它对应. 一般说来,B中的元素不一定都是A中元素的象. A中不相同的元素的象可能相同.,惠州学院数
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