2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷(必修+选修2)及答案解析.pdf
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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1至 2页,第卷 3至 4页考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第卷 考生注意: 1答题前,考生在答题卡上务必用0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚 ,并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后,用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共12 小题,每小题 5分,共60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 参考公式: 如果事件
2、A B, 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B, 相互独立,那么 其中 R表示球的半径 ( ) () ()PA B PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P,那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 一、选择题 (1)设集合 A=4,5,7,9 ,B=3,4,7,8,9 ,全集 U=A UB,则集合 () u AB I 中的 元素共有(A) (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个 解: 3, 4, 5, 7, 8, 9AB=U , 4, 7
3、,9 ( ) 3,5,8 U AB CAB= =II故选 A。也可用摩根 律: ( )()() UUU CAB CA CB=IU (2)已知 1i Z =2+i,则复数z=(B ) (A)-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解: (1 ) (2 ) 1 3 , 1 3zii izi=+=+= 故选B。 (3) 不等式 1 1 X X + 1 的解集为( D ) (A) x 01 1x xx U (B) 01x x (C) 10 x x (D) 0 xx 解:验 x=-1即可。 (4)设双曲线 22 22 1 xy ab =(a0,b0)的渐近线与抛物线 y=x 2 +1 相
4、切,则该双曲线的离心 率等于( C ) (A) 3 (B)2 (C) 5 (D) 6 解:设切点 00 (, )Px y ,则切线的斜率为 0 0 |2 xx yx = = .由题意有 0 0 0 2 y x x = 又 2 00 1yx=+ 解得: 22 0 1, 2, 1 ( ) 5 bb xe aa = = + = . (5) 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) (A)150 种 (B)180 种 (C)300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组
5、中选出一名女生有 112 536 225CCC= 种选法 (2) 乙组中选出一名女生有 211 562 120CCC= 种选法.故共有 345 种选法.选 D (6)设 a、 b 、 c是单位向量,且 a b 0,则 ( ) ( )ac bc 的最小值为 ( D ) (A) 2 (B) 22 (C) 1 (D)12 解: ,abc rrr Q 是单位向量 ( ) ( ) 2 ()ac bc ab abcc =+ rr rr urrurrrr 1| | |1 2cos , 1 2ab c abc= + = rr r rrr 故选D. (7)已知三棱柱 111 ABC ABC 的侧棱与底面边长都相
6、等, 1 A 在底面 ABC 上的射影为 BC的中点,则异面直线 AB与 1 CC 所成的角的余弦值 为( D ) B C B C A1 1 1 A D (A) 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 解:设 BC的中点为 D,连结 1 A D,AD,易知 1 AAB = 即为异面直线 AB与 1 CC 所成的角, 由三角余弦定理,易知 1 1 3 cocs 4 os cos AD AD AAD DAB AA AB = =.故选 D (8)如果函数 ()cos 2yx3 的图像关于点 4 3 ,0 中心对称,那么 | 的最小值为 (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2
7、解: Q函数 ()cos 2yx3 的图像关于点 4 3 ,0 中心对称 4 2 32 k +=+ 13 () 6 kkZ = 由此易得 min | 6 = .故选A (9) 已知直线y=x+1 与曲线 yln( )x a=+相切,则的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (, )Px y ,则 00 0 0 ln1, ( )yx ayx=+ = + ,又 0 0 1 |1 xx y xa = = = + Q 000 10,12xa y x a += =.故答案选 B (10)已知二面角 l 为 60 o ,动点 P、Q 分别在面、内,P 到的距离为
8、3 , Q 到的距离为 23,则 P、Q 两点之间距离的最小值为 ( C ) (A) (B)2 (C) 23 (D)4 解:如图分别作 , ,QA A AC l C PB B 于于 于 PD l D 于 ,连 ,60CQ BD ACQ PBD=则 23, 3AQ BP=, 2AC PD = 又 22 2 12 2 3PQ AQ AP AP=+=+Q 当且仅当 0AP = ,即 A P点与点 重合时取最小值。故答案选 C。 Q A P B C D (11)函数 ()f x 的定义域为 R,若 (1)fx+ 与 (1)fx 都是奇函数,则( D ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x
9、 是奇函数 (C) () ( 2)fx fx= + (D) (3)fx+ 是奇 函数 解: Q (1)fx+ 与 (1)fx 都是奇函数, ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)fx fx fx fx + = + = , 函数 ()f x 关于点 (1, 0) ,及点 (1,0) 对称,函数 ()f x 是周期 21 ( 1) 4T = = 的周期 函数. ( 1 4) ( 1 4)fx fx + = + , (3) (3)fx fx += +,即 (3)fx+ 是奇函数。故 选D 12.已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy+ = 的右焦点为 F ,右准线为 l,点 Al ,线段 AF 交
10、C于点 B, 若 3FA FB= uuuruur ,则 |AF uuuur =( A ) (A). 2 (B). 2 (C). 3 (D). 3 解:过点B 作 BMl 于 M,并设右准线 l与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 3FAFB= uuuruur , 故 2 | 3 BM = .又由椭圆的第二定义,得 22 2 | 23 3 BF = |2AF = .故选A 第II卷 二、填空题: 13. () 10 x y 的展开式中, 73 x y 的系数与 37 x y 的系数之和等于 。 解: 37 3 10 10 10 ( ) 2 240CC C+ = = 14. 设等差数列
11、n a 的前 n项和为 n S ,若 9 72S = ,则 249 aaa+ + = 。 解: n aQ 是等差数列,由 9 72S = ,得 59 9,Sa = 5 8a = 249 29 4 56 4 5 ()()324aaa aa a aa a a+= + += + += =. 15. 直三棱柱 111 ABC ABC 的各顶点都在同一球面上,若 1 2AB AC AA=, 120BAC=,则此球的表面积等于 。 解:在 ABC 中 2AB AC= = , 120BAC=,可得 23BC = ,由正弦定理,可得 ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O,球心为 O,在 RTOBO 中
12、,易得球半径 5R = , 故此球的表面积为 2 420R = . 16. 若 42 x ,则函数 3 tan 2 tany xx= 的最大值为 。 解:令 tan ,x t= 1 42 x t Q , 44 3 22 2 42 2 2tan 2 2 2 2 tan 2 tan 8 11 11 1 1 1tan 1 () 24 4 xt yxx xt tt t = = 三、解答题:本大题共6 小题,共70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) ( 注意:在试题卷上作答无效 ) 在 ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 2
13、2 2ac b=,且 sin cos 3cos sin ,A CAC= 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 22 2ac b=,左 侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A CAC= 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在 已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ABC 中 sin cos 3cos sin ,A CAC=Q 则由正弦定理及余弦定理 有: 222 222 3, abc bca ac ab bc + + = 化简并整理得: 22 2 2
14、( )ac b = .又由已知 22 2ac b= 2 4bb = .解得 40(bb= =或舍) . 解法二: 由余弦定理得: 22 2 2cosacb bc A= . 又 22 2ac b = , 0b 。 所以 2cos 2bcA= + 又 sin cos 3cos sinA CAC= , sin cos cos sin 4cos sinA CAC AC += sin( ) 4cos sinA CAC+= , 即 sin 4cos sinB AC= 由正弦定理得 sin sin b B C c = , 故 4cosbcA= 由,解得 4b= 。 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对
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