2019春九年级数学下册28锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2小结学案（新版）新人教版.docx

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1、1小结学习目标1.复习本章的重点内容,整理本章知识,形成知识体系;2.熟练掌握直角三角形的解法,并用相关知识解决一些简单的实际问题,进一步加深对锐角三角函数的认识 .学习过程第一层学习:知识回顾一、锐角三角函数定义1.当锐角大小确定后,它所在的直角三角形每两边所构成的比都是 确定的值 . 2.在 Rt ABC 中, C=90, A, B, C 的对边分别为 a,b,c,如图所示 .我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦,记作 sin A,即 sin A= ; 我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦,记作 cos A,即 cos A= ; 我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫

2、做 A 的正切,记作 tan A,即 tan A= . 3.锐角 A 的 都叫做 A 的锐角三角函数 .三角函数的实质是一些比,这些比只与角的大小有关,当角的大小确定时,它的三角函数值就确定了,也就是说三角函数值随 的变化而变化 . 二、特殊角的三角函数值锐角 A锐角三角函数 30 45 60sin Acos Atan A三、解直角三角形1.一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中的 ,求出 的过程,叫做解直角三角形 . 2.直角三角形中的边角关系:(1)三边之间关系: ; (2)两锐角之间关系: ; (3)边角之间关系: . 3.解直角三角形的类型及步

3、骤:图形 已知类型 已知条件 解法步骤两边 斜边,一直角边(如 c,a) (1)b= c2-a22(2)由 sin A= 求ac(3) B=两直角边( a,b)(1)c=(2)由 tan A= 求ab(3) B=90- A斜边,一锐角(如 c, A)(1) B=90-(2)由 sin A= ,得 a=csin Aac(3)由 cos A= ,得 b=bc一边一角一直角边,一锐角(如 a, A)(1) B=90- A(2)由 tan A= ,得 b=ab(3)由 sin A= ,得 c=ac四、解直角三角形的应用举例解决步骤:1.将实际问题抽象成数学问题(画出 ,将其转化为解直角三角形的问题);

4、 2.根据问题中的条件,适当选用 解直角三角形; 3.得到 问题的答案; 4.得到实际问题的 . 第二层学习:典例剖析1.锐角三角函数的概念【例 1】如图,在 Rt ABC 中, C=90,D 为 AC 上的一点, CD=3,AD=BD=5.求 A 的三个三角函数值 .【思路点拨】在 Rt BCD 中由勾股定理求得 BC=4,在 Rt ABC 中求得 AB=4 ,再根据5三角函数的定义求解可得 .解:2.锐 角三角函数的性质【例 2】当 A 为锐角,且 cos A 时, A 的范围是( )12 32A.0 A30 B.30 A60C.60 A90 D.30 A45【思路点拨】根据锐角的余弦值随

5、着角度的增大而减小进行解答 .解析:3【例 3】在 ABC 中, C=90,sin A= ,则 tan B= . 14【思路点拨】先根据互余两角三角函数关系得到 cos B,再根据同角三角函数之间的关系得到 sin B,最后根据 tan B= 求出结果 .sinBcosB解析:3.特殊角的三角函数值【例 4】计算: -2tan 45+4sin 60- .(12)-1 12【思路点拨】根据特殊角的三角函数值和负整数指数的意义求出每项的值,再进行加减运算得到结果 .解:4.解直角三角形【例 5】如图,在 ABC 中, AD 是边 BC 上的高, AC=BD,已知 sin C= ,BC=12,求 A

6、D 的 长 .1213【思路点拨】根据直角三角 形中的边角关系,确定线段 AD、 AC 之间的数量关系;根据勾股定理列出关于线段 AC、 AD、 DC 的方程,即可解决问题 .解:5.解直角三角形的实际应用【例 6】如图,点 A、 B 为地球仪的南、北极点,直线 AB 与放置地球仪的平面交于点 D,所成的角度约为 67,半径 OC 所在的直线与放置平面垂直,垂足为点 E.DE=15 cm,AD=14 cm.求半径 OA 的长 .(精确到 0.1 cm)(参考数据:sin 670 .92,cos 670 .39,tan 672 .36)【思路点拨】在 Rt ODE 中, DE=15, ODE=6

7、7,根据 ODE 的余弦值,即可求得 OD 长,减去 AD 即为 OA.解:【例 7】如图 ,长沙九龙仓国际金融中心主楼 BC 高达 452 m,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼 DE 高 340 m,为了测量高楼 BC 上发射塔 AB 的高度,在楼DE 底端 D 点测得 A 的仰角为 ,sin = ,在顶端 E 点测得 A 的仰角为 45,求发射塔 AB2425的高度 .4【思路点拨】作 EH AC 于 H,设 AC=24x,根据正弦的定义求出 AD,根据勾股定理求出 CD,根据题意列出方程求出 x,结合图形计算即可 .解:评价作业(满分 100 分)1.(6 分)如图所

8、示,在 ABC 中, C=90,AB=5,BC=3,则 cos A 的值是( )A.34B.43C.35D.452.(6 分)如图所示,已知 Rt ABC 中, C=90,AC=4,tan A= ,则 BC 的长是( )12A.2B.8C.2 5D.4 53.(6 分)如图所示,网格中,小正方形的边长均为 1, ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 sin A 的值为( )A.12B.55C.10105D.2554.(6 分)如图所示的是以 ABC 的边 AB 为直径的半圆 O,点 C 恰好在半圆上,过 C 作CD AB 交 AB 于 D.已知 cos ACD= ,BC=4,则 AC 的长为(

9、 )35A.1 B.203C.3D.1635.(6 分)如图所示,在塔 AB 前的平地上选择一点 C,测出看塔顶的仰角为 30,从 C 点向塔底 B 走 100 米到达 D 点,测出看塔顶的仰角为 45,则塔 AB 的高为( )A.50 米 3B.100 米3C. 米1003+1D. 米1003-16.(8 分)如图所示,Rt ABC 中, C=90, B=30,BC=6,则 AB 的长为 . 7.(8 分)在 ABC 中,如果 A, B 满足 |tan A-1|+ =0,那么 C= . (cosB-12)28.(8 分)如图所示,点 A(t,3)在第一象限, OA 与 x 轴所夹的锐角为 ,

10、tan = ,则 t 的32值是 . A.1B.1.56C.2D.39.(8 分)如图所示,一渔船由西往东航行,在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60的方向,前进 20 海里到达 B 点,此时,测得海岛 C 位于北偏东 30的方向,则海岛 C 到航线 AB 的距离CD 等于 海里 . 10.(10 分)计算 .(1) -(2 015-) 0-4cos 45+(-3)2;8(2)(-1)2 015+sin 30+(2- )(2+ ).3 311.(8 分)如图所示,在 Rt ABC 中, BAC=90,点 D 在 BC 边上,且 ABD 是等边三角形 .若AB=2,求 ABC 的周长 .(结果

11、保留根号)12.(8 分)如图所示,某河堤的横断面是梯形 ABCD,BC AD,迎水坡 AB 长 13 米,且tan BAE= ,求河堤的高 BE 是多少 .12513.(12 分)如图所示, O 的直径 AB 垂直于弦 CD,过点 C 的切线与直径 AB 的延长线相交于点 P,连接 PD.(1)求证: PD 是 O 的切线 .7(2)求证: PD2=PBPA.(3)若 PD=4,tan CDB= ,求直径 AB 的长 .12参考答案学习过程第一层学习:知识回顾一、1 .唯一2.ac bc ab3.正弦、余弦、正切 角度二、特殊角的三角函数值锐角 A锐角三角函数 30 45 60sin A 1

12、2 22 32cos A 32 22 12tan A 33 1 3三、解直角三角形1.已知元素 其余元素2.(1)a2+b2=c2(勾股定理)(2) A+ B=90;(3)sin A= ,cos A= ,tan A= .ac bc ab3.解直角三角形的类型及步骤: A 90- A A A ccos A a2+b2atanA asinA8四、解直角三角形的应用举例1.示意图2.锐角三角函数3.数学4.答案第二层学习:典例剖析1.锐角三角函数的概念【例 1】解:在 Rt BCD 中, CD= 3、 BD=5,BC= =4,BD2-CD2= 52-32又 AC=AD+CD=8,AB= =4 ,AC

13、2+BC2= 82+42 5则 sin A= ,BCAB= 445= 55cos A= ,ACAB= 845=255tan A= .BCAC=48=122.锐角三角函数的性质【例 2】解析: cos 60= ,cos 30= ,12 32 30 A60.故选:B .【例 3】解析: sin A= ,14 cos B=sin A= ,14 sin B= ,1-cos2B= 1-(14)2= 154 tan B= .sinBcosB= 15故答案为: .153.特殊角的三角函数值【例 4】解:原式 =2-21+4 -232 3=2-2+2 -23 3=0.4.解直角三角形【例 5】解: AD BC

14、, ADC 为直角三角形;故 sin C= ,设 AD=12k,则 AC=13k;ADAC=1213AC=BD ,9DC=BC-BD= 12-13k;由勾股定理得:(13 k)2=(12k)2+(12-13k)2,整理得:6 k2-13k+6=0,解得 k= ;23或 32AD= 8,或 AD=18(不合题意,舍去),故 AD=8.5.解直角三角形的实际应用【例 6】解:在 Rt ODE 中, DE=15, ODE=67, cos ODE= ,DEDOOD 38 .46(cm),150.39OA=OD-AD 38 .46-1424 .5(cm).答:半径 OA 的长约为 24.5 cm.【例

15、7】解:作 EH AC 于 H,则四边形 EDCH 为矩形,EH=CD ,设 AC=24x,在 Rt ADC 中,sin = ,2425AD= 25x,由勾股定理得, CD= =7x,AD2-AC2EH= 7x,在 Rt AEH 中, AEH=45,AH=EH= 7x,由题意得,24 x=7x+340,解得, x=20,则 AC=24x=480,AB=AC-BC= 480-452=28,答:发射塔 AB 的高度为 28 m.评价作业1.D 2.A 3.B 4.D 5.D 6.4 7.75 8.2 9.10 310.解:(1)原式 =2 -1-2 +9=8.2 2(2)原式 =-1+ +1= .

16、12 121011.解: ABD 是等边三角形, B=60, BAC=90, C=180-90-60=30,AB= 2,BC= 2AB=4,在 Rt ABC 中,由勾股定理得 AC= =2BC2-AB2= 42-22, ABC 的周长是 AC+BC+AB=2 +4+2=6+2 .3 3 312.解:因为 tan BAE= ,所以设 BE=12x,则 AE=5x.在 Rt ABE 中,由勾股定理知125AB2=BE2+AE2,即 132=(12x)2+(5x)2,所以 169=169x2,解得 x=1(负值舍去) .所以 BE=12x=12(米) .即河堤的高 BE 是 12 米 .13.(1)

17、证明:如图所示,连接 OD,OC,PC 是 O 的切线, PCO=90,AB CD,AB 是直径, , DOP= COP,又 DO=CO ,OP=OP, DOP COP(SAS),BD=BC ODP= PCO=90,D 在 O 上, PD 是 O 的切线 .(2)证明: AB 是 O 的直径, ADB=90, PDO=90, ADO= PDB=90- BDO,OA=OD , A= ADO, A= PDB,又 DPB= APD, PDBPAD, ,PD 2=PAPB.PDPB=PAPD(3)解: DC AB, ADB= DMB=90, A+ DBM=90, BDC+ DBM=90, A= BDC, tan BDC= , tan 12A= , PDB PAD, ,PD= 4,PB= 2,PA=8,AB= 8-2=6.12=BDAD PBPD=PDPA=BDAD=12