2009年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试卷(理工农医类)及答案解析.pdf
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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(理工农医类) 本试卷满分150 分,考试时间120分钟 第卷 考生注意: 1答题前,务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码请认真核准条 形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后,用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 4所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效 5考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回 参考公式: 如果事件 AB, 互斥
2、,那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 AB, 相互独立,那么 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P,那么 n次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率 () (1 ) ( 01,2 ) kk nk nn Pk CP P k n =L, 以 R为半径的球体积: 3 4 3 VR= 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1直线 1y x=+与圆 22 1xy+=的位置关系为( ) A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 2已
3、知复数 z 的实部为 1 ,虚部为 2,则 5i z =( ) A 2 i B 2 i+ C 2 i D 2 i + 3 28 2 ()x x + 的展开式中 4 x 的系数是( ) A16 B70 C560 D120 4已知 1, 6, ( ) 2= =nullababa,则向量 a与向量 b的夹角是( ) A 6 B 4 C 3 D 2 5不等式 2 31 3x xaa+ 对任意实数 x恒成立,则实数 a的取值范围为( ) A (,14,) +U B (,25,) +U C 1, 2 D (,12,)+U 6锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外
4、部特征 完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( ) A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 7设 ABC 的三个内角 ,A BC,向量 ( 3sin ,sin )A B=m , (cos , 3cos )B A=n ,若 1cos( )A B=+ +nullmn ,则 C=( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8已知 2 2 lim( ) 2 1 x x ax b x = + ,其中 ,ab R ,则 ab 的值为( ) A 6 B 2 C 2 D6 9已知二面角 l 的大小为 0 50 , P为空间中任意一点,则过点 P且与
5、平面 和平面 所成的角都是 0 25 的直线的条数为( ) A2 B3 C4 D5 10已知以 4T = 为周期的函数 2 1,(1, () 12,(1,3 mxx fx xx = ,其中 0m 。若方程 3()f xx= 恰有 5 个实数解,则 m的取值范围为( ) A 15 8 (,) 33 B 15 (,7) 3 C 48 (,) 33 D 4 (,7) 3 二、填空题:本大题共5 小题,每小题 5分,共25 分把答案写在答题卡相应位置上 11若 3AxRx= ,则 AB=I 12若 1 () 21 x f xa=+ 是奇函数,则 a = 13将4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每
6、个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) 14设 1 2a = , 1 2 1 n n a a + = + , 2 1 n n n a b a + = , * nN ,则数列 n b 的通项公式 n b = . 15已知双曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab =的左、右焦点分别为 12 (,0),(,0)Fc Fc ,若 双曲线上存在一点 P使 12 21 sin sin PFF a PF F c = ,则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题:本大题共6 小题,共75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 (本小题满分 13 分, ()小问 7 分,
7、()小问 6 分 ) 设函数 2 () sin( ) 2cos 1 46 8 f xx x = + ()求 ()f x 的最小正周期 ()若函数 ()y gx= 与 ()y fx= 的图像关于直线 1x = 对称,求当 4 0, 3 x 时 ()ygx= 的最大值 17 (本小题满分 13 分, ()问 7分, ()问6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为 2 3 和 1 2 ,且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中: ()两种大树各成活 1 株的概率; ()成活的株数 的分布列与期望 18 (本小题满分 13 分, ()问 5
8、分, ()问8 分) 设函数 2 () ( 0)f x ax bx k k=+在 0 x = 处取得极值, 且曲线 ()y fx= 在点 (1, (1)f 处的切线垂直于直线 210 xy+= ()求 ,ab的值; ()若函数 () () x e gx f x = ,讨论 ()gx的单调性 19 (本小题满分 12 分, ()问 5分, ()问7 分) 如题(19)图,在四棱锥 SABCD 中, ADBCnull 且 AD CD ;平面 CSD 平面 ABCD, ,22CS DS CS AD=; E为 BS 的中点, 2, 3CE AS=求: ()点 A到平面 BCS 的距离; ()二面角 E
9、 CD A的大小 20 (本小题满分 12 分, ()问 5分, ()问7 分) 已知以原点 O为中心的椭圆的一条准线方程为 43 3 y = ,离心 率 3 2 e= , M 是椭圆上的动点 ()若 ,CD的坐标分别是 (0, 3),(0, 3) ,求 MCMDnull 的 最大值; ()如题(20)图,点 A的坐标为 (1, 0) , B是圆 22 1xy+ = 上的点, N 是点 M 在 x轴上的射影,点 Q满足条件: OQ OM ON=+ uuur uuuuruur , 0QA BA= uuuruuur null 求线段 QB 的中点 P的 轨迹方程; 21 (本小题满分 12 分,
10、()问 5分, ()问7 分) 设 m个不全相等的正数 12 ,( 7) m aa a mL 依次围成一个圆圈 ()若 2009m= ,且 1 2 1005 ,aa aL 是公差为 d 的等差数列,而 1 2009 2008 1006 ,aa a aL 是公比为 qd= 的等比数列;数列 12 , m aa aL 的前 n 项和 () n Snm 满足: 3 2009 2007 1 15, 12SSS a=+,求通项 () n an m ; ()若每个数 () n an m 是其左右相邻两数平方的等比中项,求证: 22 167 12 . . . mm aaaamaa+ + ; 绝密启用前 20
11、09 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题(理工农医类)答案 一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分 (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C (7) C (8) D (9) B (10) B 二填空题:每小题 5分,满分 25分 (11) (0,3) (12) 1 2 (13) 36 (14) 1 2 n+ (15) (1, 21+ ) 三解答题:满分 75 分 (16)(本小题 13 分) 解: () ()f x =sin cos cos sin cos 46464 x xx = 33 sin cos 2424 x x = 3sin( ) 4
12、3 x 故 ()f x 的最小正周期为 T = 2 4 =8 ()解法一: 在 ()ygx= 的图象上任取一点 (, ()x gx ,它关于 1x= 的对称点 (2 , ( )x gx . 由题设条件,点 (2 , ( )x gx 在 ()yfx= 的图象上,从而 () (2 ) 3sin (2 ) 43 gx f x x = = 3sin 24 3 x = 3cos( ) 43 x + 当 3 0 4 x时, 2 34 3 3 x +,因此 ()y gx= 在区间 4 0, 3 上的最大值为 max 3 3cos 32 g = 解法二: 因区间 4 0, 3 关于 x = 1的对称区间为 2
13、 ,2 3 , 且 ()ygx= 与 ()yfx= 的图象关于 x = 1对称, 故 ()y gx= 在 4 0, 3 上的最大值为 ()y fx= 在 2 ,2 3 上的最大值 由()知 ()f x 3sin( ) 43 x 当 2 2 3 x时, 6436 因此 ()y gx= 在 4 0, 3 上的最大值为 max 3 3sin 62 g = (17)(本小题 13 分) 解:设 k A 表示甲种大树成活 k 株,k0,1,2 l B 表示乙种大树成活 l 株,l0,1,2 则 k A , l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2 2 21 () ()() 33 kk k
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