(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合学案理新人教B版.doc
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1、1第 2 节 排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念;2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;3.能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1.排列与组合的概念名称 定义排列 按照一定的顺序排成一列组合从 n 个不同元素中取出m(m n)个不同元素 合成一组2.排列数与组合数(1)从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.(2)从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A n(n1)( n2)( n m1) .mn
2、n!( n m) !(2)C mnn( n 1) ( n 2) ( n m 1)m! (n, mN +,且 m n).特别地 C 1n!m! ( n m) ! 0n性质(1)0!1;A n!. n(2)C C ;C C Cmn n mn mn 1 mn m 1n常用结论与微点提醒1.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题,一般先分组,再分配,注意平均分组与不平均分组的区别,避免重复或遗漏.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)2(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(2)一个组合中取
3、出的元素讲究元素的先后顺序.( )(3)若组合式 C C ,则 x m 成立.( )xn mn(4)kC nC .( )kn k 1n解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故(1)错;(2)一个组合中的元素不讲究顺序,元素相同即为同一组合,故(2)错;(3)若 C C ,则 x m 或 n m,故(3)错.xn mn答案 (1) (2) (3) (4)2.从 4 本不同的课外读物中,买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,则不同的送法种数是( )A.12 B.24 C.64 D.81解析 4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学,每人一本,则不同的分配方法为 A 24.3
4、4答案 B3.(一题多解)(教材练习改编)从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A.18 B.24 C.30 D.36解析 法一 选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C C 18 种,选出的 3 人中2413有 1 名男同学 2 名女同学的方法有 C C 12 种,故 3 名学生中男女生都有的选法有1423C C C C 30 种.2413 1423法二 从 7 名同学中任选 3 名的方法数,再除去所选 3 名同学全是男生或全是女生的方法数,即 C C C 30.37 34 3答案 C4.用数字 1,2,3,4,5 组成的
5、无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8 B.24 C.48 D.120解析 末位数字排法有 A 种,其他位置排法有 A 种,共有 A A 48 种.12 34 1234答案 C5.在一展览会上,要展出 5 件艺术作品,其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件,在展台上将这 5 件作品排成一排,要求 2 件书法作品必须相邻,2 件绘画作品不能相邻,则该次展出这 5 件作品不同的摆放方案共有_种(用数字作答).解析 将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体,同 1 件建筑设计展品全排列,再将 2 件不能相邻的绘画作品插空,故共有 A A A 24 种不同的展出方案.
6、2223答案 243考点一 排列问题【例 1】 有 3 名男生、4 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选 5 人排成一排;(2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人;(3)(一题多解)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻.解 (1)从 7 人中选 5 人排列,有 A 765432 520(种).57(2)分两步完成,先选 3 人站前排,有 A 种方法,余下 4 人站后排,有 A 种方法,共有 A37 4A 5 040(种).37 4(3)法一 (特殊元素优先法)先排甲,有 5 种方法,其余 6 人有
7、A 种排列方法,共有 5A63 600(种).6法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人,有 A 种排法,其他有 A 种排26 5法,共有 A A 3 600(种).265(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列,有 A 种方法,再将女生全排列,4有 A 种方法,共有 A A 576(种).4 4 4(5)(插空法)先排女生,有 A 种方法,再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排4男生,有 A 种方法,共有 A A 1 440(种).35 4 35规律方法 排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法
8、,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练 1】 (1)(2018赤峰二模)7 人站成两排队列,前排 3 人,后排 4 人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为( )A.120 B.240 C.360 D.4804(2)(2018抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有( )A.30 B
9、.600 C.720 D.840解析 (1)第一步,从甲、乙、丙三人选一个加到前排,有 3 种,第二步,前排 3 人形成了4 个空,任选一个空加一人,有 4 种,第三步,后排 4 人形成了 5 个空,任选一个空加一人有 5 种,此时形成 6 个空,任选一个空加一人,有 6 种,根据分步计数原理有3456360 种方法.(2)若只有甲、乙其中一人参加,有 C C A 480 种方法;若甲、乙两人都参加,有 C C A12354 225240 种方法,则共有 480240720 种方法.4答案 (1)C (2)C考点二 组合问题【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15
10、种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?(5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?解 (1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种有 C 561(种),某一种假货必须在内的不同234取法有 561 种.(2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C 种或者 C C C 5 984(种).34 35 234 34某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.(3)从 20 种真货中选取
11、 1 件,从 15 种假货中选取 2 件有 C C 2 100(种).120215恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种.(4)选取 2 种假货有 C C 种,选取 3 种假货有 C 种,共有选取方式 C C C 2 120 215 315 120215 3151004552 555(种).至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种.(5)选取 3 种的总数为 C ,选取 3 种假货有 C 种,因此共有选取方式35 315C C 6 5454556 090(种).35 315至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.5规律方法 组合问题常有以下两类题型变化:(
12、1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含” ,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含” ,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.【训练 2】 (1)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:食物投掷地点有远、近两处;由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参
13、与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案有( )A.80 种 B.70 种 C.40 种 D.10 种(2)(2018咸阳二模)若从 1,2,3,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种解析 (1)Grace 不参与该项任务,则有 C C 30 种;Grace 参与该项任务,则有 C 101524 25种,故共有 301040 种,故选 C.(2)共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使和为偶数,则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数和 2 个偶数,共
14、有不同的取法有 C C C C 66(种).45 4 2524答案 (1)C (2)D考点三 排列与组合的综合应用(多维探究)命题角度 1 简单的排列与组合应用问题【例 31】 (1)(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有( )A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种(2)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )A.24 B.18 C.12 D.6解析 (1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作,其他 2 人各完成 1 项工作,可得
15、安排方6式为 C C A 36(种).13242(2)从 0,2 中选一个数字 0,则 0 只能排在十位,从 1,3,5 中选两个数字排在个位与百位,共有 A 6 种;从 0,2 中选一个数字 2,则 2 排在十位(或百位),从 1,3,5 中选两23个数字排在百位(或十位)、个位,共有 A A 12 种,故共有 A A A 18 种.12 23 23 1223答案 (1)D (2)B命题角度 2 分组、分配问题【例 32】 (1)某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有( )A.80 种 B.90 种 C.120 种 D.150
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