2018年河南省开封市高考一模数学理及答案解析.docx

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1、2018年 河 南 省 开 封 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 U=R， 已 知 集 合 A=x|x 1， B=x|x a， 且 (UA) B=R， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， 1)B.(- ， 1C.(1， + )D.1， +解 析 ： U=R， 集 合 A=x|x 1=1， + )，B=x|x a=(a， + )， UA=(- ， 1)，又 (UA) B=R

2、， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (- ， 1).答 案 ： A2.若 复 数 z1， z2在 复 平 面 内 对 应 的 点 关 于 虚 轴 对 称 ， 且 z1=1-2i， 则 复 数 21zz 在 复 平 面 内 对 应的 点 在 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： z 1=1-2i， 且 复 数 z1， z2在 复 平 面 内 对 应 的 点 关 于 虚 轴 对 称 ， z2=-1-2i，则 21 1 2 1 21 2 3 41 2 5 51 2 1 2i iz i iz i i i ， 复 数 21zz 在 复 平 面 内

3、对 应 的 点 的 坐 标 为 (3 45 5， )， 在 第 四 象 限 .答 案 ： D3.已 知 向 量 a =(m-1， 1)， b =(m， -2)， 则 “ m=2” 是 “ a b ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： a =(m-1， 1)， b =(m， -2)， a b m(m-1)-2=0. 由 m(m-1)-2=0， 解 得 m=-1或 m=2. “ m=2” 是 “ a b ” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A4.若 2cos2 sin( 4

4、)， 则 sin2 的 值 为 ( )A. 158B. 158C.1 或 78 D.78解 析 ： 若 2cos2 sin( 4 )， 即 2(cos2 -sin2 )= 2 2cos sin2 2 ，显 然 ， cos =sin 时 ， 满 足 条 件 ， 此 时 ， tan =1， sin2 =1.cos sin ， 则 2(cos +sin )= 22 ， 即 cos +sin = 24 ， 1+2sin cos =18 ， 即 sin2 =2sin cos = 78 .综 上 可 得 ， sin2 =1或 78 .答 案 ： C 5.已 知 等 比 数 列 an的 前 n 项 和 为

5、Sn， 且 9S3=S6， a2=1， 则 a1=( )A.12B. 22C. 2D.2解 析 ： 设 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q 1， 9S3=S6， a2=1， 3 61 19 1 11 1a q a qq q ， a1q=1.则 q=2， a1=12 .答 案 ： A6.已 知 曲 线 222 2 1yxa b (a 0， b 0)为 等 轴 双 曲 线 ， 且 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 2， 则 该 双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 2 12x y B.x2-y2=1C. 2 2 2x y D.x2-y2=2解 析 ： 根 据 题 意 ， 若 曲

6、线 222 2 1yxa b (a 0， b 0)为 等 轴 双 曲 线 ， 则 a 2=b2，2 2 2c a b a ， 即 焦 点 的 坐 标 为 ( 2a， 0)；其 渐 近 线 方 程 为 x y=0，若 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 2， 则 有 2 21 1a a ，则 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 222 2yx 1， 即 x 2-y2=2.答 案 ： D7.我 国 古 代 名 著 庄 子 天 下 篇 中 有 一 句 名 言 “ 一 尺 之 棰 ， 日 取 其 半 ， 万 世 不 竭 ” ， 其 意 思为 ： 一 尺 的 木 棍 ， 每 天 截 取 一 半 ，

7、永 远 都 截 不 完 .现 将 该 木 棍 依 此 规 律 截 取 ， 如 图 所 示 的 程序 框 图 的 功 能 就 是 计 算 截 取 7天 后 所 剩 木 棍 的 长 度 (单 位 ： 尺 )， 则 处 可 分 别 填 入 的 是( ) A.i 7， S S1i ， i 2iB.i 7， S S1i ， i 2iC.i 7， S 2S ， i i+1 D.i 7， S 2S ， i i+1解 析 ： 由 题 意 可 得 ： 由 图 可 知 第 一 次 剩 下 12 ， 第 二 次 剩 下 212 ， 由 此 得 出 第 7次 剩 下 712 ，可 得 为 i 7 s= 2S i=i+

8、1答 案 ： D8.如 图 ， 在 一 个 正 方 体 内 放 入 两 个 半 径 不 相 等 的 球 O 1、 O2， 这 两 个 球 相 外 切 ， 且 球 O1与 正 方体 共 顶 点 A的 三 个 面 相 切 ， 球 O2与 正 方 体 共 顶 点 B1的 三 个 面 相 切 ， 则 两 球 在 正 方 体 的 面 AA1C1C上 的 正 投 影 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 由 题 意 可 以 判 断 出 两 球 在 正 方 体 的 面 AA1C1C 上 的 正 投 影 与 正 方 形 相 切 ， 排 除 C、 D，把 其 中 一 个 球 扩 大 为 与 正 方 体 相

9、切 ， 则 另 一 个 球 被 挡 住 一 部 分 ， 由 于 两 球 不 等 ， 所 以 排 除 A；B正 确 .答 案 ： B9.如 图 ， 某 建 筑 工 地 搭 建 的 脚 手 架 局 部 类 似 于 一 个 2 2 3 的 长 方 体 框 架 ， 一 个 建 筑 工 人 欲 从 A处 沿 脚 手 架 攀 登 至 B 处 ， 则 其 最 近 的 行 走 路 线 中 不 连 续 向 上 攀 登 的 概 率 为 ( )A.17 B.27C.37D.47解 析 ： 根 据 题 意 ， 最 近 路 线 ， 那 就 是 不 能 走 回 头 路 ， 不 能 走 重 复 的 路 ， 一 共 要 走

10、3 次 向 上 ， 2次 向 右 ， 2 次 向 前 ， 一 共 7 次 ， 最 近 的 行 走 路 线 共 有 ： n= 77A =5040， 不 能 连 续 向 上 ， 先 把 不 向 上 的 次 数 排 列 起 来 ， 也 就 是 2 次 向 右 和 2次 向 前 全 排 列 44A ，接 下 来 ， 就 是 把 3 次 向 上 插 到 4 次 不 向 上 之 间 的 空 当 中 ， 5个 位 置 排 三 个 元 素 ， 也 就 是 35A ， 则 最 近 的 行 走 路 线 中 不 连 续 向 上 攀 登 的 共 有 m= 4 34 5A A =1440 种 ， 其 最 近 的 行 走

11、 路 线 中 不 连 续 向 上 攀 登 的 概 率 1440 25040 7mp n .答 案 ： B10.函 数 2x ln xy x 的 图 象 大 致 是 ( ) A. B.C. D.解 析 ： 当 x 0 时 ， y=xlnx， y =1+lnx，即 0 x 1e 时 ， 函 数 y 单 调 递 减 ， 当 x 1e ， 函 数 y 单 调 递 增 ，因 为 函 数 y为 偶 函 数 .答 案 ： D11.抛 物 线 M： y 2=4x的 准 线 与 x轴 交 于 点 A， 点 F 为 焦 点 ， 若 抛 物 线 M 上 一 点 P 满 足 PA PF，则 以 F为 圆 心 且 过

12、点 P 的 圆 被 y 轴 所 截 得 的 弦 长 约 为 (参 考 数 据 ： 5 2.24)( )A. 2.4B. 2.3C. 2.2D. 2.1解 析 ： 由 题 意 ， A(-1， 0)， F(1， 0)， 点 P 在 以 AF为 直 径 的 圆 x2+y2=1 上 . 设 点 P的 横 坐 标 为 m， 联 立 圆 与 抛 物 线 的 方 程 得 x2+4x-1=0， m 0， m=-2+ 5， 点 P的 横 坐 标 为 -2+ 5， |PF|=m+1=-1+ 5， 圆 F的 方 程 为 (x-1) 2+y2=( 5-1)2，令 x=0， 可 得 5 2 5y ， 2 5 2 5 2

13、 5 2 2.24 2.1EF .答 案 ： D12.已 知 函 数 f(x) 4sin(2x 6 )， x 0， 463 ， 若 函 数 F(x)=f(x)-3的 所 有 零 点 依 次 记为 x 1， x2， x3， ， xn， 且 x1 x2 x3 xn， 则 x1+2x2+2x3+ +2xn-1+xn=( )A.12763 B.445C.455D.14573 解 析 ： 函 数 f(x) 4sin(2x 6 )，令 2 6 2x k 得 12 3x k ， k Z， 即 f(x)的 对 称 轴 方 程 为 12 3x k ， k Z. f(x)的 最 小 正 周 期 为 T= ， 0

14、x 463 ， 当 k=0时 ， 可 得 第 一 根 对 称 轴 x= 3 ， 当 k=30时 ， 可 得 x=463 ， f(x)在 0， 463 上 有 31条 对 称 轴 ，根 据 正 弦 函 数 的 性 质 可 知 ： 函 数 f(x) 4sin(2x 6 )与 y=3 的 交 点 有 31 个 点 ， 即 x1， x2关于 3 对 称 ， x2， x3关 于 56 对 称 ， ，即 x1+x2=26 2， x2+x3=56 2， ， xn-1+xn=2 896将 以 上 各 式 相 加 得 ： x 1+2x2+2x3+ +2x28+2x29+2x30+x31= 2 5 892 2 5

15、 8 89 4556 6 6 3 （ ）则 x1+2x2+2x3+ +2xn-1+xn=(x1+x2)+(x2+x3)+x3+ +xn-1+(xn-1+xn)=2( 3 592 2 2 )=455 .答 案 ： C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .13.(x-y) 10的 展 开 式 中 ， x7y3的 系 数 与 x3y7的 系 数 之 和 等 于 _.解 析 ： 因 为 (x-y)10的 展 开 式 中 含 x7y3的 项 为 C103x10-3y3(-1)3=-C103x7y3，含 x3y7的 项 为 C107x10-7y7(-

16、1)7=-C107x3y7.由 C103=C107=120知 ， x7y3与 x3y7的 系 数 之 和 为 -240.答 案 ： -24014.设 x， y满 足 约 束 条 件 5 3 1515 3x yy xx y ， 且 x， y Z， 则 z=3x+5y的 最 大 值 为 _.解 析 ： 由 约 束 条 件 5 3 1515 3x yy xx y 作 出 可 行 域 如 图 ， 作 出 直 线 3x+5y=0， x， y Z， 平 移 直 线 3x+5y=0至 (1， 2)时 ， 目 标 函 数 z=3x+5y的 最 大 值 为 13.答 案 ： 13 15.设 1 22 2log3

17、 1 2xe xf x x x ， ， ， 且 f(f(a)=2， 则 满 足 条 件 的 a的 值 有 _个 .解 析 ： 1 22 2log3 1 2xe xf x x x ， ， ， 且 f(f(a)=2 当 a 2 时 ， f(a)=2ea-1，若 2e a-1 2， 则 f(f(a)= 12 12 aee =2， 解 得 a=1-ln2；若 2ea-1 2， 则 f(f(a)= 21log3 2 1 ae =2， 解 得 a=ln 102 +1， 成 立 ；当 a 2 时 ， f(a)=log3(a2-1)，若 log3(a2-1) 2， 则 f(f(a)=2elog3(a21)-1

18、=2， 解 得 a=2， 或 a=-2， 与 a 2 不 符 ，若 log3(a2-1) 2， 则 f(f(a)=log3(log3(a2-1)=2， 解 得 a2=310+1， a= 103 1 或 a=- 103 1 与 a 2不 符 .由 此 得 到 满 足 条 件 的 a 的 值 有 1-ln2 和 10ln 12 和 2和 103 1 ， 共 4 个 .答 案 ： 4 16.一 个 棱 长 为 5 的 正 四 面 体 (棱 长 都 相 等 的 三 棱 锥 )纸 盒 内 放 一 个 小 正 四 面 体 ， 若 小 正 四 面体 在 纸 盒 内 可 以 任 意 转 动 ， 则 小 正 四

19、 面 体 的 棱 长 的 最 大 值 为 _.解 析 ： 在 此 纸 盒 内 放 一 个 小 正 四 面 体 ， 若 小 正 四 面 体 在 纸 盒 内 可 以 任 意 转 动 ， 小 正 四 面 体 的 外 接 球 是 纸 盒 的 内 切 球 ，设 正 四 面 体 的 棱 长 为 a， 则 内 切 球 的 半 径 为 612 a， 外 接 球 的 半 径 是 64 a， 纸 盒 的 内 切 球 半 径 是 6 5 6512 12 ，设 小 正 四 面 体 的 棱 长 是 x， 则 5 6 612 4 x ， 解 得 x=53， 小 正 四 面 体 的 棱 长 的 最 大 值 为 53. 答

20、案 ： 53三 、 解 答 题 ： 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 应 的 边 分 别 为 a， b， c， 且 2cosB(acosC+ccosA)+b=0.( )求 角 B的 大 小 ；( )若 a=3， 点 D 在 AC 边 上 且 BD AC， BD=15 314 ， 求 c.解 析 ： ( )直 接 利 用 三 角 函 数 关 系 式 的 恒 等 变 换 和 正 弦 定 理 求 出 B的 值 .( )进 一 步 利 用 解 直 角 三 角 形 的 方 法 求 出 结 果

21、.答 案 ： ( )在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 应 的 边 分 别 为 a， b， c， 且 2cosB(acosC+ccosA)+b=0.则 ： 2cosB(sinAcosC+sinCcosA)+sinB=0，整 理 得 ： 2cosBsin(A+C)=-sinB，由 于 ： 0 B ，则 ： sinB 0，解 得 ： cosB 12 ，所 以 ： B=23 .( )点 D 在 AC 边 上 且 BD AC，在 直 角 BCD中 ， 若 a=3， BD=15 314 ， 解 得 ： CD2 32(15 314 )2，解 得 ： CD 3314 ，则 ： cos DBC 5

22、314 ， sin DBC 1114，所 以 ： 2 1 5 3 3 11 3 3cos cos 3 2 14 2 14 14ABD DBC ，则 ： 在 Rt ABD中 ， 15 314 5cos 3 314BDAB ABD . 故 ： c=5.18.如 图 1， 在 矩 形 ABCD中 ， AD=2AB=4， E是 AD的 中 点 .将 ABE沿 BE折 起 使 A 到 点 P的 位置 ， 平 面 PEB 平 面 BCDE， 如 图 2.( )求 证 ： 平 面 PBC 平 面 PEC；( )求 二 面 角 B-PE-D的 余 弦 值 . 解 析 ： ( )证 明 ： 由 AD=2AB，

23、E 为 线 段 AD的 中 点 ， 可 得 AB=AE， 由 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 PO 平 面 BCDE， 则 PO EC， 在 矩 形 ABCD中 ， 由 已 知 可 得 BE EC， 则 EC 平 面 PBE， 得 到 EC PB， 又 PB PE， 由 面 面 垂 直 的 判 定 可 得 PB 平 面 PEC， 进 一 步 得 到 平 面 PBC 平 面 PEC；( )以 OB 所 在 直 线 为 x轴 ， 以 平 行 于 EC所 在 直 线 为 y 轴 ， 以 OP 所 在 直 线 为 z 轴 建 立 空 间直 角 坐 标 系 ， 分 别 求 出 平 面 PED与 平

24、面 PBE的 一 个 法 向 量 ， 由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角 B-PE-D 的 余 弦 值 .答 案 ： ( )证 明 ： AD=2AB， E 为 线 段 AD 的 中 点 ， AB=AE，取 BE 中 点 O， 连 接 PO， 则 PO BE，又 平 面 PEB 平 面 BCDE， 平 面 PEB 平 面 BCDE=BE， PO 平 面 BCDE， 则 PO EC，在 矩 形 ABCD中 ， AD=2AB， E为 AD的 中 点 ， BE EC， 则 EC 平 面 PBE， EC PB，又 PB PE， 且 PE EC=E， PB 平 面 PEC，

25、 而 PB平 面 PBC， 平 面 PBC 平 面 PEC；( )以 OB 所 在 直 线 为 x轴 ， 以 平 行 于 EC所 在 直 线 为 y 轴 ， 以 OP 所 在 直 线 为 z 轴 建 立 空 间直 角 坐 标 系 ， PB=PE=2， 则 B( 2， 0， 0)， E(- 2， 0， 0)， P(0， 0， 2)， D( 2 2 20 ， ， )， PB ( 20 2， ， )， PE ( 20 2 ， ， )， PD=( 2 2 2 2 ， ， ).设 平 面 PED的 一 个 法 向 量 为 m (x， y， z)，由 2 2 02 2 2 2 0m PE x zm PD

26、x y z ， 令 z=-1， 则 m (1， 1， 1)，又 平 面 PBE的 一 个 法 向 量 为 n (0， 1， 0)，则 1 3cos 33 1m nmn m n ， . 二 面 角 B-PE-D的 余 弦 值 为 - 33 .19.近 年 来 我 国 电 子 商 务 行 业 迎 来 蓬 勃 发 展 的 新 机 遇 ， 2017 年 双 11 期 间 ， 某 购 物 平 台 的 销 售 业 绩 高 达 1271亿 人 民 币 .与 此 同 时 ， 相 关 管 理 部 门 推 出 了 针 对 电 商 的 商 品 和 服 务 的 评 价 体系 ， 现 从 评 价 系 统 中 选 出 2

27、00次 成 功 交 易 ， 并 对 其 评 价 进 行 统 计 ， 对 商 品 的 好 评 率 为 0.6，对 服 务 的 好 评 率 为 0.75， 其 中 对 商 品 和 服 务 都 做 出 好 评 的 交 易 为 80次 .( )完 成 下 面 的 2 2 列 联 表 ， 并 回 答 是 否 有 99%的 把 握 ， 认 为 商 品 好 评 与 服 务 好 评 有 关 ？对 服 务 好 评 对 服 务 不 满 意 合 计对 商 品 好 评对 商 品 不 满 意合 计 200( )若 将 频 率 视 为 概 率 ， 某 人 在 该 购 物 平 台 上 进 行 的 3次 购 物 中 ， 设

28、对 商 品 和 服 务 全 好 评 的次 数 为 随 机 变 量 X：(1)求 对 商 品 和 服 务 全 好 评 的 次 数 X 的 分 布 列 ；(2)求 X 的 数 学 期 望 和 方 差 . 附 ：P(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828( 22 n ad bcK a b c d a c b d ， 其 中 n=a+b+c+d)解 析 ： ( )对 商 品 的 好 评 率 为 0.6， 故 对 商 品 的 好 评 120 次 ， 因 此 对 商 品

29、 好 评 但 对 服 务 不 满意 40 次 ； 剩 下 对 服 务 好 评 但 对 商 品 不 满 意 70 次 ， 代 入 卡 方 公 式 得 K 2 11.111 10.828， 比较 表 格 数 据 得 结 论 .( )(1)先 确 定 随 机 变 量 取 法 可 以 是 0， 1， 2， 3.再 分 别 求 对 应 概 率 ， 而 每 次 对 商 品 和 服 务全 为 好 评 的 概 率 为 25 ， 所 以 符 合 独 立 重 复 试 验 ， 二 项 分 布 X B(3， 25 )， 利 用 公 式 求 得 分 布列 .(2)利 用 X 的 分 布 列 能 求 出 X 的 数 学

30、期 望 及 方 差 .答 案 ： ( )由 题 意 可 得 关 于 商 品 和 服 务 评 价 的 2 2 列 联 表 如 下 ：对 服 务 好 评 对 服 务 不 满 意 合 计对 商 品 好 评 80 40 120对 商 品 不 满 意 70 10 80合 计 150 50 200 K2= 2200 80 10 40 70150 50 120 80 11.111 6.635，故 有 99%的 把 握 ， 认 为 商 品 好 评 与 服 务 好 评 有 关 .( )(1)每 次 购 物 时 ， 对 商 品 和 服 务 全 为 好 评 的 概 率 为 25 ， 且 X 的 取 值 可 以 是

31、0， 1， 2， 3.其 中 P(X=0)= 33 275 125 ，P(X=1)= 213 2 3 545 5 125C ， P(X=2)= 223 2 3 365 5 125C ，P(X=3)= 333 2 85 125C ，X的 分 布 列 为 ：X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125(2) X B(3， 25 )， E(X)= 2 63 5 5 ， D(X)= 2 3 183 5 5 25 .20.给 定 椭 圆 C： 222 2 =1yxa b (a b 0)， 称 圆 心 在 原 点 O， 半 径 为 2 2a b 的 圆 是 椭 圆 C的 “ 准 圆

32、” .已 知 椭 圆 C 的 离 心 率 e 63 ， 其 “ 准 圆 ” 的 方 程 为 x2+y2=4.(I)求 椭 圆 C 的 方 程 ；(II)点 P 是 椭 圆 C 的 “ 准 圆 ” 上 的 动 点 ， 过 点 P 作 椭 圆 的 切 线 l 1， l2交 “ 准 圆 ” 于 点 M， N.(1)当 点 P 为 “ 准 圆 ” 与 y 轴 正 半 轴 的 交 点 时 ， 求 直 线 l1， l2的 方 程 ， 并 证 明 l1 l2；(2)求 证 ： 线 段 MN 的 长 为 定 值 .解 析 ： ( )根 据 椭 圆 的 离 心 率 公 式 及 a2+b2=4， 解 得 a和 b

33、的 值 ， 即 可 求 得 椭 圆 方 程 ；( )(1)把 直 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程 转 化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 利 用 直 线 与 椭 圆 相 切 =0， 即 可 解 得 k的 值 ， 进 而 利 用 垂 直 与 斜 率 的 关 系 即 可 证 明 ；(2)分 类 讨 论 ： l1， l2经 过 点 P(x0， y0)， 又 分 别 交 其 准 圆 于 点 M， N， 无 论 两 条 直 线 中 的 斜 率是 否 存 在 ， 都 有 l 1， l2垂 直 .即 可 得 出 线 段 MN为 准 圆 x2+y2=4的 直 径 .答 案 ： (I)由 准

34、 圆 方 程 为 x2+y2=4， 则 a2+b2=4， 椭 圆 的 离 心 率 22 61 3c be a a ，解 得 ： a= 3， b=1， 椭 圆 的 标 准 方 程 ： 2 2 13x y ；( )证 明 ： (1) 准 圆 x 2+y2=4与 y轴 正 半 轴 的 交 点 为 P(0， 2)，设 过 点 P(0， 2)且 与 椭 圆 相 切 的 直 线 为 y=kx+2，联 立 2 2 213y kxx y ， 整 理 得 (1+3k2)x2+12kx+9=0. 直 线 y=kx+2 与 椭 圆 相 切 ， =144k2-4 9(1+3k2)=0， 解 得 k= 1， l1， l

35、2方 程 为 y=x+2， y=-x+2. 1 21 1l lk k ， ， 1 2 1l lk k ， 则 l1 l2.(2) 当 直 线 l1， l2中 有 一 条 斜 率 不 存 在 时 ， 不 妨 设 直 线 l1斜 率 不 存 在 ，则 l 1： x= 3，当 l1： x= 3时 ， l1与 准 圆 交 于 点 ( 3， 1)( 3， -1)，此 时 l2为 y=1(或 y=-1)， 显 然 直 线 l1， l2垂 直 ；同 理 可 证 当 l1： x= 3时 ， 直 线 l1， l2垂 直 . 当 l 1， l2斜 率 存 在 时 ， 设 点 P(x0， y0)， 其 中 x02+

36、y02=4.设 经 过 点 P(x0， y0)与 椭 圆 相 切 的 直 线 为 y=t(x-x0)+y0， 由 0 02 2 13y t x x yx y 得 (1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0.由 =0化 简 整 理 得 (3-x 02)t2+2x0y0t+1-y02=0， x02+y02=4， 有 (3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0.设 l1， l2的 斜 率 分 别 为 t1， t2， l1， l2与 椭 圆 相 切 ， t1， t2满 足 上 述 方 程 (3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0， t1 t2=-1，

37、 即 l1， l2垂 直 .综 合 知 ： l1， l2经 过 点 P(x0， y0)， 又 分 别 交 其 准 圆 于 点 M， N， 且 l1， l2垂 直 . 线 段 MN 为 准 圆 x2+y2=4的 直 径 ， |MN|=4， 线 段 MN 的 长 为 定 值 .21.已 知 函 数 f(x)=(t-1)xe x， g(x)=tx+1-ex.( )当 t 1 时 ， 讨 论 f(x)的 单 调 性 ；( )f(x) g(x)在 0， + )上 恒 成 立 ， 求 t的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 t 的 范 围 ， 求 出 函

38、数 的 单 调 区 间 即 可 ；( )问 题 转 化 为 (t-1)xex-tx-1+ex 0 对 x 0 成 立 ， 设 h(x)=(t-1)xex-tx-1+ex， 根 据 函 数的 单 调 性 求 出 t的 范 围 即 可 .答 案 ： ( )由 f(x)=(t-1)xex， 得 f (x)=(t-1)(x+1)ex，若 t 1， 则 x -1 时 ， f (x) 0， f(x)递 减 ， x -1时 ， f (x) 0， f(x)递 增 ，若 t 1， 则 x -1 时 ， f (x) 0， f(x)递 增 ， x -1时 ， f (x) 0， f(x)递 减 ，故 t 1 时 ，

39、f(x)在 (- ， -1)递 减 ， 在 (-1， + )递 增 ，t 1 时 ， f(x)在 (- ， -1)递 增 ， 在 (-1， + )递 减 ；(2)f(x) g(x)在 0， + )上 恒 成 立 ， 即 (t-1)xex-tx-1+ex 0 对 x 0 成 立 ，设 h(x)=(t-1)xex-tx-1+ex，h(0)=0， h (x)=(t-1)(x+1)ex-t+ex， h (0)=0， h (x)=ex(t-1)x+2t-1，t=1时 ， h (x)=ex 0， h (x)在 0， + )递 增 ， h (x) h (0)=0， 故 h(x)在 0， + )递 增 ，故

40、h(x) h(0)=0， 显 然 不 成 立 ， t 1， 则 h (x)= 2 1 11x te x tt ，令 h (x)=0， 则 x=-2 11tt ， 当 -2 11tt 0 即 t 12 或 t 1 时 ，若 t 12 ， 则 h (x)在 0， + )为 负 ， h (x)递 减 ，故 有 h (x) h (0)=0， h(x)在 0， + )递 减 ， h(x) h(0)=0成 立 ，若 t 1， 则 h (x)在 0， + )上 为 正 ， h (x)递 增 ，故 有 h (x) h (0)=0， 故 h(x)在 0， + )递 增 ，故 h(x) h(0)=0， 不 成 立

41、 ， -2 11tt 0即 12 t 1 时 ，h (x)在 0， -2 11tt )内 有 h (x) h (0)=0， h(x)递 增 ，故 h(x)在 0， -2 11tt )内 有 h(x) h(0)=0不 成 立 ，综 上 ， t 的 范 围 是 (- ， 12 . 选 修 4-4： 极 坐 标 与 参 数 方 程22.已 知 直 线 l： 3 3 6 0 x y ， 在 以 坐 标 原 点 O为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系中 ， 曲 线 C： -4sin =0.( )将 直 线 l写 成 参 数 方 程 2 cossinx ty t (t为 参

42、数 ， 0， )， )的 形 式 ， 并 求 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 ；( )过 曲 线 C 上 任 意 一 点 P 作 倾 斜 角 为 30 的 直 线 ， 交 l于 点 A， 求 |AP|的 最 值 .解 析 ： ( )首 先 把 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 转 化 为 参 数 方 程 ， 进 一 步 把 极 坐 标 方 程 转 化 为 直 角 坐标 方 程 .( )首 先 求 出 经 过 圆 心 倾 斜 角 为 30 的 直 线 方 程 ， 进 一 步 求 出 两 直 线 的 交 点 坐 标 ， 进 一 步利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 求 出 结 果 .

43、答 案 ： ( )直 线 l： 3 3 6 0 x y ， 转 化 为 参 数 方 程 为 ： 12 32 3 2x ty t (t为 参 数 )，曲 线 C： -4sin =0.转 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 ： x2+y2-4y=0.( )首 先 把 x2+y2-4y=0 的 方 程 转 化 为 ： x2+(y-2)2=4，所 以 经 过 圆 心 ， 且 倾 斜 角 为 30 的 直 线 方 程 为 ： 33 xy+2 0，则 ： 3 3 6 03 2 03x yx y ， 解 得 ： 3 33 3xy ，则 ： 2 23 3 3 1 2 3 2CA ，则 ： |AP|的 最 大

44、值 为 ： 2 3 2 2 2 3 4 ，|AP|的 最 小 值 为 ： 2 3 2 2 2 3 .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲23.已 知 关 于 x 的 不 等 式 |x+1|+|2x-1| 3 的 解 集 为 x|m x n.(I)求 实 数 m、 n的 值 ； (II)设 a、 b、 c均 为 正 数 ， 且 a+b+c=n-m， 求 1 1 1a b c 的 最 小 值 .解 析 ： ( )解 不 等 式 求 出 m， n 的 值 即 可 ；( )求 出 a+b+c=2， 根 据 基 本 不 等 式 的 性 质 求 出 代 数 式 的 最 小 值 即 可 .答 案 ： ( ) |x+1|+|2x-1| 3， 121 2 1 3xx x 或 11 21 2 1 3xx x 或 11 2 1 3xx x ，解 得 ： -1 x 1，故 m=-1， n=1；( )由 ( )a+b+c=2，则 1 1 1 1 1 1 12 a b ca b c a b c = 1 1 1 1 2 b a c a c ba b a c b c 3 1 2 2 22 2 b a c a c ba b a c b c =3 932 2 ，当 且 仅 当 a=b=c=23 时 “ =” 成 立 .