2018_2019学年高中数学第一章集合与函数概念章末总结课件新人教A版必修1.ppt

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1、章末总结,网络建构,知识辨析,判断下列说法是否正确(请在括号中填“”或“”) 1.一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) 2.空集是任何集合的真子集.( ) 3.集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( ) 4.若非空数集f:AB能构成函数,且该函数的值域是C,则C=B.( ) 5.在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.( ) 6.任何函数都具有单调性.( ) 7.奇偶函数的定义域关于原点对称.( ) 8.若y=f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0.( ),题型探究,真题体验,题型探究素养提升,一、集合间的关系及运算 【典例1】 若集合A=x|-2

2、x4,B=x|x-m0. (1)若m=3,全集U=AB,试求A(UB);,解:集合A=x|-2x4,B=x|x-m0.(1)当m=3时,由x-m0,得x3,所以B=x|x3,所以U=AB=x|x4,那么UB=x|3x4.所以A(UB)= x|3x4.,(2)若AB=A,求实数m的取值范围.,解:(2)因为A=x|-2x4,B=x|xm, 所以AB=A, 所以AB,故m4. 所以实数m的取值范围是4,+).,规律方法 (1)集合间运算的常用技巧:借助于数轴;利用Venn图.(2)集合间关系及运算中的注意事项:当涉及集合间关系和运算的有关问题,如AB,AB= ,AB=B等时,都有可能涉及集合A或B

3、为空集的情况.由集合间关系或运算求参数时,要注意端点“=”的取舍.,变式训练1:已知集合A=xx2-2x-30,xR,B=xx2-2mx+m2-40, xR.若AB=1,3,求实数m的值.,二、函数的概念及表示 【典例2】 (1)已知f(x)是一次函数,且3f(1)-2f(2)= -5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=3x+2 (C)f(x)=2x+3 (D)f(x)=2x-3,解析:(1)由题意f(x)是一次函数,设f(x)=kx+b, 因为3f(1)-2f(2)=-5,2f(0)-f(-1)=1, 可得3k+3b-4k-2b

4、=-5,2b+k-b=1, 解得k=3,b=-2. 所以f(x)的解析式为f(x)=3x-2,故选A.,规律方法 (1)解决函数问题应坚持定义域优先原则,尤其是求解分段函数的函数值时,要先判断自变量的取值范围. (2)函数定义域,即使函数解析式有意义的自变量的取值范围. (3)求函数值域与最值常用的方法有图象法,配方法和单调性法,注意函数性质的综合应用.,变式训练2:已知函数f(x)=x2+ax+b的图象关于直线x=1对称. (1)求实数a的值;,(2)若f(x)的图象过(2,0)点,求x0,3时,f(x)的值域.,解:(2)若f(x)过(2,0)点,所以f(2)=0. 所以22-22+b=0

5、, 所以b=0,所以f(x)=x2-2x. 当x=1时f(x)最小为f(1)=-1,当x=3时,f(x)最大为f(3)=3, 所以f(x)在0,3上的值域为-1,3.,三、函数图象的识别与应用 【典例3】 (1)函数y=ax2+a与y=(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ),答案:(1)D,(2)定义在(-,0)(0,+)上的奇函数f(x),在(0,+)上为增函数,当x0时,f(x)的图象如图所示,则不等式xf(x)-f(-x)0的解集是 .,答案:(-3,0)(0,3),规律方法 (1)识图.识别函数的图象,实质就是分析函数的性质,主要观察以下几点:函数的定义域;函数图象的最高点(

6、即最大值)和最低点(即最小值);与坐标轴的交点(即f(x)=0或x=0的点);图象的对称性(即函数的奇偶性);函数图象在某段区间上的变化趋势(即函数的单调性). (2)用图.因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质,所以在研究函数的性质时要注意结合图象,在解方程和不等式时有时需画出图象,利用数形结合能达到快速解题的目的.,四、二次函数单调性及最值问题 【典例4】 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x-5,5. (1)若y=f(x)在-5,5上是单调函数,求实数a的取值范围;,解:函数f(x)=x2+2ax+2,x-5,5的对称轴为x=-a, (1)若y=f(x)在-5,5上是单调函数,

7、则-a-5或-a5,即a-5或a5, 即a的取值范围是(-,-55,+).,(2)求y=f(x)在区间-5,5上的最小值.,规律方法 (1)二次函数的单调性以其对称轴为分界线,二次函数在对称轴两侧单调性相反. (2)求二次函数的最值或值域,基本的方法是配方法,当限定在某个闭区间上时,关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给定区间的相对位置,结合函数图象确定该函数的单调性,最大值或最小值是在端点处取得,还是在顶点处取得.求解二次函数在给定区间的最值问题,可画出二次函数的图象帮助分析问题.,变式训练3:已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)= 2x-

8、1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间;,(2)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,函数图象的对称轴为x=1,且开口向上,所以f(x)单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(-,1).,(3)当x-1,2时,求函数的最大值和最小值.,解:(3)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 对称轴为x=1-1,2, 故f(x)min=f(1)=1, 又f(-1)=5,f(2)=2, 所以f(x)max=f(-1)=5.,五、抽象函数性质问题 【典例5】 若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当

9、x0时,f(x)1. (1)求证:y=f(x)-1为奇函数;,(1)证明:因为定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2)-1成立,所以令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即f(0)=1. 令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1,所以f(x)-1+f(-x)-1=0, 故y=f(x)-1为奇函数.,(2)求证:f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)=5,解不等式f(3m-2)3.,(2)证明:由(1)知y=f(x)-1为奇函数,所以f(x)-1=-f(-x)-1.任取x1, x2R,且x10.

10、所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1.因为当x0时,f(x)1,所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+ 11,即f(x1)f(x2),故f(x)是R上的增函数.,规律方法 解决函数的单调性与奇偶性时的三点注意:(1)要证明函数f(x)在区间D上不是单调函数,只要举一反例即可,即只要找到两个特殊的x1,x2,不满足定义即可.,(3)如果f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|),如果f(x)是奇函数,那么f(0)= 0(x=0处有定义),解题时常用.,已知函数f(x)的定义域是(0,+),且f(xy)= f(x)+f

11、(y),当x1时,f(x)0. (1)求f(1); (2)证明f(x)在定义域上是增函数;,(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.,变式训练4:,六、恒成立问题 【典例6】 已知函数f(x)=x2+ax+3,当x-2,2时,f(x)a恒成立,求a的最小值.,规律方法 涉及与最值有关的恒成立问题的主要解题思路是: 若af(x)恒成立,则af(x) max; 若af(x)恒成立,则af(x)min.,变式训练5:对任意x1,+),不等式x2+2x-a0恒成立,求实数a的取值范围.,解:由x1,+),不等式x2+2x-a0恒成立,得不等式ax2+2x,x1, +)恒成立.令

12、g(x)=x2+2x,x1,+),则原问题可转化为a小于g(x)在1,+)上的最小值问题.因为g(x)=(x+1)2-1的图象的对称轴为直线x=-1,所以函数g(x)在1,+)上是增函数,所以当x=1时,g(x)取得最小值,且g(1)=3,所以a3.即实数a的取值范围为(-,3).,七、易错辨析忽视了函数性质致误 【典例7】 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上是增函数,若f(2 016)=0,则f(x)0的解集是 .,错解:因为f(x)0且f(2 016)=0,所以f(x)f(2 016).又f(x)是(0,+)上的增函数.所以x2 016. 纠错:由于y=f(x)是R上的偶函

13、数,因此函数y=f(x)在(-,0)上是减函数,上述求解过程忽视了偶函数的性质. 正解:因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).又f(x)在(0,+)上是增函数且f(2 016)=0.所以f(x)f(2 016),即f(|x|) f(2 016).所以|x|2 016.所以x2 016或x-2 016. 答案:(-,-2 016)(2 016,+),真题体验素养升级,1.(2016山东卷)设集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5,B=3,4,5,则U(AB)等于( ) (A)2,6 (B)3,6 (C)1,3,4,5 (D)1,2,4,6,A,解析:因为A=

14、1,3,5,B=3,4,5, 所以AB=1,3,4,5, 又U=1,2,3,4,5,6,所以U(AB)=2,6.故选A.,2.(2017浙江卷)已知集合P=x-1x1,Q=x0x2,那么PQ等于( ) (A)(-1,2) (B)(0,1) (C)(-1,0) (D)(1,2),A,解析:因为P=x|-1x1,Q=x|0x2, 所以PQ=x|-1x2.故选A.,3.(2017天津卷)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=xR-1x5,则(AB)C等于( ) (A)2 (B)1,2,4 (C)1,2,4,6 (D)xR|-1x5,解析:AB=1,2,4,6. 又C=xR|-1x5, 则(AB)C=1,2,4. 故选B.,B,4.(2017全国卷)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)= -1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是( ) (A)-2,2 (B)-1,1 (C)0,4 (D)1,3,解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1, 所以f(-1)=-f(1)=1. 所以f(1)f(x-2)f(-1). 又因为f(x)在(-,+)上单调递减, 所以-1x-21. 所以1x3.故选D.,D,谢谢观赏！,