1、考研数学二-108 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:16,分数:100.00)1.若 f(x)在a,b上连续,证明:对于任意选定的连续函数 (x),均有 (分数:4.00)_2.设 为任意实数,证明: (分数:4.00)_3.已知 f(x)在0,1上连续,对任意 x,y 都有|f(x)-f(y)|M|x-y|,证明: (分数:4.00)_4.设 ,n 为大于 1的正整数,证明: (分数:4.00)_5.设 f(x)在0,1上连续,且单调减少,f(x)0,证明:对于满足 01 的任何 ,有 (分数:4.00)_6.设 f(x)在a,b上二阶可导,且 f“
2、(x)0,证明: (分数:4.00)_7.设 f(x)在0,1上连续,且单调不增,证明:任给 (0,1),有 (分数:4.00)_8.设 f(x)在a,b上具有连续的二阶导数,且 f“(a)=f“(b)=0,证明:在(a,b)内存在一点 ,使 (分数:4.00)_9.设 f连续,证明: (分数:4.00)_10.设 f(x)在a,b)上连续,f“(x)在a,b内存在且可积.f(a)=f(b)=0试证: (分数:4.00)_11.设函数 f(x)在0,1上具有二阶连续导数 f“(x),且 f(0)=f(1)=0,f(x)0,试证: (分数:4.00)_12.设 f(x)在a,b上连续,且 f(x
3、)0,则 (分数:4.00)_13.设 f(x)在0,1上有一阶连续导数,且 f(1)-f(0)=1,试证: (分数:2.00)_14.设函数 f(x)在0,2上连续,且 证明: (分数:2.00)_计算下列反常积分:(分数:24.00)(1). (分数:4.00)_(2). (分数:4.00)_(3). (分数:4.00)_(4). (分数:4.00)_(5). (分数:4.00)_(6). (分数:4.00)_判别下列反常积分的敛散性:(分数:24.00)(1). (分数:4.00)_(2). (分数:4.00)_(3). (分数:4.00)_(4). (分数:4.00)_(5). (分数
4、:4.00)_(6). (分数:4.00)_考研数学二-108 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:16,分数:100.00)1.若 f(x)在a,b上连续,证明:对于任意选定的连续函数 (x),均有 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:假设存在 (a,b),使得 f()0,不妨假设 f()0因为 f(x)在a,b上连续,所以存在 0,使得在-,+上 f(x)0,令 定义 则 和 矛盾,所以f(x)=0 若 f(a)0,不妨设 f(a)0由 f的连续性,得存在 0,使得当 xa,a+时,f(x)0记 定义 则 2.设 为任意实数,证明: (分数:4
5、.00)_正确答案:()解析:证明:先证: 于是 3.已知 f(x)在0,1上连续,对任意 x,y 都有|f(x)-f(y)|M|x-y|,证明: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:因为 所以 4.设 ,n 为大于 1的正整数,证明: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:令 t=tanx,0t1 则 5.设 f(x)在0,1上连续,且单调减少,f(x)0,证明:对于满足 01 的任何 ,有 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:由积分中值定理,存在 0,使得 ,存在 ,使得 ,由于 ,f 单调递减从而 f()f() 即 6.设 f(x)在a,b上二阶可导,且 f“
6、(x)0,证明: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明: 令 所以 两边积分得 7.设 f(x)在0,1上连续,且单调不增,证明:任给 (0,1),有 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:由积分中值定理,存在 0,使 存在 ,1,使 因为 ,f 单调递减,所以 f()f() 所以 8.设 f(x)在a,b上具有连续的二阶导数,且 f“(a)=f“(b)=0,证明:在(a,b)内存在一点 ,使 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:对于函数 ,用泰勒公式展开: (1)中令 x=n,t=b,得到 (2)中令 x=b,t=a,得到 (3)-(2)得到 于是 9.设 f连续,
7、证明: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明: 10.设 f(x)在a,b)上连续,f“(x)在a,b内存在且可积.f(a)=f(b)=0试证: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:11.设函数 f(x)在0,1上具有二阶连续导数 f“(x),且 f(0)=f(1)=0,f(x)0,试证: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:因为(0,1)上 f(x)0,可设 f(x)0 因为 f(0)=f(1)=0, 在(0,x 0 )上用拉格朗日定理,存在 (0,x 0 ),使得 在(x 0 ,1)上用拉格朗日定理,存在 (x 0 ,1),使得 12.设 f(x)在a,b上连续
8、,且 f(x)0,则 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明:将 lnx在 x 0 用泰勒公式展开,得 将上式两边取 ,最后一项为 0,得 13.设 f(x)在0,1上有一阶连续导数,且 f(1)-f(0)=1,试证: (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明:14.设函数 f(x)在0,2上连续,且 证明: (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 因为 f(x)在0,2上连续,所以|f(x)|在0,2上连续,所以 0,2,使 |f()|=max|f(x)|(0x2)所以 计算下列反常积分:(分数:24.00)(1). (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 (2). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(3). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(4). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(5). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(6). (分数:4.00)_正确答案:()解析:判别下列反常积分的敛散性:(分数:24.00)(1). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(2). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(3). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(4). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(5). (分数:4.00)_正确答案:()解析:(6). (分数:4.00)_正确答案:()解析: