【考研类试卷】考研数学二-108及答案解析.doc

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1、考研数学二-108 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：16，分数：100.00)1.若 f(x)在a，b上连续，证明：对于任意选定的连续函数 (x)，均有 （分数：4.00）_2.设 为任意实数，证明： （分数：4.00）_3.已知 f(x)在0，1上连续，对任意 x，y 都有|f(x)-f(y)|M|x-y|，证明： （分数：4.00）_4.设 ，n 为大于 1的正整数，证明： （分数：4.00）_5.设 f(x)在0，1上连续，且单调减少，f(x)0，证明：对于满足 01 的任何 ，有 （分数：4.00）_6.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“

2、(x)0，证明： （分数：4.00）_7.设 f(x)在0，1上连续，且单调不增，证明：任给 (0，1)，有 （分数：4.00）_8.设 f(x)在a，b上具有连续的二阶导数，且 f“(a)=f“(b)=0，证明：在(a，b)内存在一点 ，使 （分数：4.00）_9.设 f连续，证明： （分数：4.00）_10.设 f(x)在a，b)上连续，f“(x)在a，b内存在且可积.f(a)=f(b)=0试证： （分数：4.00）_11.设函数 f(x)在0，1上具有二阶连续导数 f“(x)，且 f(0)=f(1)=0，f(x)0，试证： （分数：4.00）_12.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x

3、)0，则 （分数：4.00）_13.设 f(x)在0，1上有一阶连续导数，且 f(1)-f(0)=1，试证： （分数：2.00）_14.设函数 f(x)在0，2上连续，且 证明： （分数：2.00）_计算下列反常积分：（分数：24.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_(4). （分数：4.00）_(5). （分数：4.00）_(6). （分数：4.00）_判别下列反常积分的敛散性：（分数：24.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_(4). （分数：4.00）_(5). （分数

4、：4.00）_(6). （分数：4.00）_考研数学二-108 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：16，分数：100.00)1.若 f(x)在a，b上连续，证明：对于任意选定的连续函数 (x)，均有 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：假设存在 (a，b)，使得 f()0，不妨假设 f()0因为 f(x)在a,b上连续，所以存在 0，使得在-，+上 f(x)0，令 定义 则 和 矛盾，所以f(x)=0 若 f(a)0，不妨设 f(a)0由 f的连续性，得存在 0，使得当 xa，a+时，f(x)0记 定义 则 2.设 为任意实数，证明： （分数：4

5、.00）_正确答案：()解析：证明：先证： 于是 3.已知 f(x)在0，1上连续，对任意 x，y 都有|f(x)-f(y)|M|x-y|，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：因为 所以 4.设 ，n 为大于 1的正整数，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：令 t=tanx，0t1 则 5.设 f(x)在0，1上连续，且单调减少，f(x)0，证明：对于满足 01 的任何 ，有 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：由积分中值定理，存在 0，使得 ，存在 ，使得 ，由于 ，f 单调递减从而 f()f() 即 6.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“

6、(x)0，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明： 令 所以 两边积分得 7.设 f(x)在0，1上连续，且单调不增，证明：任给 (0，1)，有 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：由积分中值定理，存在 0，使 存在 ，1，使 因为 ，f 单调递减，所以 f()f() 所以 8.设 f(x)在a，b上具有连续的二阶导数，且 f“(a)=f“(b)=0，证明：在(a，b)内存在一点 ，使 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：对于函数 ，用泰勒公式展开： (1)中令 x=n，t=b，得到 (2)中令 x=b，t=a，得到 (3)-(2)得到 于是 9.设 f连续，

7、证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明： 10.设 f(x)在a，b)上连续，f“(x)在a，b内存在且可积.f(a)=f(b)=0试证： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：11.设函数 f(x)在0，1上具有二阶连续导数 f“(x)，且 f(0)=f(1)=0，f(x)0，试证： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：因为(0，1)上 f(x)0，可设 f(x)0 因为 f(0)=f(1)=0， 在(0，x 0 )上用拉格朗日定理，存在 (0，x 0 )，使得 在(x 0 ，1)上用拉格朗日定理，存在 (x 0 ，1)，使得 12.设 f(x)在a，b上连续

8、，且 f(x)0，则 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：将 lnx在 x 0 用泰勒公式展开，得 将上式两边取 ，最后一项为 0，得 13.设 f(x)在0，1上有一阶连续导数，且 f(1)-f(0)=1，试证： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明：14.设函数 f(x)在0，2上连续，且 证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x)在0，2上连续，所以|f(x)|在0，2上连续，所以 0，2，使 |f()|=max|f(x)|(0x2)所以 计算下列反常积分：（分数：24.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(4). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(5). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(6). （分数：4.00）_正确答案：()解析：判别下列反常积分的敛散性：（分数：24.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(4). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(5). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(6). （分数：4.00）_正确答案：()解析：