2018年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学及答案解析.docx

《2018年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学及答案解析.docx（10页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、2018年 上 海 市 长 宁 区 、 嘉 定 区 高 考 一 模 数 学一 、 填 空 题1.已 知 集 合 A=1， 2， 3， 4， B=2， 4， 5， 则 A B=_.解 析 ： 集 合 A=1， 2， 3， 4， B=2， 4， 5， A B=2， 4.答 案 ： 2， 42.不 等 式 01xx 的 解 集 为 _.解 析 ： 01xx ， 01 0 xx 或 01 0 xx ， 解 得 ： 1 x 0，答 案 ： ( 1， 03.已 知 4sin 5 ， 则 cos 2 =_.解 析 ： sin = 45 ， cos( 2 + )= sin = 45 .答 案 ： 454. 1

2、3 1lim 3 1nnn =_. 解 析 ： 1 11 33 1 1lim lim 33 1 13 3 nnn nn n ， 13 1 1lim 33 1nnn .答 案 ： 135.已 知 球 的 表 面 积 为 16 ， 则 该 球 的 体 积 为 _.解 析 ： 一 个 球 的 表 面 积 是 16 ， 所 以 球 的 半 径 为 ： 2，所 以 这 个 球 的 体 积 为 ： 34 3223 3 .答 案 ： 323 6.已 知 函 数 f(x)=1+logax， y=f 1(x)是 函 数 y=f(x)的 反 函 数 ， 若 y=f 1(x)的 图 象 过 点 (2， 4)，则 a

3、 的 值 为 _.解 析 ： y=f 1(x)的 图 象 过 点 (2， 4)， 函 数 y=f(x)的 图 象 过 点 (4， 2)，又 f(x)=1+logax， 2=1+loga4， 即 a=4.答 案 ： 47.若 数 列 an为 等 比 数 列 ， 且 a5=3， 则 2 73 8a aa a =_.解 析 ： 根 据 题 意 ， 2 73 8a aa a =a 2 a8 a3 ( a7)=a2 a8+a3 a7，又 由 数 列 an为 等 比 数 列 ， 且 a5=3，则 有 a2 a8=a3 a7=9，则 2 73 8a aa a =9+9=18；答 案 ： 188.设 ABC的

4、 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， (a+b+c)(a b+c)=ac， 则 B=_.解 析 ： ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， (a+b+c)(a b+c)=ac， 即 a 2+c2 b2= ac，又 2 2 2 1cos 2 2a c bB ac ， B= 23 .答 案 ： 239.若 12 nx x 的 二 项 展 开 式 中 的 所 有 二 项 式 系 数 之 和 等 于 256， 则 该 展 开 式 中 常 数 项 的 值为 _.解 析 ： 由 题 意 可 知 ， 2 n=256， 解 得 n=8. 81 1

5、2 = 2nx xx x ， 其 展 开 式 的 通 项 8 8 8 21 8 812 2rrr r r rrT C x C xx ，令 8 2r=0， 得 r=4. 该 展 开 式 中 常 数 项 的 值 为 4 45 82 1120T C .答 案 ： 112010.已 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 且 周 期 为 4的 偶 函 数 ， 当 x 2， 4时 ， 4 3log 2f x x ，则 12f 的 值 为 _.解 析 ： 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 且 周 期 为 4的 偶 函 数 ， 1 1 1 742 2 2 2f f f f ， 又 当 x 2， 4时

6、， 4 3log 2f x x ， 4 4 lg2 lg21 7 7 3 1log log 22 2 2 2 lg4 2lg2 2f f . 答 案 ： 1211.已 知 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 且 a1=1， 2Sn=an an+1(n N*).若 12 11 nn n nnb a a ， 则数 列 bn的 前 n项 和 Tn=_.解 析 ： 2Sn=an an+1(n N*).当 n 2 时 ， 2Sn 1=an 1 an， 2a n=2Sn 2Sn 1=an(an+1 an 1)， a1=1， an 0 an+1 an 1=2， (an+1 an)+(an an 1)

7、=2， an an 1=1， 数 列 an是 以 1 为 首 项 ， 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ， an=1+(n 1)=n， 12 1 2 1 1 11 1 1 11n n nn n nn nb a a n nn n ，数 列 b n的 前 n项 和 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1nnT n n ，当 n 为 偶 数 时 ， 11nT n -1+ ，当 n 为 奇 数 时 ， 1 1 1 111 1nT n n n n -1+ ，综 上 所 述 11nnT n -1+ ，答 案 ： 11nn-1+12.若 不 等 式 x 2 2y2 cx(y x)对 任

8、 意 满 足 x y 0 的 实 数 x、 y 恒 成 立 ， 则 实 数 c 的 最 大值 为 _.解 析 ： 不 等 式 x2 2y2 cx(y x)对 任 意 满 足 x y 0 的 实 数 x、 y 恒 成 立 ， 22 22 222 xyx yc xy x x xy y ，令 1x ty ， 2 22tc f tt t ， 2 2 22 22 2 2 24 2 t tt tf t t t t t ， 当 t 2 2 时 ， f (t) 0， 函 数 f(t)单 调 递 增 ； 当 1 t 2 2 时 ， f (t) 0， 函数 f(t)单 调 递 减 . 当 t=2 2 时 ， f(

9、t)取 得 最 小 值 ， 2 2 2 2 4f . 实 数 c 的 最 大 值 为 2 2 4 .答 案 ： 2 2 4二 、 选 择 题 (本 大 题 共 4 题 ， 每 题 5 分 ， 共 20 分 )13.设 角 的 始 边 为 x 轴 正 半 轴 ， 则 “ 的 终 边 在 第 一 、 二 象 限 ” 是 “ sin 0” 的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件解 析 ： 角 的 始 边 为 x轴 正 半 轴 ， “ 的 终 边 在 第 一 、 二 象 限 ” “ sin 0” ，“

10、sin 0” “ 的 终 边 在 第 一 、 二 象 限 或 的 终 边 在 x 轴 正 半 轴 ” ， “ 的 终 边 在 第 一 、 二 象 限 ” 是 “ sin 0” 的 充 分 非 必 要 条 件 .答 案 ： A 14.若 直 线 l1和 l2 是 异 面 直 线 ， l1在 平 面 内 ， l2在 平 面 内 ， l 是 平 面 与 平 面 的 交线 ， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 ( )A.l与 l1， l2都 不 相 交B.l与 l1， l2都 相 交C.l至 多 与 l1， l2中 的 一 条 相 交D.l至 少 与 l1， l2中 的 一 条 相 交解 析 ： A

11、.l与 l1， l2可 以 相 交 ， 如 图 ： 该 选 项 错 误 ；B.l可 以 和 l1， l2中 的 一 个 平 行 ， 如 上 图 ， 该 选 项 错 误 ；C.l可 以 和 l1， l2都 相 交 ， 如 下 图 ： 该 选 项 错 误 ；D.“ l至 少 与 l 1， l2中 的 一 条 相 交 ” 正 确 ， 假 如 l 和 l1， l2都 不 相 交 ； l 和 l1， l2都 共 面 ； l 和 l1， l2都 平 行 ； l1 l2， l1和 l2共 面 ， 这 样 便 不 符 合 已 知 的 l1和 l2异 面 ； 该 选 项 正 确 .答 案 ： D 15.对 任

12、意 两 个 非 零 的 平 面 向 量 和 ， 定 义 | | |cos ， 其 中 为 和 的 夹角 ， 若 两 个 非 零 的 平 面 向 量 a和 b满 足 ： | | | |a b ； a和 b的 夹 角 0 4 ， ； a b 和b a 的 值 都 在 集 合 2| nx x n N ， 中 ， 则 a b 的 值 为 ( )A. 52B. 32C.1D. 12 解 析 ： | | | | | |cos c 2| os2a ba b b ab n ma ， ， m N，由 与 的 夹 角 (0， 4 )， 知 2cos 4mn ( 12 ， 1)，故 mn=3， m， n N， |

13、| | |a b ， 0 12b ma ， m=1， n=3， 32a b ，答 案 ： B 16.已 知 函 数 12 0 212 2 12x xf x x x ， ， ， 且 f1(x)=f(x)， fn(x)=f(fn 1(x)， n=1， 2， 3， .则 满 足 方 程 fn(x)=x的 根 的 个 数 为 ( )A.2n个B.2n2个C.2n个D.2(2n 1)个解 析 ： 当 x 0， 12 时 ， f 1(x)=f(x)=2x=x， 解 得 x=0；当 x ( 12 ， 1时 ， f1(x)=f(x)=2 2x=x， 解 得 x= 23 ， f 的 1 阶 根 的 个 数 是

14、2.当 x 0， 14 时 ， f1(x)=f(x)=2x， f2(x)=4x=x， 解 得 x=0；当 x ( 14 ， 12 时 ， f 1(x)=f(x)=2x， f2(x)=2 4x=x， 解 得 x= 25 ；当 x ( 12 ， 34 时 ， f1(x)=2 2x， f2(x)= 2+4x=x， 解 得 x= 23 ； 当 x ( 34 ， 1时 ， f1(x)=2 2x， f2(x)=4 4x=x， 解 得 x= 45 . f 的 2 阶 根 的 个 数 是 22.依 此 类 推 f 的 n 阶 根 的 个 数 是 2n.答 案 ： C三 .解 答 题 (本 大 题 共 5 题

15、， 共 14+14+14+16+18=76 分 )17.如 图 ， 设 长 方 体 ABCD A 1B1C1D1中 ， AB=BC=3， AA1=4.(1)求 四 棱 锥 A1 ABCD的 体 积 ；(2)求 异 面 直 线 A1B 与 B1C所 成 角 的 大 小 .(结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示 )解 析 ： (1)A 1到 平 面 ABCD 的 距 离 d=AA1=4， S 正 方 体 ABCD=AB BC=9， 由 此 能 求 出 四 棱 锥 A1 ABCD的 体 积 .(2)由 A1B D1C， 知 D1CB1是 异 面 直 线 A1B与 B1C所 成 角 (或 所 成

16、 角 的 补 角 )， 由 此 能 求 出 异 面直 线 A1B 与 B1C 所 成 角 .答 案 ： (1) A1到 平 面 ABCD的 距 离 d=AA1=4， 长 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB=BC=3， S 正 方 体 ABCD=AB BC=3 3=9， 四 棱 锥 A1 ABCD的 体 积 11 1 4 9 123 3ABCDV AA S 正 方 体 .(2) A 1B D1C， D1CB1是 异 面 直 线 A1B与 B1C 所 成 角 (或 所 成 角 的 补 角 )， 1 1 9 9 3 2BD ， B1C=D1C= 9 16 =5， 2 2 21 1 1 1

17、1 1 1 1 25 25 18 16cos 2 2 5 5 25BC DC BDDCB BC DC ， D1CB1=arccos1625. 异 面 直 线 A 1B与 B1C 所 成 角 为 arccos1625.18.已 知 复 数 z 满 足 2z ， z 2的 虚 部 为 2. (1)求 复 数 z；(2)设 z、 z2、 z z2在 复 平 面 上 的 对 应 点 分 别 为 A、 B、 C， 求 ABC的 面 积 .解 析 ： (1)设 z=a+bi(a， b R)， 由 已 知 列 关 于 a， b的 方 程 组 ， 求 解 可 得 复 数 z；(2)分 类 求 得 A、 B、

18、C 的 坐 标 ， 再 由 三 角 形 面 积 公 式 求 解 .答 案 ： (1)设 z=a+bi(a， b R)，由 已 知 可 得 ： 2 2 22 2a bab ， 即 2 2 21a bab ，解 得 11ab 或 11ab - - . z=1+i 或 z= 1 i；(2)当 z=1+i 时 ， z 2=2i， z z2=1 i， A(1， 1)， B(0， 2)， C(1， 1)，故 ABC的 面 积 S= 12 2 1=1；当 z= 1 i 时 ， z2=2i， z z2= 1 3i， A( 1， 1)， B(0， 2)， C( 1， 3)，故 ABC的 面 积 S= 12 2

19、1=1. ABC的 面 积 为 1.19.一 根 长 为 L 的 铁 棒 AB欲 通 过 如 图 所 示 的 直 角 走 廊 ， 已 知 走 廊 的 宽 AC=BD=2m.(1)设 BOD= ， 试 将 L 表 示 为 的 函 数 ；(2)求 L 的 最 小 值 ， 并 说 明 此 最 小 值 的 实 际 意 义 . 解 析 ： (1)利 用 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 ， 求 得 L 的 解 析 式 .(2)求 导 ， 分 析 导 函 数 的 符 号 ， 进 而 可 得 L 的 最 值 ， 进 而 得 到 最 值 的 含 义 .答 案 ： (1) 走 廊 的 宽 AC=BD=

20、2m. BOD= BAC= ， 2 2sin cosL ；(2) 2 2sin cosL 2 22cos 2sinsin cosL . (0， 4 )， L 0， L为 减 函 数 ； ( ,4 2 )， L 0， L为 增 函 数 ； = 4 时 ， L取 最 小 值 4 2，该 最 小 值 表 示 ： 超 过 4 2则 无 法 通 过 . 20.已 知 函 数 f(x)=2x+2 x.(1)求 证 ： 函 数 f(x)是 偶 函 数 ；(2)设 a R， 求 关 于 x 的 函 数 y=22x+2 2x 2af(x)在 x 0， + )时 的 值 域 g(a)表 达 式 ；(3)若 关 于

21、 x 的 不 等 式 mf(x) 2 x+m 1在 x (0， + )时 恒 成 立 ， 求 实 数 m的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)利 用 奇 偶 性 的 定 义 ， 可 得 函 数 f(x)是 偶 函 数 ；(2)令 t=f(x)=2x+2 x.则 t 2， 22x+2 2x=t2 2， y=22x+2 2x 2af(x)=t2 2at 2， 结 合 二 次 函数 的 性 质 分 类 讨 论 ， 可 得 不 同 情 况 下 ， 函 数 的 值 域 ；(3)若 关 于 x 的 不 等 式 mf(x) 2 x+m 1 在 x (0， + )时 恒 成 立 ， 即 2 12 2 1xx

22、 xm 在 x (0， + )时 恒 成 立 ， 求 出 2 12 2 1xx x 的 最 小 值 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1) 函 数 f(x)=2x+2 x的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ，且 f( x)=2 x+2x=2x+2 x=f(x)，故 函 数 f(x)是 偶 函 数 ；(2)令 t=f(x)=2x+2 x.则 t 2， 2 2x+2 2x=t2 2y=22x+2 2x 2af(x)=t2 2at 2，当 a 2 时 ， 当 t=2 时 ， 函 数 取 最 小 值 2 4a， 无 最 大 值 ；此 时 函 数 的 值 域 为 2 4a， + )，a 2 时 ，

23、 当 t=a时 ， 函 数 取 最 小 值 a2 2， 无 最 大 值 ；此 时 值 域 为 a2 2， + )；(3)若 关 于 x 的 不 等 式 mf(x) 2 x+m 1在 x (0， + )时 恒 成 立即 m(2x+2 x) 2 x+m 1 在 x (0， + )时 恒 成 立即 22 1 2 11 12 2 1 2 2 1 2 2 1x xx x x x x xm 在 x (0， + )时 恒 成 立当 x=1时 ， 2 x=12 ， 此 时 (2 x)2 2 x+1 取 最 小 值 34 ，故 2 12 2 1x x 取 最 大 值 43 ，故 2 11 2 2 1x x 取

24、最 小 值 13故 13m .21.已 知 数 列 a n满 足 ： a1=1， 211 1 4n na a ， n N*.(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)设 数 列 bn的 前 n 项 和 为 Sn， 且 满 足 212 21 16 8 3n nn nS S n na a ， 试 确 定 b1的 值 ， 使 得数 列 bn为 等 差 数 列 ；(3)将 数 列 21na 中 的 部 分 项 按 原 来 顺 序 构 成 新 数 列 c n， 且 c1=5， 求 证 ： 存 在 无 数 个 满 足条 件 的 无 穷 等 比 数 列 cn. 解 析 ： (1)由 a1=1， 两

25、边 平 方 化 简 可 得 2 211 1n na a =4， 则 数 列 21na 是 以 1 为 首 项 ， 以 4为 公 差 的 等 差 数 列 ， 根 据 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可 求 得 21na ， 即 可 求 得 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)由 (1)可 得 化 简 整 理 14 1 4 3n nS Sn n =1， 得 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得 ： 4 3nSn =b1+n 1， 即 Sn=(b1+n 1)(4n 3)， 当 n 2 时 ， bn=Sn Sn 1， 化 为 bn=4b1+8n 11， 取 n=1即 可 得出

26、 ；(3)解 法 1： 令 等 比 数 列 c n的 公 比 q=4m(m N*)， 则 cn=c1qn 1=5 4m(n 1)， 设 k=m(n 1)， 可 得5 4m(n 1)=35(1+4+42+ +4k 1)+2 1， .因 为 5(1+4+42+ +4k 1)+2 为 正 整 数 ， 可 得 数 列 cn是 数 列 an中 包 含 的 无 穷 等 比 数 列 ， 进 而 证 明 结 论 .解 法 2： 设 c2=4k2 3(k2 3)， 所 以 公 比 q= 24 35k ， 由 等 比 数 列 cn的 各 项 为 整 数 ， 则 q为 整 数 ， 取 q=4m+1， 故 cn=5

27、(4m+1)n 1， 利 用 等 差 数 列 定 义 可 得 kn是 正 整 数 ， 因 此 以 数 列 cn是 数 列 an中 包 含 的 无 穷 等 比 数 列 ， 即 可 证 明 .答 案 ： (1) 211 1 4n na a ， 则 2 211 1n na a =4， n N * 数 列 21na 是 以 1 为 首 项 ， 以 4 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 则 21na =1+4(n 1)=4n 3， 41 3na n ， 数 列 a n的 通 项 公 式 41 3na n ；(2)由 (1)可 得 41 3na n ， 212 21 16 8 3n nn nS S n

28、na a ， (4n 3)Sn+1=(4n+1)Sn+16n2 8n 3， 14 1 4 3n nS Sn n =1， 数 列 4 3nSn 是 等 差 数 列 ， 首 项 为 S 1， 公 差 为 1. 4 3nSn =b1+n 1， Sn=(b1+n 1)(4n 3)，当 n 2 时 ， bn=Sn Sn 1=(b1+n 1)(4n 3) (b1+n 2)(4n 7)， 化 为 bn=4b1+8n 11，若 数 列 bn为 等 差 数 列 ， 则 上 式 对 于 n=1时 也 成 立 ， b1=4b1 3， 解 得 b1=1. bn=8n 7 为 等 差 数 列 . b1=1， 数 列 b

29、n为 等 差 数 列 ；(3)证 明 ： 由 (1)可 得 21na =4n 3.解 法 1： 令 等 比 数 列 c n的 公 比 q=4m(m N*)， 则 cn=c1qn 1=5 4m(n 1)，设 k=m(n 1)， 因 为 1+4+42+ +4k 1=4 13k ，所 以 5 4m(n 1)=5 3(1+4+42+ +4k 1)+1，=35(1+4+42+ +4k 1)+2 1，因 为 5(1+4+42+ +4k 1)+2为 正 整 数 ，所 以 数 列 cn是 数 列 an中 包 含 的 无 穷 等 比 数 列 ，因 为 公 比 q=4m(m N*)有 无 数 个 不 同 的 取

30、值 ， 对 应 着 不 同 的 等 比 数 列 ， 故 无 穷 等 比 数 列 cn有 无 数 个 .解 法 2： 设 c2=4k2 3(k2 3)， 所 以 公 比 q= 24 35k .因 为 等 比 数 列 bn的 各 项 为 整 数 ， 所 以 q 为 整 数 ，取 k2=5m+2(m N*)， 则 q=4m+1， 故 cn=5 (4m+1)n 1，由 4kn 3=5 (4m+1)n 1得 ， kn= 14 5(4m+1)n 1+3(n N*)，而 当 n 2 时 ， k n kn 1= 54 (4m+1)n 1 (4m+1)n 2=5m(4m+1)n 2，即 kn=kn 1+5m(4m+1)n 2，又 因 为 k1=2， 5m(4m+1)n 2都 是 正 整 数 ， 所 以 kn也 都 是 正 整 数 ，所 以 数 列 cn是 数 列 an中 包 含 的 无 穷 等 比 数 列 ，因 为 公 比 q=4m+1(m N*)有 无 数 个 不 同 的 取 值 ， 对 应 着 不 同 的 等 比 数 列 ，故 无 穷 等 比 数 列 cn有 无 数 个 .