2015年辽宁省丹东市中考真题数学.docx

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1、2015 年辽宁省丹东市中考 真题 数学 一、选择题 (下列各题的备选答案中，只有一个是正确的 .每小题 3 分，共 24分 ) 1. -2015 的绝对值是 ( ) A.-2015 B.2015 C. 12015D.- 12015解析： 根据相反数的意义，求解 .注意正数的绝对值是本身， 0 的绝对值为 0，负数的绝对值是其相反数 .-2015 是负数， 绝对值等于其相反数， 即 -2015 的绝对值是 2015； 答案： B. 2.据统计， 2015 年在 “ 情系桃源，好运丹东 ” 的鸭绿江桃花观赏活动中， 6 天内参与人次达27.8 万 .用科学记数法将 27.8 万表示为 ( ) A

2、.2.7810 6 B.27.810 6 C.2.7810 5 D.27.810 5 解析： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 .将 27.8 万用科学记数法表示为 2.7810 5. 答案 ： C. 3.如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.正方体 解析： 根据几何体的俯视图是从上面看，所得到的图形分别写出各个几何体的俯视图判断

3、.圆柱的俯视图是圆， A 错误；圆锥的俯视图是圆，且中心由一个实点， B 正确；球的俯视图是圆， C 错误；正方体的俯视图是正方形， D 错误 . 答案： B. 4.如果一组数据 2， 4， x， 3， 5 的众数是 4，那么该组数据的平均数是 ( ) A.5.2 B.4.6 C.4 D.3.6 解析： 根据这组数据的众数是 4，求出 x 的值， x=4.根据平均数的公式求出平均数 . 15x(2+4+4+3+5)=3.6. 答案： D. 5.下列计算正确的是 ( ) A.2a+a=3a2 B.4-2=-116C. 9 =3 D.(a3)2=a6 解析： A、依据合并同类项法则计算 ， 2a+

4、a=3a，故 A 错误； B、根据负整数指数幂的法则计算 ， 4-2=214 =116 ，故 B 错误； C、根据算术平方根的定义 ， 9 =3，故 C 错误； D、依据幂的乘方的运算法则进行计算 ， (a3)2=a32 =a6，故 D 正确 . 答案： D. 6.如图，在 ABC 中， AB=AC， A=30 ， E 为 BC 延长线上一点， ABC 与 ACE 的平分线相交于点 D，则 D 的度数为 ( ) A.15 B.17.5 C.20 D.22.5 解析 ： ABC 的平分线与 ACE 的平分线交于点 D， 1= 2， 3= 4， ACE= A+ ABC， 即 1+ 2= 3+ 4+

5、 A， 2 1=2 3+ A， 1= 3+ D， D=12 A=1230=15 . 答案： A. 7.过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF AC，交 BC 边于点 E，交 AD 边于点 F，分别连接AE、 CF.若 AB= 3 ， DCF=30 ，则 EF 的长为 ( ) A.2 B.3 C. 32D. 3 解析： 矩形对边 AD BC， ACB= DAC， O 是 AC 的中点， AO=CO， 在 AOF 和 COE 中， A C B D A CA O C OA O F C O E ， AOF COE(ASA)， OE=OF， 又 EF AC， 四边形 AECF 是菱形，

6、DCF=30 ， ECF=90 -30=60 ， CEF 是等边三角形， EF=CF， AB= 3 ， CD=AB= 3 ， DCF=30 ， CF= 3 32=2， EF=2. 答案： A. 8.一次函数 y=-x+a-3(a 为常数 )与反比例函数 y=-4x的图象交于 A、 B 两点，当 A、 B 两点关于原点对称时 a 的值是 ( ) A.0 B.-3 C.3 D.4 解析：设 A(t， -4t)， A、 B 两点关于原点对称， B(-t， 4t)， 把 A(t， -4t)， B(-t， 4t)分别代入 y=-x+a-3 得 -4t=-t+a-3， 4t=t+a-3， 两式相加得 2a

7、-6=0， a=3. 答案： C. 二、填空题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 9.如图，正六边形卡片被分成六个全等的正三角形 .若向该六边形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 . 解析： 如图：转动转盘被均匀分成 6 部分，阴影部分占 2 份，飞镖落在阴影区域的概率是2163 ； 答案： 13. 10.如图， 1= 2=40 ， MN 平分 EMB，则 3= . 解析： 2= MEN， 1= 2=40 ， 1= MEN， AB CD， 3+ BMN=180 ， MN 平分 EMB， BMN=12 (180 -40 )=70 ， 3=180 -70=110 . 答案 ： 110. 11

8、.分解因式： 3x2-12x+12= . 解析：原式 =3(x2-4x+4)=3(x-2)2， 答案 ： 3(x-2)2 12.若 a 6 b，且 a、 b 是两个连续的整数，则 ab= . 解析： 先估算出 6 的范围， 2 6 3， a=2， b=3， ab=8. 答案 ： 8. 13.不等式组 2 3 53 2 1xx的解集为 . 解析： 2 3 53 2 1xx， 由 得， x -1， 由 得， x 1. 所以，不等式组的解集为 -1 x 1. 答案 ： -1 x 1. 14.在菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 的长分别是 6 和 8，则菱形的周长是 . 解析： AC 与 BD

9、 相交于点 O，如图， 四边形 ABCD 为菱形， AC BD， OD=OB=12BD=4， OA=OC=12AC=3， AB=BC=CD=AD， 在 Rt AOD 中， OA=3， OB=4， AD= 2234 =5， 菱形 ABCD 的周长 =45=20 . 答案 ： 20. 15.若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根，那么 a= . 解析：将 x=1 代入得： 1+2+a=0， 解得： a=-3. 答案 ： -3. 16.如图，直线 OD 与 x 轴所夹的锐角为 30 ， OA1的长为 1， A1A2B1、 A2A3B2、 A3A4B3 AnAn+1Bn均为等边三角形

10、，点 A1、 A2、 A3A n+1在 x 轴的正半轴上依次排列，点 B1、B2、 B3B n在直线 OD 上依次排列，那么点 Bn的坐标为 . 解析： A1B1A2为等边三角形， B1A1A2=60 ， B1OA2=30 ， B1OA2= A1B1O=30 ，可求得 OA2=2OA1=2， 同理可求得 OAn=2n-1， BnOAn+1=30 ， BnAnAn+1=60 ， BnOAn+1= OBnAn=30 BnAn=OAn=2n-1， 即 AnBnAn+1的边长为 2n-1，则可求得其高为 322 n-1= 3 2 n-2， 点 Bn的横坐标为 122 n-1+2n-1=322 n-1=

11、32 n-2， 点 Bn的坐标为 (32 n-2， 3 2 n-2). 答案 ： (32 n-2， 3 2 n-2). 三、解答题 17.先化简，再求值： 211122aaa， 其中 a=3. 解析： 先计算括号里面的，再把分子、分母因式分解，约分即可，把 a=3 代入计算即可 . 答案： 原式 = 122 1 1aaa a a = 11a， 当 a=3 时，原式 = 113 1 2. 18.如图，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1， 4)， B(4， 2)， C(3， 5)(每个方格的边长均为 1 个单位长度 ). (1)请画出 A1B1C1，使 A1B1C1与 AB

12、C 关于 x轴对称； (2)将 ABC 绕点 O 逆时针旋转 90 ，画出旋转后得到的 A2B2C2，并直接写出点 B 旋转到点B2所经过的路径长 . 解析： (1)根据网格特点，找出点 A、 B、 C 关于 x 轴的对称点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可； (2)分别找出点 A、 B、 C 绕点 O 逆时针旋转 90 的对应点 A2、 B2、 C2的位置，然后顺次连接即可，观察可知点 B 所经过的路线是半径为 2242 ， 圆心角是 90 的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解 . 答案： (1)如图， A1B1C1即为所求 . (2)如图， A2B2C2即为所求 . 点 B

13、 旋转到点 B2所经过的路径长为： 229 0 4 2 5180 . 故点 B 旋转到点 B2所经过的路径长是 5 . 19.某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目 (被调查的学生只选一类并且没有不选择的 )，并将调查结果制成了如下的两个统计图 (不完整 ).请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)求本次调查的学生人数； (2)请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数； (3)若该中学有 2000 名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数 . 解析： (1)根据喜爱电视剧的人数是 69 人，占总人数的 23%，

14、即可求得总人数； (2)根据总人数和喜欢娱乐节目的百分数可求的其人数，补全即可；利用 360 乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数； (3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解 . 答案 ： (1)6923%=300 (人 ) 本次共调查 300 人； (2) 喜欢娱乐节目的人数占总人数的 20%， 20%300=60 (人 )，补全如图； 36012%=43.2 ， 新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数为 43.2 ； (3)200023%=460 (人 )， 估计该校有 460 人喜爱电视剧节目 . 20.从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为 180 千米，乘坐普通列车的路程为 240 千米

15、.高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的 3 倍 .高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了 2 小时 .高速列车的平均速度是每小时多少千米？ 解析：设普通列车平均速度每小时 x 千米，则高速列车平均速度每小时 3x 千米，根据题意可得，坐高铁走 180 千米比坐普通车 240 千米少用 2 小时，据此列方程求解 . 答案 ：设普通列车平均速度每小时 x 千米，则高速列车平均速度每小时 3x 千米， 根据题意得， 2 4 0 1 8 0 23xx， 解得： x=90， 经检验， x=90 是所列方程的根， 则 3x=390=270 . 答：高速列车平均速度为每小时 270 千米 . 21

16、.一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数字 -1， -2， 3， 4 的小球，它们的形状、大小完全相 同 .小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为 x；小颖在剩下的 3 个小球中随机摸出一个小球记下数字为 y. (1)小红摸出标有数字 3 的小球的概率是 ； (2)请用列表法或画树状图的方法表示出由 x， y 确定的点 P(x， y)所有可能的结果； (3)若规定：点 P(x， y)在第一象限或第三象限小红获胜；点 P(x， y)在第二象限或第四象限则小颖获胜 .请分别求出两人获胜的概率 . 解析： (1)直接根据概率公式求解； (2)通过列表展示所有 12 种等可能性的结果数； (3)找

17、出在第一象限或第三象限的结果数和第二象限或第四象限的结果数，然后根据概率公式计算两人获胜的概率 . 答案 ： (1)小红摸出标有数字 3 的小球的概率是 14； 故答案为 14； (2)列表如下： (3)从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有 12 种，且每种结果出现的可能性相同，其中点 (x， y)在第一象限或第三象限的结果有 4 种，第二象限或第四象限的结果有 8 种， 所以小红获胜的概率 = 4112 3，小颖获胜的概率 = 8212 3. 22.如图， AB 是 O 的直径， = ，连接 ED、 BD，延长 AE 交 BD 的延长线于点 M，过点 D作 O 的切线交 AB 的延长

18、线于点 C. (1)若 OA=CD=2 2 ，求阴影部分的面积； (2)求证： DE=DM. 解析： (1)连接 OD，根据已知和切线的性质证明 OCD 为等腰直角三角形，得到 DOC=45 ，根据 S 阴影 =S OCD-S 扇 OBD计算即可； (2)连接 AD，根据弦、弧之间的关系证明 DB=DE，证明 AMD ABD，得到 DM=BD，得到答案 . 答案 ： (1)解：如图，连接 OD， CD 是 O 切线， OD CD， OA=CD=2 2 ， OA=OD， OD=CD=2 2 ， OCD 为等腰直角三角形， DOC= C=45 ， S 阴影 =S OCD-S 扇 OBD= 24 5

19、 2 21 2 2 2 22 3 6 0 =4- ； (2)证明：如图，连接 AD， AB 是 O 直径， ADB= ADM=90 ， 又 = ， ED=BD， MAD= BAD， 在 AMD 和 ABD 中， A D M A D BA D A DM A D B A D ， AMD ABD， DM=BD， DE=DM. 23.如图，线段 AB， CD 表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离 BD 是 60 米 .某人站在 A处测得 C 点的俯角为 37 ， D 点的俯角为 48 (人的身高忽略不计 )，求乙楼的高度 CD.(参考数据： sin37 35， tan37 34， sin48 710

20、， tan48 1110) 解析：过点 C作 CE AB交 AB 于点 E，在直角 ADB 中利用三角函数求得 AB 的长，然后在直角 AEC 中求得 AE 的长，即可求解 . 答案 ：过点 C 作 CE AB 交 AB 于点 E， 则四边形 EBDC 为矩形， BE=CD CE=BD=60， 如图，根据题意可得， ADB=48 ， ACE=37 ， tan 48 ABBD， 在 Rt ADB 中， 则 AB=tan48 BD 11 60 6610(米 )， tan 37 AECE， 在 Rt ACE 中， 则 AE=tan37 CE 3 60 454 (米 )， CD=BE=AB-AE=66

21、-45=21(米 )， 乙楼的高度 CD 为 21 米 . 24.某商店购进一种商品，每件商品进价 30 元 .试销中发现这种商品每天的销售量 y(件 )与每件销售价 x(元 )的关系数据如下： (1)已知 y 与 x 满足一次函数关系，根据上表，求出 y 与 x之间的关系式 (不写出自变量 x的取值范围 )； (2)如果商店销售这种商品，每天要获得 150 元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)设该商店每天销售这种商品所获利润为 w(元 )，求出 w 与 x 之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？ 解析： (1)根据待定系数法解出解析式即可； (2)根据题意列出

22、方程解答即可； (3)根据题意列出函数解析式，利用函数解析式的最值解答即可 . 答案 ： (1)设该函数的表达式为 y=kx+b，根据题意，得 40 = 3036 32kbkb， 解得： 2100kb. 故该函数的表达式为 y=-2x+100； (2)根据题意得， (-2x+100)(x-30)=150， 解这个方程得， x1=35， x2=45， 故每件商品的销售价定为 35 元或 45 元时日利润为 150 元； (3)根据题意，得 w=(-2x+100)(x-30) =-2x2+160x-3000 =-2(x-40)2+200， a=-2 0 则抛物线开口向下，函数有最大值， 即当 x=

23、40 时， w 的值最大， 当销售单价为 40 元时获得利润最大 . 25.在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 Rt PMN 中， MPN=90 . (1)如图 1，若点 P 与点 O 重合且 PM AD、 PN AB，分别交 AD、 AB于点 E、 F，请直接写出PE 与 PF 的数量关系； (2)将图 1 中的 Rt PMN 绕点 O 顺时针旋转角度 (0 45 ). 如图 2，在旋转过程中 (1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 如图 2，在旋转过程中，当 DOM=15 时，连接 EF，若正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长

24、； 如图 3，旋转后，若 Rt PMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动 (不与点 O、 B 重合 )，当 BD=3BP时，猜想此时 PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=m BP 时，请直接写出 PE与 PF 的数量关系 . 解析： (1)根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可； (2) 根据正方形的性质和旋转的性质证明 FOA EOD，得到答案； 作 OG AB 于 G，根据余弦的概念求出 OF 的长，根据勾股定理求值即可； 过点 P 作 HP BD 交 AB 于点 H，根据相似三角形的判定和性质求出 PE与 PF 的数量关系，根据解答结果总结规律得到当 BD=m BP 时，

25、 PE 与 PF 的数量关系 . 答案 ： (1)PE=PF，理由： 四边形 ABCD 为正方形， BAC= DAC，又 PM AD、 PN AB， PE=PF； (2) 成立，理由： AC、 BD 是正方形 ABCD 的对角线， OA=OD， FAO= EDO=45 ， AOD=90 ， DOE+ AOE=90 ， MPN=90 ， FOA+ AOE=90 ， FOA= DOE， 在 FOA 和 EOD 中， F A O E D OO A O DF O A D O E ， FOA EOD， OE=OF，即 PE=PF； 作 OG AB 于 G， DOM=15 ， AOF=15 ，则 FOG=

26、30 ， cos FOG=OGOF， 1 2 3332OF ， 又 OE=OF， EF=263； PE=2PF， 证明：如图 3，过点 P 作 HP BD 交 AB 于点 H， 则 HPB 为等腰直角三角形， HPD=90 ， HP=BP， BD=3BP， PD=2BP， PD=2 HP， 又 HPF+ HPE=90 ， DPE+ HPE=90 ， HPF= DPE， 又 BHP= EDP=45 ， PHF PDE， 12PF PHPE PD， 即 PE=2PF， 由此规律可知，当 BD=m BP 时， PE=(m-1) PF. 26.如图，已知二次函数 y=ax2+32x+c 的图象与 y

27、轴交于点 A(0， 4)，与 x轴交于点 B、 C，点 C 坐标为 (8， 0)，连接 AB、 AC. (1)请直接写出二次函数 y=ax2+32x+c 的表达式； (2)判断 ABC 的形状，并说明理由； (3)若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 N 的坐标； (4)若点 N 在线段 BC 上运动 (不与点 B、 C 重合 )，过点 N作 NM AC，交 AB 于点 M，当 AMN面积最大时，求此时点 N 的坐标 . 解析： (1)根据待定系数法即可求得； (2)根据抛物线的解析式求得 B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得 AB

28、2=20， AC2=80， BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得 ABC 是直角三角形 . (3)分别以 A、 C 两点为圆心， AC 长为半径画弧，与 x 轴交于三个点，由 AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点 N 的坐标； (4)设点 N 的坐标为 (n， 0)，则 BN=n+2，过 M 点作 MD x 轴于点 D，根据三角形相似对应边成比例求得 MD=25(n+2)，然后根据 S AMN=S ABN-S BMN得出关于 n的二次函数，根据函数解析式求得即可 . 答案 ： (1) 二次函数 y=ax2+32x+c 的图象与 y 轴交于点 A(0， 4)，与 x轴交于点 B

29、、 C，点C 坐标为 (8， 0)， 46 4 1 2 0cac ， 解得 144ac . 抛物线表达式： y=-14x2+32x+4； (2) ABC 是直角三角形 . 令 y=0，则 -14x2+32x+4=0， 解得 x1=8， x2=-2， 点 B 的坐标为 (-2， 0)， 由已知可得， 在 Rt ABO 中 AB2=BO2+AO2=22+42=20， 在 Rt AOC 中 AC2=AO2+CO2=42+82=80， 又 BC=OB+OC=2+8=10， 在 ABC 中 AB2+AC2=20+80=102=BC2 ABC 是直角三角形 . (3) A(0， 4)， C(8， 0)，

30、AC= 2248 =4 5 ， 以 A 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为 (-8， 0)， 以 C 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为 (8-4 5 ， 0)或 (8+4 5 ，0) 作 AC 的垂直平分线，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为 (3， 0)， 综上，若点 N在 x 轴上运动，当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标分别为 (-8， 0)、 (8-4 5 ， 0)、 (3， 0)、 (8+4 5 ， 0). (4)设点 N 的坐标为 (n， 0)，则 BN=n+2，过 M 点作 MD x 轴于点 D， MD OA， BMD BAO， BM MDBA OA， MN AC BM BNBA BC， MD BNOA BC， OA=4， BC=10， BN=n+2 MD=25(n+2)， S AMN=S ABN-S BMN =12BN OA-12BN MD =12(n+2)4 -12 25(n+2)2 =-15(n-3)2+5， 当 AMN 面积最大时， N 点坐标为 (3， 0).