1、考研数学二（线性代数）-试卷 2 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是 n 阶方阵，满足 AB=O，则必有 ( )（分数：2.00）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.A=0 或B=0D.A+B=03.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) 一 1 =(A 一 1 ) 2B.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1C.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2D.(kA) 一 1 =k
2、A 一 1 (k0)4.已知 A，B，A+B，A 一 1 +B 一 1 均为 n 阶可逆阵，则(A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A 一 1 +B 一 1C.A(A+B) 一 1 BD.(A+B) 一 15.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A 一 1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则仙必不可逆6.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =0，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆
3、，且 E 一 A 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆D.A 不可逆，且必有 A 2 =O7.设 A，B 是 n 阶矩阵，AB=O，BO，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =08.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A 一 1 C.A n 一 1 D.A n 9.A 是 n 阶矩阵，A=3则(A * ) * = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A
4、的伴随矩阵，则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A.A n 一 1 AB.A n+1 +AC.A n 一 2 AD.A n+2 A二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 =1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则aE 一 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A=2，B=一 3，则2A * B 一 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，C= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 AB 一 B=A，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_15.
5、设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则AE= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 一 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AA T =O（分数：2.00）_19.设 A= （分数：2.00）_20.设 A= （分数：2.00）_21.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_22.证明：
6、若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_23.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A * =(一 A) * (n2)（分数：2.00）_24.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 A 一 1 = （分数：2.00）_25.已知 X=AX+B，其中 A= （分数：2.00）_26.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 一 3A 一 2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A 一 1 （分数：2.00）_27.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式
7、(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_28.设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= （分数：2.00）_29.设 M= （分数：2.00）_30.设矩阵 A= （分数：2.00）_31.假设 A= （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 2 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是 n 阶方阵，满足 AB=O，则必有 ( )（分数：2.00）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.A=0 或B=0 D
8、.A+B=0解析：解析：AB=OAB=AB=0，故A=0 或B=03.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) 一 1 =(A 一 1 ) 2 B.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B 一 1C.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2D.(kA) 一 1 =kA 一 1 (k0)解析：解析：因(A 2 ) 一 1 =(AA) 一 1 =A 一 1 A 一 1 =(A 一 1 ) 2 ；(B)不成立，例：B=一 A，A+B 不可逆；(C)中，ABBA，BA 一 ABO；(D)中，(kA) 一 1 = 4.已知 A，B，A+B，A 一 1 +B 一 1
9、 均为 n 阶可逆阵，则(A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A 一 1 +B 一 1C.A(A+B) 一 1 B D.(A+B) 一 1解析：解析：验算 (A 一 1 +B 一 1 )A(A+B) 一 1 B=(E+B 一 1 A)(A+B) 一 1 B =B 一 1 (B+A)(A+B) 一 1 B=B 一 1 B=E， 故 (A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 =A(A+B) 一 1 B5.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A 一 1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C
10、.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则仙必不可逆 解析：解析：因 A，B 不可逆，则A=0，B=0，故AB=AB=0，AB 不可逆(A)中 AB=E，未指出是方阵，若 A= 则 AB=E，但 A,B 均无逆可言(B)中，取 B=一 A，则 A+B=A 一 A=O 不可逆(C)中，取 A=6.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =0，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，且 E 一 A 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆 D.A 不可逆，且必有 A 2 =O解析：解析：A 3 =
11、O，有 E 3 +A 3 =(E+A)(A 2 一 A+E)=E， E 3 一 A 3 =(E 一 A)(A 2 +A+E)=E， 故 A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆由以上两式知，E 一 A，E+A 也均可逆，故(A)，(B)不成立，同时 7.设 A，B 是 n 阶矩阵，AB=O，BO，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =0 解析：解析：AB=O，不一定有 BA=O，故(A)中(A+B) 2 =A 2 +B 2 ，不成立；BO，B可以为零，也可以不为零，B * 也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成
12、立；BO，AB=O，AX=0 有非零解，故A=0，从而A * =A n 一 1 =08.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A 一 1 C.A n 一 1 D.A n 解析：解析：AA * =AE，两边取行列式，得AA * =A n 若A0，A * =A n 一 1 =A n 一 1 ； 若A=0，则A * =0，故选(C)9.A 是 n 阶矩阵，A=3则(A * ) * = ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：A=3，A 可逆 (A * )(A * ) * =A * E， (A * ) * =A * (A * )
13、 一 1 =A * =A n 一 2 A， (A * ) * =A n 一 2 A=A (n 一 2)n A= 10.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随矩阵，则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A.A n 一 1 AB.A n+1 +AC.A n 一 2 A D.A n+2 A解析：解析：AA * =AE，得 A * (A * ) * =A * E，(A * ) * =A * (A * ) 一 1 ， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 =1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则aE 一 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
14、正确答案：正确答案：a 2 (a 一 2 n )）解析：解析： A n =( T ) n = T T T =( T )( T )( T ) T =2 n 一 1 A， 12.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A=2，B=一 3，则2A * B 一 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 ）解析：解析：2A * B 一 1 =2 n A * B 一 1 =2 n A n 一 1 13.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，C= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) mn ab）解析：解析：C= 14.已知 AB 一
15、B=A，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：AB 一 B=AA=B(BE) 一 1 = 15.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则AE= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 一 E=AAA T =A(E 一 A T )=A(EA) T =AEA 由于 AA T =A T A=E，可知A 2 =1又由于A0，可知A=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故 E 一A=一(AE)=一AE， 故有AE=一AE，可知AE=016.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 一 1 BA=6A+BA，且 A
16、= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：diag(3，2，1)）解析：解析：由 A 一 1 BA=6A+BA 得 B=6A(E 一 A) 一 1 =diag(3，2，1)， 其中， 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AA T =O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 应有 )解析：19.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)用归纳法 n=3 时，因 A 2 = ，验证得 A 2 =A+A 2 一 E，上式
17、成立 假设 n=k 一 1(n3)时成立，即 A k 一 1 =A k 一 3 +A 2 E 成立，则 A k =AA k 一 1 =A(A k 一 3 +A 2 一 E)=A k 一 2 +A 3 一 A =A k 一 2 +(A+A 2 一 E)一 A=A k 一 2 +A 2 一 E， 即 n=k 时成立故 A n =A n 一 2 +A 2 一 E 对任意 n(n3)成立 (2)由上述递推关系可得 A 100 =A 98 +A 2 一 E=(A 96 +A 2 一 E)+A 2 一 E =A 96 +2(A 2 一 E)=A 2 +49(A 2 一 E) = )解析：20.设 A= （
18、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) )解析：21.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换 )解析：22.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) T =(AA 一 1 ) T =A(A 一 1 ) T =A(A T ) 一 1 =A T (A T ) 一 1 =(A T ) * )解析：23.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A * =(一 A
19、) * (n2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(a ij ) nn ，A的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，则A的元素一a ij 的代数余子式为 B ij =(一 1) n 一 1 A ij ， 于是(A) * =(一 1) n 一 1 (A ij ) nn (一 1) n 一 1 A * ，所以 (一 A) * =(一 1) n 一 1 A * =(一 1) n 一 1 n A * =A * )解析：24.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 A 一 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) 一 1 = )解析：25.已知 X=AX+B，其中
20、A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X=(EA) 一 1 B= )解析：26.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 一 3A 一 2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A * 3A 一 2E=O )解析：27.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E=E 一 A k =E k 一 A k =(E 一 A)(E+A+A k 一 1 )，所以 E 一 A 可逆，且 (EA) 一 1 =E+A+A k 一 1 )解析：28.设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB=A+2BB=(A 一 2E) 一 1 A= )解析：29.设 M= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 可逆M=AD0A0，D0A，D 可逆 )解析：30.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX+E=A 2 +X(AE)X=(A 一 E)(A+E)又AE=一 10，则 X=A+E= )解析：31.假设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
