吉林省长春市长春外国语学校2019届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）.doc

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1、- 1 -长春外国语学校 2018-2019 学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一、选择题：本

2、题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出两个集合对应的不等式的解集，然后二者取交集即可。【详解】由题意知，集合 ， ，所以 .故选 A.【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系与运算，属于基础题。2.设 i 为虚数单位，若复数 满足 ，则 （ ）A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i- 2 -【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，化简即可。【详解】由题意， .【点睛】本题考查了复数的四则运算，属于基础题。3.在等差数列 中, ，则 （ ）

3、A. 5 B. 8 C. 10 D. 14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列 的公差为 ，由题设知， ，所以，所以，故选 B.考点：等差数列通项公式.【此处有视频，请去附件查看】4.已知 ， 都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】； ， 与 没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.5.设 l,m 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若 m ,则 B. 若 则C. 若 则 D. 若 则- 3 -【答案】C【解析】试题分析：（1）不正确，因为没有说明 ，

4、（2）不正确，因为有可能 ，（3）正确；（4）有可能 考点：线线，线面，面面的位置关系6.已知点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据线性约束条件作可行域，由 z 的几何意义可得 z 的取值范围.【详解】由约束条件 作出可行域如图，的几何意义是可行域内的点 与 连线的斜率，由可行域可知，当取点 B（0,2）时，连线斜率最大，所以 的最大值为 ,当取点 A（1,1）时，连线斜率最小，所以 的最小值为 ,则 的取值范围是故选：C.【点睛】线性规划中的最值,范围问题主要涉及三个类型：- 4 -1.分式形式 ：与斜率有关的最值问题：表示

5、定点 P 与可行域内的动点 M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式 z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号.3. 与距离有关的最值问题 :表示定点 P 到可行域内的动点 N(x,y)的距离。7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” ，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1） ，则该“阳马”最长的棱长为（ ）A. 5 B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中 PA平面 ABC

6、D，PA=3，AB=CD=4，AD=BC=5，PB= ，PC= ，PD= 该几何体最长棱的棱长为 故选：D8.在 中， 为重心，记 , ，则 =（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】 为 的重心 故选 A9.已知函数 在 处取得极小值，则 的最小值为（ ）A. 4 B. 5 C. 9 D. 10【答案】C【解析】由 ，得 ，则 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故选 C.10.已知 是定义域为 的奇函数，满足 , 若 ，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得 f（0）=0，f（x）为周期为 4 的函数，分别求得一个周期内的函数值，

7、计算可得所求和【详解】f（x）是定义域为（，+）的奇函数，可得 f（x）=f（x） ，f（1x）=f（1+x）即有 f（x+2）=f（x） ，即 f（x+2）=f（x） ，- 6 -进而得到 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，f（x）为周期为 4 的函数，若 f（1）=2，可得 f（3）=f（1）=f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，可得 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）=5040+2+0=2故选：B【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于

8、中档题11.定义行列式运算 ，已知函数 ，满足： ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数 的解析式，然后由 的最小值为 可以求出周期 ，进而求出 .【详解】由题意得， ， ，因为 的最小值为，所以 ，则由 得 .【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题。12.函数 的导函数 ，对 ，都有 成立，若 ，则满足不等式 的 的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设- 7 - 在定义域 上单调递增，不等式 即 ，即 ，选 C考点：利用导数研究函数的单调性【名师点睛】本题考查导数的运用：求单调性，考查函数的单

9、调性的运用：解不等式，属中档题，解题时通过构造新函数，判断单调性是解题的关键第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13.已知点 , ,若 ，则 _.【答案】 【解析】【分析】先由 ，求出 m 的值，进而求出 .【详解】因为 ，所以 ，解得 ，故 ， .【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，及平面向量的模的计算，属于基础题。14.已知曲线 ,则曲线在 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_.【答案】 【解析】【分析】对函数 求导，由 可以求出切线的斜率，进而求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而求出围成的三角形的面积。【详解】对 求导， ， ，而 ，所以曲线在 处的切线斜率为

10、 1，切线方程为 ，切线与坐标轴的交点为（0，1）和（-1，0） ，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题。15.两直线 与 平行，则它们之间的距离为_.【答案】- 8 -【解析】16.如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体为_. 【答案】【解析】试题分析：设所给半球的半径为 ，则四棱锥的高 ，则 ，由四棱锥的体积 ，半球的表面积为：考点：球的表面积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几

11、何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知向量 ， ，函数 （1）求函数 的单调递增区间；（2）已知 分别为 内角 A,B,C 的对边，其中 A 为锐角， ，且 =1 ，求的面积 S【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 经降幂公式得 ， 三角函数的和差公式得 ， 由三角函数的- 9 -性质即可求得 的单调递增区间为 ；因为 ，因为 ，所以由余弦定理 ，得 ，最后代入三角形的面积中即可.试题解析（1）

12、 令解得所以 的单调递增区间为因为 ，所以由余弦定理 ，得18.如图，在底面为梯形的四棱锥 中，已知 ， ， ，.（1）求证： ；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）先利用等腰三角形的三线合一得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质进行证明；（2）连接 ，利用线面垂直的判定证明 平面 ，合理转化四面体的顶点进行求解- 10 -试题解析：（）设 为 的中点，连接 ，又 平面 ，且 ，平面 ，又 平面（）连接 ，在 中， ， 为 的中点，为正三角形，且 ，在 中， ， 为 的中点，且 ，在 中，为直角三角形，且又 ，且平面考点：1.空间中垂直关系

13、的转化；2.几何体的体积【思路点睛】本题考查空间中垂直关系的相互转化以及几何体的体积的求法，属于中档题；证明空间中的平行或垂直关系，往往要利用线线、线面、面面间的关系的转化，其思想是“立体几何平面化” ，即关键是合理平面化；求四面体的体积问题，往往要根据题意合理转化四面体的顶点，使底面积和点到该面的距离可求.19.已知圆 关于直线 对称的圆为 C.（1）求圆 C 的方程；（2）过点 作直线 与圆 C 交于 A,B 两点， O 是坐标原点，是否存在这样的直线 l，使得在平行四边形 OASB 中 ？若存在，求出所有满足条件的直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2）存在直线

14、和【解析】- 11 -试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形 为矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为 0 进行求解.试题解析：（1）圆 化为标准为 ，设圆 的圆心 关于直线 的对称点为 ，则 ，且 的中点 在直线 上，所以有 ，解得： ，所以圆 的方程为 .（2）由 ，所以四边形 为矩形，所以 .要使 ，必须使 ，即： .当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，与圆交于两点 ， .因为 ，所以 ，所以当直线 的斜率不存在时，直线 满足条件.当直线 的斜率存在时，可设直线 的

15、方程为 .设由 得： .由于点 在圆 内部，所以 恒成立， ，要使 ，必须使 ，即 ，- 12 -也就是：整理得：解得： ，所以直线 的方程为存在直线 和 ，它们与圆 交 两点，且四边形 对角线相等.点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.20.已知数列 的前 n 项和 满足 ，且 .（1）求数列的通项公式 ；（2）记 ， 为 的前 n 项和，求使 成立的 n 的最小值.【答案】 （1） ；（2）5.【解析】【分析】（1）先由 ，可知数列 为等差数列，进而求出 的表达式，再由 求出 的通项公式；（2）利用裂项相消求和法先求出

16、 ，进而可以求出满足题意的 .【详解】 （1）由已知 ， 数列 为等差数列，且 ，即 ，当 时， ，又 也满足上式， ； （2）由（1）知， ， 由 有 ，有 ，所以 ，的最小值为 5.【点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆- 13 -成两项的差，以达到在求和的时候正负相抵消的目的，使前 n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.常见的拆项公式： ；若 为等差数列，且公差 d 不为 0，首项也不为 0，则 .21.已知函数 （ 为常数）.（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）单调增区间为 ，

17、单调减区间为 和 （2）【解析】试题分析：（1）先确定函数定义域 ，再求导函数 ，进而求定义区间上导函数的零点 ，最后列表分析导函数符号并确定单调区间：增区间为 ， ，减区间为 和 （2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，再利用导数研究函数 单调性，确定当 时有最大值为 ，即得实数 的取值范围.试题解析：解：（）函数的定义域为 ，当 时， ， 由 得， ，由 得， 或 ，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 和 （）当 时， 恒成立，令 ，问题转换为 时， - 14 -，当 时， ，在 上单调递增，此时 无最大值，故 不合题意当 时，令 解得， ，此时 在 上单调递增，此时无最大

18、值，故 不合题意 当 时，令 解得， ，当 时， ，而 在 上单调递增，在 上单调递减，令 ， ，则 ，在 上单调递增，又 ，当 时， ，在 上小于或等于 不恒成立，即 不恒成立，故 不合题意当 时， ，而此时 在 上单调递减，符合题意综上可知，实数 的取值范围是 （也可用洛必达法则）- 15 -点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参

19、数法.22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的直角坐标方程为 .以平面直角坐标系的原点 为极点, 轴非负半轴为极轴建立直角坐标系,射线的极坐标方程为 （1）求曲线 ， 的极坐标方程；（2）设点 分别为射线 与曲线 ， 上除原点之外的交点，求 的最大值.【答案】 （1） ， .（2）2.【解析】试题分析：（1）将曲线 的参数方程 （ 为参数）消去参数 化为普通方程，再根据 ，可得曲线 、 的极坐标方程；（2）联立 得 ，求得，再联立 ，得 ，求得 ，进而可求得 的最大值.试题解析：（1）由曲线 的参数方程 （ 为参数）消去参数 得，即 ，曲线 的极坐标方程为 .由曲线 的直角坐标方程 ， ，曲线 的极坐标方程 .（2）联立 ，得联立 ，得 . . ，当 时， 有最大值 2.- 16 - 17 -