2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学试卷及答案解析.pdf

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1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 150 分。 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答。若在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并

2、收回。 参考公式 如果事件 ,A B互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 ,A B，相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ()()()P AB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) kk nk nn Pk Cp p = 第卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1对于实数 ,abc， “ ab ”是“ 22 ac b

3、c ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 条件 【答案】B 【解析】主要考查不等式的性质。当 C=0 时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边 2若集合 |1Axx=， 0Bxx=，则 AB=I A 11xx B 0 xx C 01xx D 【答案】C 【解析】考查集合与简单不等式。解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知 集合 A 是由大于等于 -1 小于等于 1 的数构成的集合，所以不难得出答案 3 10 (1 )x 展开式中 3 x 项的系数为 A 720 B 720 C 120 D 120 【答案】D 【解析】 考查二项式定理展开式中特

4、定项问题， 解决此类问题主要是依据二项展开式的通项， 由 4若 42 ()f xaxbxc=+满足 (1) 2f = ，则 (1)f = A 4 B 2 C 2 D 4 【答案】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择 B 5不等式 22xx的解集是 A (,2) B (,) + C (2, )+ D (,2)(2,) +U 【答案】A 【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可 以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。 但此题利用代值法会更好 6函数 2 sin sin 1y xx=+的值域为 A 1,1 B 5 ,1

5、 4 C 5 ,1 4 D 5 1, 4 【答案】C 【解析】 考查二次函数型值域问题。 通过函数形状发现此函数很像二次函数， 故令 sin Xt= 可得 2 1y tt=+ 从而求解出二次函数值域 7等比数列 n a 中， 15 252 |1, 8, ,aa aaa= 则 n a = A 1 (2) n B 1 (2 ) n C (2) n D (2) n 【答案】A 【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。 8若函数 1 ax y x = + 的图像关于直线 y x= 对称，则 a为 A 1 B 1 C 1 D任意实数 【答案】B 【解析】 考查反函数， 因为图像本身关于直线

6、 y x= 对称故可知原函数与反函数是同一函数， 所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。 或利用反函数的性质，依题知（ 1， a/2）与（ a/2， 1）皆在原函数图故可得 a=-1 9有 n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 p (0 1)p ， 所以不存在实数 a，使得 ()f x 是 R 上的单调函数 . 18 （本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随 机（即等可能）为你打开一个通道 .若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门 .再

7、次到达智能门时，系统会随机打开 一个你未到过 的通道，直至走出迷宫为止 . (1)求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率； (2)求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率 . 【解析】 考查数学知识的实际背景， 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、 随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 解： (1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件，则 1 () 3 PA= . (2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件，则 1111 () 6662 PB= +=. 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( ) (1 cot )sin 2sin

8、( )sin( ) 44 fx x x x x =+ + . （ 1）若 tan 2 = ，求 ()f ； （ 2）若 , 12 2 x ，求 ()f x 的取值范围 . 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数 化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题 . 解： （ 1） 2 () sin sin cos cos2f xxxxx=+ + 1cos2 1 sin 2 cos 2 22 x x x =+ 11 (sin 2 cos 2 ) 22 xx=+ 由 tan 2 = 得 22 2 2sin cos 2 tan 4

9、 sin 2 sin cos 1 tan 5 = + ， 22 2 22 2 cos sin 1 tan 3 cos 2 sin cos 1 tan 5 = + ， 所以 3 () 5 f = . （ 2）由（ 1）得 1121 ( ) (sin 2 cos 2 ) sin(2 ) 2242 fx x x x =+= + 由 , 12 2 x 得 55 2, 4124 x + ，所以 2 sin(2 ) ,1 42 x + 从而 2112 ( ) sin(2 ) 0, 242 fx x + =+. 20 （本小题满分 12 分） 如图， BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 M

10、CD平 面 BCD， AB 平面 BCD， 23AB = . （ 1）求直线 AM 与平面 BCD所成的角的大小； （ 2）求平面 ACM 与平面 BCD所成的二面角的正弦值 . 【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间 向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理 能力 解法一： （ 1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD. 又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD，所以 MO AB， A、 B、 O、 M 共面 .延长 AM、 BO 相交于 E，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所 成的角 . OB=

11、MO= 3 ， MO AB，则 1 2 EO MO EBAB = = ， 3EO OB=， 所以 23EB AB=，故 45AEB= o . （ 2） CE 是平面 ACM 与平面 BCD的交线 . 由（ 1）知， O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形 . 作 BF EC 于 F， 连 AF， 则 AF EC， AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 . 因为 BCE=120，所以 BCF=60 . sin 60 3BF BC= = o ， D M C B A _C _H _M _D _E _ B _O _ A _F tan 2 AB BF =， 25 sin 5 = 所以，所

12、求二面角的正弦值是 25 5 . 解法二： 取 CD 中点 O， 连 OB， OM， 则 OB CD， OM CD， 又平面 MCD平面 BCD, 则 MO平面 BCD. 以 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间 直角坐标系如图 . OB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（ 0， 0， 0） ， C（ 1， 0， 0） ， M（ 0， 0， 3 ） ， B（ 0，- 3 ， 0） ， A（ 0，- 3 ， 2 3 ） ， （ 1）设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 . 因 AM = uuuur （ 0， 3 ， 3 ） ，平面 BCD的法向量

13、为 (0,0,1)n= r . 则有 32 sin cos , 2 6 AM n AM n AM n = uuuurr uuuurr uuuurr ，所以 45 = o . （ 2） (1,0, 3)CM = uuuur ， (1, 3,23)CA= uuur . 设平面 ACM 的法向量为 1 (, ,)nxyz= ur ，由 1 1 nCM nCA uruuur uruur 得 30 3230 xz xy z + = + = .解得 3x z= ， y z= ，取 1 (3,1,1)n = ur . 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1)n= r ，则 1 1 1 1 cos , 5

14、nn nn nn = = ur r ur r ur r 设所求二面角为 ，则 2 125 sin 1 ( ) 5 5 = = . 21 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 1 C ： 22 x by b+=经过椭圆 2 C ： 22 22 1( 0) xy ab ab + =的两个焦点 . (1) 求椭圆 2 C 的离心率； (2) 设 (3, )Qb， 又 ,M N 为 1 C 与 2 C 不在 y 轴上的两个交点， 若 QMN 的重心在抛物线 1 C 上，求 1 C 和 2 C 的方程 . 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形 N x Q M O y y x M D C

15、 B O A z N x Q M O y 来确认方程。 解： （ 1）因为抛物线 1 C 经过椭圆 2 C 的两个焦点 12 (,0),(,0)Fc Fc ， 所以 22 0cb b+= ，即 22 cb= ，由 222 2 2abc c=+= 得椭圆 2 C 的离心率 2 2 e= . （ 2）由（ 1）可知 22 2ab= ，椭圆 2 C 的方程为： 22 22 1 2 xy bb += 联立抛物线 1 C 的方程 22 x by b+=得： 22 20ybyb =， 解得： 2 b y = 或 yb= （舍去） ，所以 6 2 x b= ， 即 66 (,),(,) 22 22 bb M

16、bNb ，所以 QMN 的重心坐标为 (1, 0) . 因为重心在 1 C 上，所以 22 10bb+= ，得 1b= .所以 2 2a = . 所以抛物线 1 C 的方程为： 2 1x y+=， 椭圆 2 C 的方程为： 2 2 1 2 x y+=. 22 （本小题满分 14 分） 正实数数列 n a 中 , 12 1, 5aa=,且 2 n a 成等差数列 . (1) 证明数列 n a 中有无穷多项为无理数； (2)当 n为何值时， n a 为整数，并求出使 200 n a ， 故 24 1 k n a . 24 1 k n a ,与 ( 24)( 24) 1 kk nn aa +=矛盾，

17、 所以 2 124 k n a =+ （ * kN ）都是无理数，即数列 n a 中有无穷多项为无理数 ; 方法二：因为 2 1 124,( ) n annN + =+ ，当 n的末位数字是 3, 4,8, 9 时， 124n+ 的末位 数字是 3和 7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时 1 124 n an + =+ 不是有 理数，因这种 n有无穷多，故这种无理项 1n a + 也有无穷多 (2) 要使 n a 为整数，由 (1)(1)24(1) nn aa n+=可知： 1, 1 nn aa+同为偶数，且其中一个必为 3 的倍数，所以有 16 n am = 或 16 n am

18、+= 当 61 n am=+时，有 22 36 12 1 1 12 (3 1) n amm mm=+=+ +（ mN ） 又 (3 1)mm+ 必为偶数，所以 61 n am= + （ mN ）满足 2 124( 1) n an= + 即 (3 1) 1 2 mm n + =+（ mN ）时， n a 为整数； 同理 * 61( ) n ammN=有 22 36 12 1 1 12 (3 1) n amm mm= +=+ （ * mN ） 也满足 2 124( 1) n an=+ ，即 (3 1) 1 2 mm n = + （ * mN ）时， n a 为整数； 显然 * 61( ) n am

19、mN=和 61 n am= + （ mN ）是数列中的不同项； 所以当 (3 1) 1 2 mm n + =+（ mN ）和 (3 1) 1 2 mm n = + （ * mN ）时， n a 为整数； 由 6120 n am=+ （ mN ）有 033m ， 由 6 1 200 n am= （ * mN ）有 133m . 设 n a 中满足 200 n a ， 所以不存在实数 a，使得 ()f x 是 R 上的单调函数 . 18 （本小题满分 12 分） 解： (1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件，则 1 () 3 PA= . (2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3

20、小时这一事件，则 1111 () 666 2 PB= +=. 19 （本小题满分 12 分） 解： （ 1） 2 () sin sin cos cos2f xxxxx=+ + 1cos2 1 sin 2 cos 2 22 x x x =+ 11 (sin 2 cos 2 ) 22 xx=+ 由 tan 2 = 得 22 2 2sin cos 2 tan 4 sin 2 sin cos 1 tan 5 = + ， 22 2 22 2 cos sin 1 tan 3 cos 2 sin cos 1 tan 5 = + ， 所以 3 () 5 f = . （ 2）由（ 1）得 1121 ( ) (s

21、in 2 cos 2 ) sin(2 ) 2242 fx x x x =+= + 由 , 12 2 x 得 55 2, 4124 x + ，所以 2 sin(2 ) ,1 42 x + 从而 2112 () sin(2 ) 0, 242 fx x + =+. 20 （本小题满分 12 分） 解法一： （ 1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD. 又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD，所以 MO AB， A、 B、 O、 M 共面 .延 长 AM、 BO 相交于 E，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 . OB=MO= 3 ， MO AB

22、，则 1 2 EO MO EBAB = = ， 3EO OB=， 所以 23EB AB=，故 45AEB= o . （ 2） CE 是平面 ACM 与平面 BCD的交线 . 由（ 1）知， O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形 . 作 BF EC 于 F， 连 AF， 则 AF EC， AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 . 因为 BCE=120，所以 BCF=60 . sin 60 3BF BC= = o ， tan 2 AB BF =， 25 sin 5 = 所以，所求二面角的正弦值是 25 5 . 解法二： 取 CD 中点 O， 连 OB， OM， 则 OB CD，

23、OM CD， 又平面 MCD平面 BCD, 则 MO平面 BCD. 以 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间 直角坐标系如图 . OB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（ 0， 0， 0） ， C（ 1， 0， 0） ， M（ 0， 0， 3 ） ， B（ 0，- 3 ， 0） ， A（ 0，- 3 ， 2 3 ） ， （ 1）设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 . 因 AM = uuuur （ 0， 3 ， 3 ） ，平面 BCD的法向量为 (0,0,1)n= r . 则有 32 sin cos , 2 6 AM n AM n AM n =

24、 uuuurr uuuurr uuuurr ，所以 45 = o . （ 2） (1,0, 3)CM = uuuur ， (1, 3,23)CA= uuur . 设平面 ACM 的法向量为 1 (, ,)nxyz= ur ，由 1 1 nCM nCA uruuur uruur 得 30 3230 xz xy z + = + = .解得 z y x M D C B O A z _C _H _M _D _E _ B _O _ A _F 3x z= ， y z= ，取 1 (3,1,1)n = ur . 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1)n= r ，则 1 1 1 1 cos , 5 nn

25、nn nn = = ur r ur r ur r 设所求二面角为 ，则 2 125 sin 1 ( ) 55 = = . 21. （本小题满分 12 分） 解： （ 1）因为抛物线 1 C 经过椭圆 2 C 的两个焦点 12 (,0),(,0)Fc Fc ， 所以 22 0cb b+= ，即 22 cb= ，由 222 2 2abc c=+= 得椭圆 2 C 的 离心率 2 2 e= . （ 2）由（ 1）可知 22 2ab= ，椭圆 2 C 的方程为： 22 22 1 2 xy bb += 联立抛物线 1 C 的方程 22 x by b+=得： 22 20ybyb =， 解得： 2 b y

26、= 或 yb= （舍去） ，所以 6 2 x b= ， 即 66 (,),(,) 22 22 bb MbNb ，所以 QMN 的重心坐标为 (1, 0) . 因为重心在 1 C 上，所以 22 10bb+= ，得 1b= .所以 2 2a = . 所以抛物线 1 C 的方程为： 2 1x y+=， 椭圆 2 C 的方程为： 2 2 1 2 x y+=. 22 （本小题满分 14 分） 证明： （ 1）由已知有： 2 124( 1) n an=+ ，从而 1 24( 1) n an= +， 方法一：取 21 124 k n = ，则 2 124 k n a =+ （ * kN ） 用反证法证明这

27、些 n a 都是无理数 . N x Q M O y 假设 2 124 k n a =+ 为有理数，则 n a 必为正整数，且 24 k n a ， 故 24 1 k n a . 24 1 k n a ,与 ( 24)( 24) 1 kk nn aa +=矛盾， 所以 2 124 k n a =+ （ * kN ）都是无理数，即数列 n a 中有无穷多项为无理数 ; 方法二：因为 2 1 124,( ) n annN + =+ ，当 n的末位数字是 3, 4,8, 9 时， 124n+ 的末位 数字是 3和 7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时 1 124 n an + =+ 不是

28、有 理数，因这种 n有无穷多，故这种无理项 1n a + 也有无穷多 (2) 要使 n a 为整数，由 (1)(1)24(1) nn aa n+=可知： 1, 1 nn aa+同为偶数，且其中一个必为 3 的倍数，所以有 16 n am = 或 16 n am+= 当 61 n am=+时，有 22 36 12 1 1 12 (3 1) n amm mm=+=+ +（ mN ） 又 (3 1)mm+ 必为偶数，所以 61 n am= + （ mN ）满足 2 124( 1) n an= + 即 (3 1) 1 2 mm n + =+（ mN ）时， n a 为整数； 同理 * 61( ) n

29、ammN=有 22 36 12 1 1 12 (3 1) n amm mm= +=+ （ * mN ） 也满足 2 124( 1) n an=+ ，即 (3 1) 1 2 mm n = + （ * mN ）时， n a 为整数； 显然 * 61( ) n ammN=和 61 n am= + （ mN ）是数列中的不同项； 所以当 (3 1) 1 2 mm n + =+（ mN ）和 (3 1) 1 2 mm n = + （ * mN ）时， n a 为整数； 由 6120 n am=+ （ mN ）有 033m ， 由 6 1 200 n am= （ * mN ）有 133m . 设 n a 中满足 200 n a 的所有整数项的和为 S ，则 (5 11 197) (1 7 199)S =+ +LL 5 197 1 199 33 34 6733 22 + + =+=