1、2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 本试卷满分150 分，考试时间120分钟 第卷 考生注意： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条 形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件 AB， 互斥
2、，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 AB， 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 n次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率 () (1 ) ( 01,2 ) kk nk nn Pk CP P k n =L， 以 R为半径的球体积： 3 4 3 VR= 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1直线 1y x=+与圆 22 1xy+=的位置关系为（ ） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 2已
3、知复数 z 的实部为 1 ，虚部为 2，则 5i z =（ ） A 2 i B 2 i+ C 2 i D 2 i + 3 28 2 ()x x + 的展开式中 4 x 的系数是（ ） A16 B70 C560 D120 4已知 1, 6, ( ) 2= =nullababa，则向量 a与向量 b的夹角是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 5不等式 2 31 3x xaa+ 对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A (,14,) +U B (,25,) +U C 1, 2 D (,12,)+U 6锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外
4、部特征 完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ） A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 7设 ABC 的三个内角 ,A BC，向量 ( 3sin ,sin )A B=m ， (cos , 3cos )B A=n ，若 1cos( )A B=+ +nullmn ，则 C=（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8已知 2 2 lim( ) 2 1 x x ax b x = + ，其中 ,ab R ，则 ab 的值为（ ） A 6 B 2 C 2 D6 9已知二面角 l 的大小为 0 50 ， P为空间中任意一点，则过点 P且与
5、平面 和平面 所成的角都是 0 25 的直线的条数为（ ） A2 B3 C4 D5 10已知以 4T = 为周期的函数 2 1,(1, () 12,(1,3 mxx fx xx = ，其中 0m 。若方程 3()f xx= 恰有 5 个实数解，则 m的取值范围为（ ） A 15 8 (,) 33 B 15 (,7) 3 C 48 (,) 33 D 4 (,7) 3 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5分，共25 分把答案写在答题卡相应位置上 11若 3AxRx= ，则 AB=I 12若 1 () 21 x f xa=+ 是奇函数，则 a = 13将4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每
6、个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 14设 1 2a = ， 1 2 1 n n a a + = + ， 2 1 n n n a b a + = ， * nN ，则数列 n b 的通项公式 n b = . 15已知双曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab =的左、右焦点分别为 12 (,0),(,0)Fc Fc ，若 双曲线上存在一点 P使 12 21 sin sin PFF a PF F c = ，则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分，
7、（）小问 6 分 ） 设函数 2 () sin( ) 2cos 1 46 8 f xx x = + （）求 ()f x 的最小正周期 （）若函数 ()y gx= 与 ()y fx= 的图像关于直线 1x = 对称，求当 4 0, 3 x 时 ()ygx= 的最大值 17 （本小题满分 13 分， （）问 7分， （）问6 分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为 2 3 和 1 2 ，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中： （）两种大树各成活 1 株的概率； （）成活的株数 的分布列与期望 18 （本小题满分 13 分， （）问 5
8、分， （）问8 分） 设函数 2 () ( 0)f x ax bx k k=+在 0 x = 处取得极值， 且曲线 ()y fx= 在点 (1, (1)f 处的切线垂直于直线 210 xy+= （）求 ,ab的值； （）若函数 () () x e gx f x = ，讨论 ()gx的单调性 19 （本小题满分 12 分， （）问 5分， （）问7 分） 如题（19）图，在四棱锥 SABCD 中， ADBCnull 且 AD CD ；平面 CSD 平面 ABCD， ,22CS DS CS AD=； E为 BS 的中点， 2, 3CE AS=求： （）点 A到平面 BCS 的距离； （）二面角 E
9、 CD A的大小 20 （本小题满分 12 分， （）问 5分， （）问7 分） 已知以原点 O为中心的椭圆的一条准线方程为 43 3 y = ，离心 率 3 2 e= ， M 是椭圆上的动点 （）若 ,CD的坐标分别是 (0, 3),(0, 3) ，求 MCMDnull 的 最大值； （）如题（20）图，点 A的坐标为 (1, 0) ， B是圆 22 1xy+ = 上的点， N 是点 M 在 x轴上的射影，点 Q满足条件： OQ OM ON=+ uuur uuuuruur ， 0QA BA= uuuruuur null 求线段 QB 的中点 P的 轨迹方程； 21 （本小题满分 12 分，
10、（）问 5分， （）问7 分） 设 m个不全相等的正数 12 ,( 7) m aa a mL 依次围成一个圆圈 （）若 2009m= ，且 1 2 1005 ,aa aL 是公差为 d 的等差数列，而 1 2009 2008 1006 ,aa a aL 是公比为 qd= 的等比数列；数列 12 , m aa aL 的前 n 项和 () n Snm 满足： 3 2009 2007 1 15, 12SSS a=+，求通项 () n an m ； （）若每个数 () n an m 是其左右相邻两数平方的等比中项，求证： 22 167 12 . . . mm aaaamaa+ + ； 绝密启用前 20
11、09 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分 (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C (7) C (8) D (9) B (10) B 二填空题：每小题 5分，满分 25分 (11) (0,3) (12) 1 2 (13) 36 (14) 1 2 n+ (15) (1, 21+ ) 三解答题：满分 75 分 (16)（本小题 13 分） 解： （） ()f x =sin cos cos sin cos 46464 x xx = 33 sin cos 2424 x x = 3sin( ) 4
12、3 x 故 ()f x 的最小正周期为 T = 2 4 =8 ()解法一： 在 ()ygx= 的图象上任取一点 (, ()x gx ，它关于 1x= 的对称点 (2 , ( )x gx . 由题设条件，点 (2 , ( )x gx 在 ()yfx= 的图象上，从而 () (2 ) 3sin (2 ) 43 gx f x x = = 3sin 24 3 x = 3cos( ) 43 x + 当 3 0 4 x时， 2 34 3 3 x +，因此 ()y gx= 在区间 4 0, 3 上的最大值为 max 3 3cos 32 g = 解法二： 因区间 4 0, 3 关于 x = 1的对称区间为 2
13、 ,2 3 ， 且 ()ygx= 与 ()yfx= 的图象关于 x = 1对称， 故 ()y gx= 在 4 0, 3 上的最大值为 ()y fx= 在 2 ,2 3 上的最大值 由（）知 ()f x 3sin( ) 43 x 当 2 2 3 x时， 6436 因此 ()y gx= 在 4 0, 3 上的最大值为 max 3 3sin 62 g = (17)（本小题 13 分） 解：设 k A 表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2 l B 表示乙种大树成活 l 株，l0，1，2 则 k A ， l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2 2 21 () ()() 33 kk k
14、 k PA C = , 2 2 11 ( ) ()() 22 ll l l PB C = . 据此算得 0 1 () 9 PA = , 1 4 () 9 PA = , 2 4 () 9 PA = . 0 1 () 4 PB = , 1 1 () 2 PB = , 2 1 () 4 PB = . () 所求概率为 21 1 1 41 2 ()()() 92 9 PA B PA PB = . () 解法一： 的所有可能值为 0，1，2，3，4，且 00 0 0 11 1 (0)( )()() 94 36 PPABPAPB = = = , 01 10 1141 1 (1) ( )( ) 9294 6
15、 PPABPAB = = + =+= , 02 11 20 114141 (2)( )( )( ) 949294 PPABPABPAB = = + + =+ = 13 36 , 12 21 4141 1 (3)( )( ) 94923 PPABPAB = =+=+= . 22 41 1 (4)( ) 949 PPAB = = . 综上知 有分布列 0 1 2 3 4 P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9 从而， 的期望为 111311 01234 36 6 36 3 9 E = + + 7 3 = （株） 解法二： 分布列的求法同上 令 12 ， 分别表示甲乙两种树成活的株数，则
16、12 : 21 B(2, )， B(2, ) 32 故有 12 1EE= 24 1 =2 = ， 2 33 2 从而知 12 7 3 EEE=+= 18、 （本小题13 分） 解： （）因 2 () ( 0), () 2f xaxbxkk fx axb= + = +故 又 ()f x 在 x=0 处取得极限值，故 () 0,fx = 从而 0b= 由曲线 y= ()f x 在（1，f（1） ）处的切线与直线 210 xy +=相互垂直可知 该切线斜率为 2，即 (1) 2,f = 有2a=2,从而a=1 （）由（）知， 2 () ( 0) x e gx k xk = + 2 22 (2) ()
17、 ( 0) () x ex xk gx k xk + = + 令 () 0gx = ，有 2 20(0)xxkk+= （1）当 44 0k= 时， () 0gx 在 R 上恒成立，故函数 ()gx在R上 位增函数 （2）当 44 0k= = ，即当 1k = 时，有 2 22 (1) () 0( 1) (1) x ex gx x x = + ，从而当 1k = 时， ()gx在 R 上为增函数 （3）当 44 0k= ，即当 01k ，故 ()gx在 ,1 1 )k （ 上为增函数； 当 11,11x kk + （）时， () 0,gx 故 () 1 1gx k+ 在（ ，+ ） 上为增函数
18、（19） （本小题 12 分） 解法一： （） 因为 AD/BC,且 ,BCBCS平面 所以 / ,ADBCS平面 从而 A 点到平面 BCS 的距离 等于 D 点到平面 BCS 的距离。 因为平面 ,CSD ABCD AD CD平面 ， 故 AD CSD平面 ,从而 AD SD ，由 AD/BC，得 BCDS ,又由 CS DS 知 DS BCS平面 ，从而 DS 为点 A 到平面 BCS 的距离，因此在 RtADS 中， 22 31 2DS AS AD= （）如答（19）图 1，过 E点作 ,EGCD 交 CD于点 G ，又过 G 点作 GH CD ,交 AB 于 H ，故 EGH 为二面
19、角 E CD A 的平面角，记为 ，过 E点作EF/BC,交 CS 于 点 F, 连 结 GF, 因 平 面 ,ABCD CSD GH CD GH GF 平面 易知 ,故 2 EGF = . 由于 E 为BS边中点，故 1 1 2 CF CS= = ,在 RtCFE 中， 22 211EF CE CF=,因 EF CSD平面 ，又 EGCD ，故由三垂线定理的逆定理得 FGCD ,从而又可 得 ,CGF CSD: 因此 GF CF DS CD = ，而在 RtCSD 中， 22 42 6,CD CS SD=+=+= 故 11 2 63 CF GF DS CD = 在 Rt FEG 中， tan
20、 3 EF EGF FG =，可得 3 EGF = ，故所求二面角的大小为 6 = 解法二： （）如答（19）图2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC 分别为 x 轴，y轴正向，建立空间 坐标系，设 (,) AAA Ax y z ，因平面 ,COD ABCD AD CD 平面 ，故 AD COD平面 ，即点 A 在 xOz平面上，因此 01 AA yzAD= = uuuv ， 又 2 22 13,0 AA xASx+= = uuv 解得 2 A x = 从而 201A（， ， ） 因 AD/BC，故 BC平面 CSD，即平面 BCS 与平 面 yOz 重合，从而点 A 到平面 BCS 的
21、距离为 2 A x = . ()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E 为BS 的中点. BCS 为直角三角形 , 知 222BS CE= uuv uuv 设 (0,2, ), 0 BB BZZ ，则 A Z 2，故B（0，2，2） ，所以E（0，1，1） 在CD上取点G，设G（ 11 ,0 x y ） ，使GECD . 由 11 (2,2,0), ( , 1,1), 0CD GE x y CD GE= =+ = uuuvuuvuuvuuuv 故 11 22(1)0 xy= 又点 G 在直线 CD 上，即 /CG CD uuuvuuv ，由 CG uuuv =（ 11 ,2,0 xy ）
22、 ，则有 11 2 2 2 xy = 联立、，解得 G 24 (,0) 33 , 故 GE uuuv = 22 (,1) 33 . 又由 ADCD，所以二面角 ECDA的平面角为向量 GE uuuv 与向量 DA uuuv 所成的角，记此角 为 . 因为 GE uuuv = 23 3 ， (0,0,1), 1, 1DA DA GE DA= uuuvuuvuuvuuv , 所以 3 cos 2 GE DA GE DA = uuuvuuv uuuvuuv 故所求的二面角的大小为 6 . (20)（本小题 12 分） 解： （）由题设条件知焦点在 y 轴上，故设椭圆方程为 22 22 1 xy ab
23、 + = （a b 0 ）. 设 22 cab=，由准线方程 43 3 y = 得 2 43 3 a c = ，由 3 2 e= 得 3 2 c a = ， 解得 2, 3ac=，从而 b = 1，椭圆的方程为 2 2 1 4 y x + = 又易知 C，D两点是椭圆 2 2 1 4 y x +=的焦点，所以, 24MC MD a+ = 从而 22 ()24 2 MC MD MC MD + =，当且仅当 MCMD= ，即点 M 的坐标为 (1,0) 时上式取等号， MCMD 的最大值为 4 . （II）如图（20）图，设 M( , ), ( , ) mm BB x yBxy (,) QQ Qx
24、 y .因为 (,0), N N x OM ON OQ+= uuuur uuur uuur ，故 2, , QNQM x xy y= 22 2 (2 ) 4 y QQ M xyxy+= += 因为 0,QA BA= uuuruur (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 0, QQ Nn QNQN xy xy xxyy = + = 所以 1 QN QN N Q xx yy x x+=+. 记 P 点的坐标为 (,) P P x y ，因为 P 是BQ 的中点 所以 2,2 P QPP QP x xxyyy= +=+ 由因为 22 1 NN xy+=，结合，得 22 2 2 1 ( ) ( ) )
25、 4 PP QN QN xy xx yy+= + + + 22 22 1 (2() 4 QNQn QNQN x xyy xxyy=+ + 1 (5 2( 1) 4 QN xx=+ 3 4 P x=+ 故动点 P 的轨迹方程为 22 1 () 1 2 xy+= （21） （本小题 12 分） 解： （I）因 1 2009 2008 1006 ,aa a a 是公比为 d的等比数列，从而 2 2000 1 2008 1 ,aadaad= 由 2009 2008 1 2008 2009 1 12 12SS aaa a=+ +=得 ，故 2 11 1 12ad ad a+= ，即 2 12dd+= 解
26、得 3d = 或 4d = （舍去） 。因此 3d = 又 31 3315Sad=+=，解得 1 2a = 从而当 1005n 时， 1 (1) 23(1)31 n aand n n=+ =+ = 当 1006 2009n 时，由 1 2009 2008 1006 ,aa a a 是公比为 d 的等比数列得 2009 ( 1) 2010 11 (1006 2009) nn n aad ad n = 因此 2009 3 1, 1005 2 3 ,1006 2009 n n nn a n = （II）由题意 222 22222 11 111 2 (1 ), , nnn mm m aaa nmaaaaaa + = =得 11 11 12 (1 ), nnn mm m aaa nm aaa aaa + =K 又 6mk= ，由和得 2222 2 2 7712656 22 16 222 1 222 1 ()( ) () (1) k aaaa a a aa aaa k aaa + = + + + + + （k-1) （k-1) KKKK K 因此由得 22 123 67 123 66( 1)6 mm aaa aa a k kmmaaa a+ =KK K
