【考研类试卷】考研数学二-219及答案解析.doc

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1、考研数学二-219 及答案解析(总分：226.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内二阶可导且 f“(x)0，则 0，h 10h 20，有ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x0)=f“(x0)=f(3)(x0)=0，f (4)(x0)0，则 x=x0是 f(x)的 A.极大值点 B.极小值点 C.非极值点 D.图形的拐点的横坐标（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题中正确的是A设 f(x)在(-，+)为偶函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导B

2、设 f(x)在(-，+)为奇函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导C设 f(x)dx=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ，则 F“(x)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为 A1 B-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 基础解系的是 A. 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1 B. 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4+ 1 C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1 D.

3、 1， 2， 3， 4的等价向量组（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 P-1AP=B，若 A=，0，则AB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PBB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PCB 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1DB 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在点 x=1 的某邻域内有定义，且满足 3xf(x)x 2+x+1，则曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_10.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1，f(0)

4、= ，f“(0)=-1，则（分数：4.00）填空项 1:_11.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：6，分数：170.00)(1).求不定积分 （分数：10.00）_(2).设心脏线的极坐标方程为 r=a(1+cos)(a0)，求它绕极轴旋转一周所产生的旋转体的侧面积A（分数：10.00

5、）_设方程 y3+sin(xy)-e2x=0 确定曲线 y=y(x)（分数：30.00）(1).求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径（分数：10.00）_(2).求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程（分数：10.00）_(3).设函数 f(x)连续且满足 （分数：10.00）_设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 r(z)= （分数：50.00）(1).写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积 V=V(t)之间

6、的关系式，并求出水面高度 z 与时间 t 的函数关系；（分数：10.00）_(2).求水表面上升速度最大时的水面高度；（分数：10.00）_(3).求灌满容器所需时间（分数：10.00）_(4).设二元可微函数 F(x，y)在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)+g(y)，其中 f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成 F(x，y)=H(r)(r= （分数：10.00）_(5).计算二重积分 （分数：10.00）_(1).设 f(x)在(a，+)可导且 ，求证：若 A0，则 f(x)=+；若 A0， 则 （分数：10.00）_(2).设 g(x)在a，+)连续，且 g(x)d

7、x 收敛，又 （分数：10.00）_已知 4 元齐次线性方程组 （分数：30.00）(1).求 a 的值；（分数：10.00）_(2).求齐次方程组(i)的解；（分数：10.00）_(3).求齐次方程(ii)的解（分数：10.00）_已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，-1) T且满足A=2（分数：20.00）(1).求该二次型表达式；（分数：10.00）_(2).求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换（分数：10.00）_考研数学二-219 答案解析(总分：226.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.

8、设 f(x)在(-，+)内二阶可导且 f“(x)0，则 0，h 10h 20，有ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：这是比较三个数*的大小问题已知 f“(x)0*f(x)单调上升，于是设法转化为比较导数值这是可以办到的，只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理：*，其中 x-h1x；*，其中 xx+h 2由 f(x)在(-，+)单调上升*f()f(x)f()因此选(B)2.设 f(x0)=f“(x0)=f(3)(x0)=0，f (4)(x0)0，则 x=x0是 f(x)的 A.极大值点 B.极小值点 C.非极值点 D.图形的拐点的横坐标（分数：4.00）A.B. C.D.解析

9、：考察 x=x0是否是 f(x)的极值点，就是要在 x=x0邻域考察 f(x)-f(x0)在 x=x0邻域，联系 f(x)-f(x0)，f(x 0)，f (4)(x0)的是带皮亚诺余项的四阶泰勒公式：*因为*由极限的不等式性质*当 0|x-x 0| 时*当 x|x-x 0| 时 f(x)-f(x0)0*x=x 0是 f(x)的极小值点因此，应选(C)3.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 先求出分段函数 f(x)的变限积分：当 0x1 时，*当 1x2 时，*于是*易验证 F(x)在0，2上连续(关键是考察*)当 x1 时显然 F(x)可导，且*F(x)在点 x=1 处不可导

10、故应选(C)分析二 不必求出 F(x)这里 f(x)在0，2上有界，除 x=1 外连续，x=1 是 f(x)的跳跃间断点由可积性的充分条件*f(x)在0，2上可积，再由基本定理*F(x)在0，2上连续故(A)，(B)不对进一步考察 F(x)的可导性当 x1 时 F(x)=f(x)，又 x=1 是 f(x)的跳跃间断点，则 F(x)在点 x=1 处不可导故应选(C)设 f(x)在a，b除 x=x0外连续，x=x 0是 f(x)的跳跃间断点，则*dt 在点 x=x0处不可导证明 由题设知 f(x)在a，b可积，当 xx 0时，*当 x=x0时，考察*因 x=x0是 f(x)的跳跃间断点，即 f(x

11、0+0)f(x 0-0)，因此 F+(x0)=f(x0+x)F -(x0)=f(x0-0)，即 F(x)在点 x=x0处不可导4.下列命题中正确的是A设 f(x)在(-，+)为偶函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导B设 f(x)在(-，+)为奇函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导C设 f(x)dx=0，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：关于(A)、(B)，可从几何上考察图形，易知(A)错，(B)对 * (B)是正确的*0*-x0，f(x)=-f(-x)5.设 ，则 F“(x)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：记*，被积函数

12、f(y)是含参变量 y 的变限积分由 * *f(y)连续于是 F(x)=f(x)， * 因此选(C)6.设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为 A1 B-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：一阶线性齐次方程*+(a+sin 2x)y=0 的全部解为*它们均以 为周期*以 为周期分析一 a+sin 2t 以 为周期，则*以 为周期*，即*应选(D)分析二 由于*它以 为周期*注意周期函数的积分性质：设 P(t)在(-，+)连续，以 T 为周期，则1*2*以 T 为周期*分析一 中用到了性质 27.已知 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量

13、组中也是 Ax=0 基础解系的是 A. 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1 B. 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4+ 1 C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1 D. 1， 2， 3， 4的等价向量组（分数：4.00）A. B.C.D.解析：等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关例如向量组 1， 2， 3， 4， 1+ 2与向量组 1， 2， 3， 4等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系故(D)不正确(B)、(C)均线性相关，因此不能是基础解系故(B)与(C)也不正确注意到：( 1+ 2)-( 2- 3)-( 3- 4)-( 4+ 1)=0，( 1

14、+ 2)-( 2+ 3)+( 3- 4)+( 4- 1)=0，唯有(A)， 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1是 Ax=0 的解，又由*且*知 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1线性无关，且向量个数与 1， 2， 3， 4相同所以(A)也是 Ax=0 的基础解系故选(A)8.已知 P-1AP=B，若 A=，0，则AB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PBB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PCB 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1DB 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除(B)、(D)由 P-

15、1AP=B*P-1A=BP-1*P-1A=BP -1，于是有B(P-1)=P -1()=(P -1)故应选(C)二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在点 x=1 的某邻域内有定义，且满足 3xf(x)x 2+x+1，则曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=3x）解析：在 3xf(x)x 2+x+1 中取 x=1，可得 f(1)=3当 x1 时*，即*令x1 +，由夹逼定理与导数定义可得 f+(1)=3同理，当 x1 时，*，类似可得 f-(1)=3由此可知 f(1)=3，所以曲线 y=f(x)在点 x=

16、1 处的切线方程为y=f(1)+f(1)(x-1)=3+3(x-1)，即 y=3x10.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1，f(0)= ，f“(0)=-1，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 由反函数求导公式得 * 再由复合函数求导法得 * 从而* 于是* 分析二 将上述导出的 (y)，“(y)表达式代入得 * 于是* 分析三 在 xOy 直角坐标系中 y=f(x)与它的反函数 x=(y)代表同一条曲线，作为 x 的函数 y=f(x)与作为 y 的函数 x=(y)在同一点处的曲率是相同的按曲率公式应有 * 因 f(0)

17、=1，即 x=0 时 y=1* *11.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：取坐标系如图所示，椭圆方程为*对小区间x，x+dx对应的小横条薄板，液体对它的压力 * dP=压强面积 * 于是液体对薄板的侧压力为 *12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：I(a)是二重积分的一个累次积分，可写为*其中 D：0y2a，0x*，它是半圆域：x2+(y-a)2a

18、2，x0由二重积分中值定理，*(，)D，使得*(其中 D 的面积为*)又 ln(1+a2)a 2(a0)，于是*其中 a0 +时， 2+ 2014.已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：因为 AA*=A*A=|A|E，又*所以*于是*三、B解答题/B(总题数：6，分数：170.00)(1).求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(解一 先分解并凑微，即 * 对上式第二项积分用分部积分法得 * 用凑微分法求*，即 * (或用另一凑微分法求*，即 * 因此* 或* 解二 * * 其余同上 解三 *)解析：(2).设心脏线的极坐标方程为

19、r=a(1+cos)(a0)，求它绕极轴旋转一周所产生的旋转体的侧面积A（分数：10.00）_正确答案：(先求*由对称性，只须考察 0，按侧面积公式得 *)解析：设方程 y3+sin(xy)-e2x=0 确定曲线 y=y(x)（分数：30.00）(1).求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径（分数：10.00）_正确答案：(首先用隐函数求导法计算 y=y(x)在 x=0 处的一、二阶导数 y(0)与 y“(0)为此将隐函数方程两端对 x 求导数得3y2y+(y+xy)cos(xy)-2e2x=0 (*)将 x=0 与 y(0)=1 代入(*)即得*将(*)式两端对 x 求导数又

20、得6y(y)2+3y2y“+(2y+xy“)cos(xy)-(y+xy)2sin(xy)-4e2x=0， (*)将 x=0，y(0)=1 与*代入(*)即得*利用以上计算结果即知所求的曲率为*曲率半径为*)解析：(2).求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程（分数：10.00）_正确答案：(设曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆中心是(，)先求(，)曲线 y=y(x)在点(0，1)处的法线方程是 y=1-3x*，曲率中心(，)位于法线上，所以有=1-3又(，)与(0，1)的距离即曲率半径 ，即*于是*因为 y=y(x)在(0，1)附近是凹的(y“(0)0，y“(x)连续)，(

21、，)在法线上凹的一侧，如图，1 即0，*于是曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程是*曲线 y=y(x)在点 M0(x0,y0)(y0=y(x0)处的曲率中心为(,)则*推导如下：曲线 y=y(x)在点 M0处的法线方程是*(,)在法线上，所有以*时也成立)又(,)与(x 0,y0)的距离即曲率半径 ,即(-x 0)2+(-y 0)2= 2于是*因为(，)位于凹的一侧，当 y“(x0)0 时 y=y(x)在 x0邻域是凹的，y 0当 y“(x0)0 时 y=y(x)在 x0邻域是凸的，y 0.因此*相应地 =x 0-(-y 0)y(x0)=x0-*若代公式，我们可得题()中曲线 y=y

22、(x)的曲率中心(,)：*)解析：(3).设函数 f(x)连续且满足 （分数：10.00）_正确答案：(题设方程可改写为* 由 f(x)连续知*与*可导，结合 4-5x 与 36xex可导即知 f(x)可导，将上式两端求导得*化简得* 再将中令 x=0 得f(0)=0 求解转化为求解+从式又知 f(x)具有二阶导数，将式两端求导得f“(x)+4f(x)-5f(x)=36(x+2)ex在式中令 x=0 得 f(0)=36，综合可得 y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题*的特解从特征方程 2+4-5=0 可得二特征根 1=1， 2=-5，于是对应齐次微分方程有二线性无关特解 ex与 e-5

23、x，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式 y*=x(Ax+B)ex，代入方程知待定系数 A 和 B 应满足恒等式6(2Ax+B)+2Aex=36(x+2)ex，不难得出 A=3，B=11从而方程具有通解y=C1ex+C2e-5x+(3x2+11x)ex，于是 y=C1ex-5C2e-5x+(3x2+17x+11)ex利用初值 y(0)=0 与 y(0)=36 可确定*综合即得*)解析：设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 r(z)= （分数：50.00）(1)

24、.写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积 V=V(t)之间的关系式，并求出水面高度 z 与时间 t 的函数关系；（分数：10.00）_正确答案：(由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积 V(t)之间的关系是*其中 S(z)是水面 D(z)的面积，且 S(z)=z 2+(1-z)2现由*及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得*这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得S(z)dz= 0dt，即*两边积分并注意 z(0)=0，得* (*)解析：(2).求水表面上升速度最大时的水面高度；（分数：10.00）_正确答案

25、：(求 z 取何值时*取最大值已求得*因此，求*取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1-z)2在0，1上的最小值点由*f(x)在*在0，1上取最小值故*时水表面上升速度最大)解析：(3).求灌满容器所需时间（分数：10.00）_正确答案：(归结求容器的体积，即 * 因此灌满容器所需时间为*(秒) 或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*)中令 z=1 得 *即*(秒)解析：(4).设二元可微函数 F(x，y)在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)+g(y)，其中 f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成 F(x，y)=H(r)(r=

26、（分数：10.00）_正确答案：(由题设可知，在极坐标系中，F(x，y)与 无关，于是* 再由 F(x，y)=f(x)+g(y)得*代人式得-yf(x)+xg(y)=0，即*(常数)由 f(x)=x，g(y)=y 分别得*因此 F(x，y)=f(x)+g(y)=C(x 2+y2)+C0，其中 C 与 C0为*常数作为复习，请考生求解：.设二元可微函数在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)g(y)0，其中 f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成()F(x，y)=H(r)*；()F(x，y)=()求此二元函数 F(x，y)的表达式(答案：()F(x,y)=Ce (x2+y2)

27、；()*，其中 为某常数，C 为任意常数).设函数 f(x,y)二阶偏导数连续，满足*，且在极坐标系下可表成 f(x,y)=h(r)，其中*，求此二元函数 f(x，y)(提示*，求混合偏导数*，因其等于 0 可得到关于 h 的微分方程解此微分方程可得 h(r)=C1r2+C2，从而 f(x,y)=C1(x2+y2)+C2)解析：(5).计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解一 D 如图(1)所示因被积函数分块表示，要分块积分以 y-x= 为分界线将 D 分成上、下两部分，分别记为 D1与 D2，D=D 1D 2，见图(2)*在 D1中，y-x2；在 D2中，0y-x，于是*=2+2

28、=4解二 利用对称性与 D 关于 y=x 对称的区域记为 D*，又记 f(x，y)=|sin(x-y)|=f(y，x)，则*)解析：(1).设 f(x)在(a，+)可导且 ，求证：若 A0，则 f(x)=+；若 A0， 则 （分数：10.00）_正确答案：(联系 f(x)与 f(x)的是拉格朗日中值定理，取 x0(a,+)，*xx 0有f(x)=f(x0)+f()(x-x 0)(x0x) (*)下面估计 f()：由*，设 A0，由极限的不等式性质*，当 xX 时 f(x)*现取定 x0X，当xx 0时，由于 x 0x，有*，于是由(*)式得*又因*，所以*若 A0，考察 g(x)=-f(x)，

29、则 g(x)=-f(x)，*，由已证结论知*于是*)解析：(2).设 g(x)在a，+)连续，且 g(x)dx 收敛，又 （分数：10.00）_正确答案：(记*，则 f(x)在a，+)内可导且 f(x)=g(x)，*=*若 l0，则 l0 或0，由题()*(或-)，与*收敛矛盾因此 l=0若 A 改为+或-，类似可证题()也有相应的结论.若知道洛必达法则：设 f(x)，g(x)在(a，+)可导且 g(x)0，*，又*(为有限数或为)，则有*，那么题(1)也用洛必达法则来证：*设 g(x)在a，+)的任意有界闭区间可积，且*收敛,又*=l 则同样必有 l=0，这时应如下证明：若l0，由极限不等式

30、性质，*x 0a，当 xx 0时*因*，即*发散，这与*收敛矛盾；同样 l0 也得矛盾，因此 l=0.作为复习，请考生证明；设 f(x)在(a，+)内可导，且*与*都存在，则*(该命题可推广为：设函数 f(x)在(-，+)内可导，且*与*都存在,则*)解析：已知 4 元齐次线性方程组 （分数：30.00）(1).求 a 的值；（分数：10.00）_正确答案：(因为方程组(i)的解全是(ii)的解，所以(i)与(iii)*同解 那么(i)和(iii)的系数矩阵A*与*有相同的秩 如 a=0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 a0由于 * 因为 a 和 a-1 不能同时为 0，故秩 r

31、(A)=3又 * 当*时，r(B)=3，此时(i)与(iii)同解)解析：(2).求齐次方程组(i)的解；（分数：10.00）_正确答案：(由于*，基础解系为*，则通解是 k，其中 k 为任意实数)解析：(3).求齐次方程(ii)的解（分数：10.00）_正确答案：(由于 x1+x2+x3=0 的基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， 3=(0，0，0，1)T，则通解是 k1 1+k2 2+k3 3，其中 k1，k 2，k 3是任意实数)解析：已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，-1) T且满足A=2（分数：20.00）(1).求该二次型表达式；（分数：10.00）_正确答案：(据已知条件，有*即*解出 a12=2，a 13=2，a 23=-2，所以 x TAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3)解析：(2).求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换（分数：10.00）_正确答案：(由*得矩阵 A 的特征值为 2，2，-4由(2E-A)x=0，*得 =2 的特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T；由(-4E-A)x=0，*得 =-4 的特征向量 3=(-1，1，1) T将 1， 2正交化令 1= 1，则*再对 1， 2， 3单位化，有*那么令*，有*)解析：