2019高考数学一轮复习第四章三角函数4.2三角函数的图象及性质课件文.ppt

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1、第四章 三角函数,高考文数,4.2 三角函数的图象及性质,知识清单,考点一 三角函数的图象及性质,考点二 三角函数的图象及其变换1.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表 所示:,2.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)图象的步 骤上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|,个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (0)个单 位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的. 知识拓展三角函数的综合应用 1.三角函数y=Asin(x+),y=Ac

2、os(x+)的定义域为R;y=Atan(x+)的 定义域为 . 2.函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)的最大值为|A|,最小值为-|A|;函数y= Atan(x+)的值域为R. 3.函数y=Asin(x+)图象的对称轴为x= - + (kZ),对称中心为(kZ);函数y=Acos(x+)图象的对称轴为x= - (kZ),对,称中心为 (kZ);函数y=Atan(x+)图象的对称中心为(kZ). 4.函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)的图象与x轴的交点都为对称中心,过 波峰、波谷且垂直于x轴的直线都为对称轴. 5.函数y=Atan(x+)的图象与x轴的交点和渐近线与x轴的

3、交点都为对 称中心,无对称轴. 6.求三角函数最值常见的函数形式 (1)y=asin x+bcos x= sin(x+),其中cos = ,sin = . (2)y=asin2x+bcos2x(a,b0) y=Asin 2x+Bcos 2x= sin(2 x+),其中tan = ,再利用有界性处理. (3)y=asin2x+bcos x+c(a0)可转化为关于cos x的二次函数式. (4)y=asin x+ (a,b,c0),令sin x=t,则转化为求y=at+ (-1t1,且t 0)的最值,一般可结合图象求解. (5)y=a(sin x+cos x)+bsin xcos x+c型常用换元

4、法,令t=sin x+cos x,|t| , 则sin xcos x= ,把三角问题转化为代数问题求解.注意新元的取值范 围.,由图象确定三角函数解析式的方法 确定解析式y=Asin(x+)+B(A0,0)的步骤和方法: (1)求A,B.先确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,B= . (2)求.确定函数的最小正周期T,则= . (3)求的常用方法: 代入法.把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,B可知)或代入 图象与直线y=B的交点坐标求解(此时要注意交点的横坐标是在递增区 间上,还是在递减区间上). “五点法”.确定的值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突 破口,具体步骤如下:选“

5、第一个点”(即图象上升时与直线y=B的交点)时，,方法技巧,令x+=0;选“第二个点”(即图象的“峰点”)时,令x+= ;选 “第三个点”(即图象下降时与直线y=B的交点)时,令x+=;选“第四 个点”(即图象的“谷点”)时,令x+= ;选“第五个点”时,令x+ =2.,例1 (2016课标全国,3,5分)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示, 则 ( A ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin,解题导引 由图象的最高点与最低点得A 由图象得周期T, 确定值 利用代入法求出值 写出函数解析式,解析 由题图可知A=2, = - = ,则T=,所以=2,则

6、y=2sin(2x+), 因为题图经过点 ,所以2sin =2,所以 +=2k+ ,kZ, 即=2k- ,kZ,当k=0时,=- ,所以y=2sin ,故选A.,三角函数周期和对称轴(对称中心)的求解方法 1.三角函数周期的求解方法:定义法;公式法:函数y=Asin(x+)(y= Acos(x+)的最小正周期T= ,函数y=Atan(x+)的最小正周期T=;图象法:对于含有绝对值符号的三角函数的周期可画出函数的图 象,从而观察出周期大小;转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒 等变换将其转化为y=Asin(x+)+B(或y=Acos(x+)+B或y=Atan(x+) +B)的类型,再利用公式

7、法求得. 2.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法:熟记以下各函数图 象的对称轴与对称中心:y=sin x图象的对称轴为x=k+ ,kZ,对称中心 为(k,0),kZ;y=cos x图象的对称轴为x=k,kZ,对称中心为 ,kZ;y=tan x图象的对称中心为 ,kZ,无对称轴.利用整体代换 思想求解函数y=Asin(x+)图象的对称轴和对称中心,令x+=k+ ,k Z,解得x= ,kZ,即为对称轴方程;令x+=k,kZ,解得x = ,kZ,即为对称中心的横坐标,纵坐标为0. 例2 (2017山东,7,5分)函数y= sin 2x+cos 2x的最小正周期为 ( C ) A. B. C.

8、D.2,解题导引 利用辅助角公式化为 同名三角函数 利用T= 得出最小正周期,解析 y= sin 2x+cos 2x=2sin ,从而最小正周期T= =.,例3 (2018河南中原名校联考,6)将函数f(x)=sin 的图象向右平 移 个单位后得到函数g(x)的图象,则 ( A ) A.g(x)在 上单调递减,为奇函数 B.g(x)在 上单调递增,为偶函数 C.g(x)的周期为,图象关于点 对称 D.g(x)的最大值为1,图象关于直线x= 对称,解题导引 由f(x)的解析式根据平移法则求出g(x)的解析式 逐项进行判断 得出正确结论,解析 由题意得g(x)=sin =sin(2x-)=-sin

9、 2x.对于选项A,当x 时,2x ,满足g(x)单调递减,显然g(x)是奇函数,故A正确;对 于选项B,由于g(x)的周期为,且为奇函数,故B错误;对于选项C,g(x)的周 期为,而g =- 0,故g(x)的图象不关于点 对称,C错误;对于 选项D,g(x)的最大值为1,而g =0,因此图象不关于直线x= 对称,故D 错误.由此可知选A.,三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法 1.求函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)或y=Atan(x+)的单调区间时, 一般先将x的系数化为正值(通过诱导公式转化),再把“x+”视为一 个整体,结合基本初等函数y=sin x(或y=cos x

10、或y=tan x)的单调性找到 “x+”在xR上满足的条件,通过解不等式求得单调区间. 2.三角函数的最值和值域问题一般有两种类型:形如y=asin x+b(a0) 或y=acos x+b(a0)的函数的最值或值域问题,利用正、余弦函数的有 界性(-1sin x1,-1cos x1)求解,求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时,要注意考虑三角函数的周期性;形如y=asin2x+bsin x+c,xD (a0)(或y=acos2x+bcos x+c,xD(a0)的函数的最值或值域问题,通过 换元,令t=sin x(或t=cos x),将原函数化为关于t的二次函数,利用配方法求其最值或值域,求解

11、过程中要注意t的范围.,例4 (1)(2017课标全国,6,5分)函数f(x)= sin +cos 的最 大值为 ( A ) A. B.1 C. D. (2)(2017安徽二模,6)函数f(x)=cos (0)的最小正周期是,则其 图象向右平移 个单位后对应函数的单调递减区间是 ( B ) A. (kZ) B. (kZ),C. (kZ) D. (kZ),解题导引 (1)利用两角和与差的正余弦公式将 f(x)化成同名三角函数 利用函数的有界性 得其最大值 (2)由最小正周期是得的值 利用平移法则得 平移后的解析式 利用换元思想及三角函数的单调性 求函数的单调递减区间,解析 (1)f(x)= si

12、n +cos = + cos x+ sin x = sin x+ cos x = 2sin = sin , f(x)的最大值为 . 故选A. (2)由函数f(x)=cos (0)的最小正周期是,得 =,解得=2,则,f(x)=cos . 将其图象向右平移 个单位后,对应函数的解析式为y=cos =cos =sin 2x, 由 +2k2x +2k(kZ), 解得所求单调递减区间为 (kZ).故选B.,例5 (2015重庆,18,13分)已知函数f(x)= sin 2x- cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,

13、 得到函数g(x)的图象.当x 时,求g(x)的值域.,解题导引 (1)通过三角变换将f(x)化为Asin(x+)+B的形式 由公式T= 求其 最小正周期 利用三角函数的有 界性求其最小值 (2)求得函数g(x) 的解析式 由自变量x的范围及三角函数 的性质求出g(x)的值域,解析 (1)f(x)= sin 2x- cos2x = sin 2x- (1+cos 2x) = sin 2x- cos 2x- =sin - , 因此f(x)的最小正周期为,最小值为- . (2)由条件可知:g(x)=sin - . 当x 时,x- ,从而sin ,那么sin - . 故g(x)在区间 上的值域是 .,