【考研类试卷】考研数学二(线性代数)-试卷2及答案解析.doc
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1、考研数学二(线性代数)-试卷 2 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 是 n 阶方阵,满足 AB=O,则必有 ( )(分数:2.00)A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.A=0 或B=0D.A+B=03.A,B 是 n 阶方阵,则下列公式正确的是 ( )(分数:2.00)A.(A 2 ) 一 1 =(A 一 1 ) 2B.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1C.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2D.(kA) 一 1 =k
2、A 一 1 (k0)4.已知 A,B,A+B,A 一 1 +B 一 1 均为 n 阶可逆阵,则(A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 等于 ( )(分数:2.00)A.A+BB.A 一 1 +B 一 1C.A(A+B) 一 1 BD.(A+B) 一 15.下列命题正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 AB=E,则 A 必可逆,且 A 一 1 =BB.若 A,B 均为 n 阶可逆阵,则 A+B 必可逆C.若 A,B 均为 n 阶不可逆阵,则 AB 必不可逆D.若 A,B 均为 n 阶不可逆阵,则仙必不可逆6.设 A 是 n 阶方阵,且 A 3 =0,则 ( )(分数:2.00)A.A 不可逆
3、,且 E 一 A 不可逆B.A 可逆,但 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆D.A 不可逆,且必有 A 2 =O7.设 A,B 是 n 阶矩阵,AB=O,BO,则必有 ( )(分数:2.00)A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =08.A 是 n 阶方阵,A * 是 A 的伴随矩阵,则A * = ( )(分数:2.00)A.AB.A 一 1 C.A n 一 1 D.A n 9.A 是 n 阶矩阵,A=3则(A * ) * = ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2),A * 是 A
4、的伴随矩阵,则(A * ) * = ( )(分数:2.00)A.A n 一 1 AB.A n+1 +AC.A n 一 2 AD.A n+2 A二、填空题(总题数:6,分数:12.00)11.设 =1,0,1 T ,A= T ,n 是正数,则aE 一 A n = 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 A,B 均为 n 阶矩阵,A=2,B=一 3,则2A * B 一 1 = 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 A 是 m 阶矩阵,B 是 n 阶矩阵,且A=a,B=b,C= (分数:2.00)填空项 1:_14.已知 AB 一 B=A,其中 B= (分数:2.00)填空项 1:_15.
5、设 A 为奇数阶矩阵,AA T =A T A=E,A0,则AE= 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设 3 阶方阵 A,B 满足关系式 A 一 1 BA=6A+BA,且 A= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.设 A 是 n 阶矩阵,证明:A=O 的充要条件是 AA T =O(分数:2.00)_19.设 A= (分数:2.00)_20.设 A= (分数:2.00)_21.证明:方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵(分数:2.00)_22.证明:
6、若 A 为 n 阶可逆方阵,A * 为 A 的伴随矩阵,则(A * ) T =(A T ) * (分数:2.00)_23.证明:若 A 为 n 阶方阵,则有A * =(一 A) * (n2)(分数:2.00)_24.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 A 一 1 = (分数:2.00)_25.已知 X=AX+B,其中 A= (分数:2.00)_26.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 一 3A 一 2E=O证明:A 可逆,并求出其逆矩阵 A 一 1 (分数:2.00)_27.已知对于 n 阶方阵 A,存在自然数 k,使得 A k =O试证明:矩阵 E 一 A 可逆,并写出其逆矩阵的表达式
7、(E 为 n 阶单位阵)(分数:2.00)_28.设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B,其中 A= (分数:2.00)_29.设 M= (分数:2.00)_30.设矩阵 A= (分数:2.00)_31.假设 A= (分数:2.00)_考研数学二(线性代数)-试卷 2 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 是 n 阶方阵,满足 AB=O,则必有 ( )(分数:2.00)A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.A=0 或B=0 D
8、.A+B=0解析:解析:AB=OAB=AB=0,故A=0 或B=03.A,B 是 n 阶方阵,则下列公式正确的是 ( )(分数:2.00)A.(A 2 ) 一 1 =(A 一 1 ) 2 B.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1C.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2D.(kA) 一 1 =kA 一 1 (k0)解析:解析:因(A 2 ) 一 1 =(AA) 一 1 =A 一 1 A 一 1 =(A 一 1 ) 2 ;(B)不成立,例:B=一 A,A+B 不可逆;(C)中,ABBA,BA 一 ABO;(D)中,(kA) 一 1 = 4.已知 A,B,A+B,A 一 1 +B 一 1
9、 均为 n 阶可逆阵,则(A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 等于 ( )(分数:2.00)A.A+BB.A 一 1 +B 一 1C.A(A+B) 一 1 B D.(A+B) 一 1解析:解析:验算 (A 一 1 +B 一 1 )A(A+B) 一 1 B=(E+B 一 1 A)(A+B) 一 1 B =B 一 1 (B+A)(A+B) 一 1 B=B 一 1 B=E, 故 (A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 =A(A+B) 一 1 B5.下列命题正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 AB=E,则 A 必可逆,且 A 一 1 =BB.若 A,B 均为 n 阶可逆阵,则 A+B 必可逆C
10、.若 A,B 均为 n 阶不可逆阵,则 AB 必不可逆D.若 A,B 均为 n 阶不可逆阵,则仙必不可逆 解析:解析:因 A,B 不可逆,则A=0,B=0,故AB=AB=0,AB 不可逆(A)中 AB=E,未指出是方阵,若 A= 则 AB=E,但 A,B 均无逆可言(B)中,取 B=一 A,则 A+B=A 一 A=O 不可逆(C)中,取 A=6.设 A 是 n 阶方阵,且 A 3 =0,则 ( )(分数:2.00)A.A 不可逆,且 E 一 A 不可逆B.A 可逆,但 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆 D.A 不可逆,且必有 A 2 =O解析:解析:A 3 =
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