【考研类试卷】数学-数列、数学归纳法(一)及答案解析.doc

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1、数学-数列、数学归纳法(一)及答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：29，分数：116.00)1.已知 Cn=2n+3n，常数 P 使 Cn+1-PCn为等比数列，则 P=( )。A2 B3 C2 或 3 D6（分数：4.00）A.B.C.D.2.an是等差数列，已知 mk，S m=Sk=b，则 Sm+k=( )。A0 Bb C2b D4b（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 an)是等比数列，a n0(n=1,2,)，记 （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 a2，1，b 2成等比数列，而 成等差数列，那么 的值为( )。（分数：4.00）A.B

2、.C.D.5.在等差数列 an中，a 3=2，a 11=6，数列 bn是等比数列，若 b2=a3， ，那么满足 （分数：4.00）A.B.C.D.6. =( )。（分数：4.00）A.B.C.D.7.3+232+333+434+n3n=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.8.设(1+ax) 8=b0+b1x+b2x2+b8x8，若 b3，b 4，b 5成等差数列，则 a 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.在(1+ax) 7的展开式中，使 x，x 2，x 3的系数成等差数列的实数 a 的值为( )。A1 B C1 或 （分数：4.00）A.B.C.D.10.在等差数列 a

3、n中，已知 a1+a2+a10=p，a n-9+an-8+an=q，则该数列的前 n 项和 Sn等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列前 n 项和中最大的是( )。A前 4 项和 B前 5 项和 C前 6 项和 D前 7 项和（分数：4.00）A.B.C.D.12.等差数列 an、b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 =( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为( )。A3 B4

4、C5 D6（分数：4.00）A.B.C.D.14.等比数列 an的公比为 ，前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.15.在等比数列 an中，a 11，且前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的取值范围是( )。A(1,+) B(1,4) C(1,2) D(1, （分数：4.00）A.B.C.D.16.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：4.00）A.B.C.D.17.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 |m-n|=( )。（分数：

5、4.00）A.B.C.D.18.在等差数列 an)中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3等于( )。A4 B5 C6 D7（分数：4.00）A.B.C.D.19.等差数列 an)中，已知 a1= （分数：4.00）A.B.C.D.20.设数列 an的前 n 项和为 Sn， （分数：4.00）A.B.C.D.21.在数列 an和 bn中，a 1=2，且对任意的正自然数 n，3a n+1-an=0，b n是 an与 an+1的等差中项，则 bn的各项和是( )。A1 B2 C4 D5（分数：4.00）A.B.C.D.22.在等差数列 an中，满足 3a4=7a7，且 a10，S

6、n是数列 an前 n 项的和。若 Sn取得最大值，则 n=( )。A7 B8 C9 D10（分数：4.00）A.B.C.D.23.设 an是首项为 1 的正项数列，且 。那么它的通项公式是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.24.设 an是公比为 q 的等比数列，S n是它的前 n 项和。若 Sn是等差数列，则 q= ( )。A B1 C2 D （分数：4.00）A.B.C.D.25.设数列 an的通项为 an=2n-7(nN)，则|a 1|+|a2|+|a15|=( )。A125 B142 C153 D223（分数：4.00）A.B.C.D.26.等差数列 an中，a 1=2，公差不为

7、零，且 a1，a 2，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于( )。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D.27.设 ，利用等差数列前 n 项和公式，求得 f(-5)+f(-4)+ f(0)+f(5)+f(6)的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.28.设等比数列 an)的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q 为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.29.设 an为等差数列，S n为数列 an的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75，T n为数列 的前 n 项和，那么Tn=( )。（分数：4.00）A.B.C.

8、D.数学-数列、数学归纳法(一)答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：29，分数：116.00)1.已知 Cn=2n+3n，常数 P 使 Cn+1-PCn为等比数列，则 P=( )。A2 B3 C2 或 3 D6（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由C n+1-PCn为等比数列知(Cn+1-PCn)2=(Cn+2-PCn+1)(Cn-PCn-1)即2 n+1+3n+1-P(2n+3n)2=2n+2+3n+2-P(2n+1+3n+1)2n+3n-P(2n-1+3n-1)此式可化为2.an是等差数列，已知 mk，S m=Sk=b，则 Sm+k=(

9、)。A0 Bb C2b D4b（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由条件得2(m-k)a1+(m2-m-k2+k)d=0(m-k)2a1+(m+k-1)d=0因为 m-k0，故 2a1+(m+k-1)d=03.设 an)是等比数列，a n0(n=1,2,)，记 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 (1)若a n的公比 q=1，则 Sn=na1，得(2)q1， ，得由条件可知 q0，综合(1)，(2)得 。根据对数函数的单调性，上式取对数有4.若 a2，1，b 2成等比数列，而 成等差数列，那么 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 a2，1

10、，b 2成等比数列，故 a2b2=1，又因为 成等差数列，故 ，得方程组5.在等差数列 an中，a 3=2，a 11=6，数列 bn是等比数列，若 b2=a3， ，那么满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 a n是等差数列由 a3=2，a 11=6 得方程组故bn是等比数列，由 b2=a3，b 3= 得方程组故 ，从而6. =( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 7.3+232+333+434+n3n=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 Sn=3+232+333+434+n3n则 3Sn=32+233+334+435+(n-1)3n+n

11、3n+1把以上两式相减，得故8.设(1+ax) 8=b0+b1x+b2x2+b8x8，若 b3，b 4，b 5成等差数列，则 a 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知，得即故 2a2-5a+2=0，(2a-1)(a-2)=0解得 a=9.在(1+ax) 7的展开式中，使 x，x 2，x 3的系数成等差数列的实数 a 的值为( )。A1 B C1 或 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 x，x 2，x 3的系数分别为即 42a2=7a+35a3，5a 2-6a+1=0得 a=1 或 a=10.在等差数列 an中，已知 a1+a2+a10=p，a n-9

12、+an-8+an=q，则该数列的前 n 项和 Sn等于( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 把已知的两式左右两边对应相加，得(a 1+an)+(a2+an-1)+(a10+an-9)=p+q，左边共有 10 个括号，在一个共有 n 项的等差数列中，由等差数列的性质知a2+an-1=a3+an-2=a10+an-9=a1+an故上式可变为 10(a1+an)=p+q，a 1+an=故11.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列前 n 项和中最大的是( )。A前 4 项和 B前 5 项和 C前 6 项和 D前 7 项和（分数：4.00）A.B.C

13、.D. 解析：解析 由 S3=S11得，a 4+a5+a11=0即(a 1+3d)+(a1+4d)+(a1+10d)=08a1+52d=0a1=-6.5d可列出前 n 项和的表达式：又因为 d0，故当 n=7 时，S n取得最大值12.等差数列 an、b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 =( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一：因为所以可设 Sn=kn(5n+1)，T n=kn(3n-1)则解法二：13.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为( )。A3 B4 C5 D6（分数：4.

14、00）A.B.C. D.解析：解析 解法一：设这个数列的首项为 a1，公差为 d，则有解得 d=5解法二：依题意，得又因为 S 偶 -S 奇 =6d，故 d=5。解法三：因为故 ，故故14.等比数列 an的公比为 ，前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：15.在等比数列 an中，a 11，且前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的取值范围是( )。A(1,+) B(1,4) C(1,2) D(1, （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，得：故又因为 a11，所以16.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内

15、累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设第 n 个月份的需求量超过 1.5 万件，显然 S11.5，则当 n1 时17.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 |m-n|=( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为原方程有四个根，所以方程 x2-2x+m=0 和 x2-2x+n=0 各有两个根，又因为这两个方程的两根之和都等于 2，且这四个根组成等差数列a n，故设这四个根为 a1，a 2， a 3，a 4，有a1+a4=a2+a3=2，因为|m-n|=|n-m|不妨设上述两个方

16、程的根为 a1，a 4和 a2，a 3，则 a2+a3=a1+a4=2，设公差为 d，故 2a1+3d=2，18.在等差数列 an)中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3等于( )。A4 B5 C6 D7（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题可运用通项公式，依题意得a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=20得 5a1+10d=20，即 a1+2d=4，a 3=4。故正确答案为 A。19.等差数列 an)中，已知 a1= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 a2+a5=4，得 2a1+5d=420.设数列 an的前 n

17、 项和为 Sn， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 21.在数列 an和 bn中，a 1=2，且对任意的正自然数 n，3a n+1-an=0，b n是 an与 an+1的等差中项，则 bn的各项和是( )。A1 B2 C4 D5（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ，又a n是以 2 为首项， 为公比的等比数列，故22.在等差数列 an中，满足 3a4=7a7，且 a10，S n是数列 an前 n 项的和。若 Sn取得最大值，则 n=( )。A7 B8 C9 D10（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设公差为 d，由题设 3(a1+3d)=7(a1+6d)，

18、解得23.设 an是首项为 1 的正项数列，且 。那么它的通项公式是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：24.设 an是公比为 q 的等比数列，S n是它的前 n 项和。若 Sn是等差数列，则 q= ( )。A B1 C2 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为a n是公比为 q 的等比数列，故 q0，且数列的前 n 项和为25.设数列 an的通项为 an=2n-7(nN)，则|a 1|+|a2|+|a15|=( )。A125 B142 C153 D223（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 an=2n-7 故 a1=-5，a 2=-3，a 3=

19、-1，a 4=1，a 5=3，a 15=23所以|a 1|+|a2|+|a15|=(5+3+1)+(1+3+5+23)=26.等差数列 an中，a 1=2，公差不为零，且 a1，a 2，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于( )。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 a1，a 3，a 11组成的等比数列公比为 q故 a3=a1q=2q，a 11=a1q2=2q2又因为 2q2=a1+5(2q-a1)，故 2q2=2+5(2q-2)解得 q=4故正确答案为 D。27.设 ，利用等差数列前 n 项和公式，求得 f(-5)+f(-4)+ f

20、(0)+f(5)+f(6)的值为( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：28.设等比数列 an)的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q 为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 若 q=1，则有 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1但 a10，即得 S3+S62S 9，与题设矛盾，故 q1。又依题意得 S3+S6=2S9，可得整理，得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得方程 2q6-q3-1=0即(2q 3+1)(q3-1)=0，因为 q1，q 3-10，故故正确答案为 C。注意：(1)要时刻注意公比 q 的取值范围，方能不断地简化计算。(2)复数不能扩展到数列中，而29.设 an为等差数列，S n为数列 an的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75，T n为数列 的前 n 项和，那么Tn=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设等差数列a n的公差为 d，则解得 a1=-2，d=1，故因为 ，故数列 是首项为-2 公差为 的等差数列，故