2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.3椭圆及其性质练习文.doc
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1、19.3 椭圆及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2017天津,20;2016天津,19;2015广东,8;2014大纲全国,15选择题、填空题、解答题2.椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质(如图形、范围、对称性等),并会熟练运用2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2017课标全国,12;2017浙江,2;2016课标全国,5;2016课标全国,12;2015课标,5选择题、填空题、解答题3.直线与椭圆的位置关系1.掌握直线
2、和椭圆位置关系的判断方法2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题2017北京,19;2016课标全国,21;2016四川,20;2015北京,20;2014陕西,20选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考
3、查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.2(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= .12 22又由b 2=a2-c2,可得2c 2+ac-a2=0,即2e 2+e-1=0.又因为00),则直线FP的斜率为 .1由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 + =1,即x+2y-22c=0,与直线FP的方程联立,可解得x= ,y= ,即点Q的坐标为 .由已知|FQ|= c,有(2-2)+2 3+2 (2-2)+2, 3+2) 32+ = ,整理得 3m2-4m=0,所以m= ,即直线FP的斜率为 .(2-2)+2
4、 +2( 3+2)2(32)2 43 343(ii)由a=2c,可得b= c,3故椭圆方程可以表示为 + =1.242232由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y,整理得7x 2+6cx-13c2=0,3-4+3=0,242+232=1, 解得x=- (舍去),或x=c.因此可得点P ,进而可得|FP|= = ,所以|PQ|=|FP|-|FQ|= - =c.137 (,32) (+)2+(32)252 52 32由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN= = ,
5、所以FQN的面积为 |FQ|QN|= ,同理FPM的面积等于32 3498 12 27232,由四边形PQNM的面积为3c,得 - =3c,整理得c 2=2c,又由c0,得c=2.75232 7523227232所以,椭圆的方程为 + =1.216212五年高考考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( )22522A.2 B.3 C.4 D.9答案 B 2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为 ,过F 2的直线l交C于A2222 33、B两点.若A
6、F 1B的周长为4 ,则C的方程为( )3A. + =1 B. +y2=12322 23C. + =1 D. + =121228 21224答案 A 3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN2924的中点在C上,则|AN|+|BN|= .答案 124.(2016天津,19,14分)设椭圆 + =1(a )的右焦点为F,右顶点为A.已知 + = ,其中O为原点,e为椭2223 3 1| 1| 3|圆的离心率.(1)求椭圆的方程;4(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与
7、y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.解析 (1)设F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得 a2-c2=3c2,1| 1| 3| 11 3(-)又a 2-c2=b2=3,所以c 2=1,因此a 2=4.所以,椭圆的方程为 + =1.2423(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,yB),由方程组 消去y,24+23=1,=(-2)整理得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x= ,由题意得x B= ,从而y B= .82-642+382-642+3-1242+3由(1)知,F(1,0),设H(
8、0,y H),有 =(-1,yH), = . (9-4242+3,1242+3)由BFHF,得 =0,所以 + =0,解得y H= .42-942+31242+3 9-4212因此直线MH的方程为y=- x+ .1 9-4212设M(x M,yM),由方程组 消去y,=(-2),=-1+9-4212解得x M= .202+912(2+1)在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(x M-2)2+ = + ,化简得x M=1,即 =1,解得k=- ,或k= .222 202+912(2+1) 64 64所以,直线l的斜率为- 或 .64 645.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆
9、+ =1(ab0)的左、右焦点分别为F 1,F2,过F 2的直线交椭圆于P,Q两点,且P2222QPF 1.(1)若|PF 1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程;2 2(2)若|PQ|=|PF 1|,且 b0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为 .2222 55(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.(i)求的值;(ii)若|PM|sinBQP= ,求椭圆的方程.759解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率 = 及a 2=b2+c2,可得 a= c,
10、b=2c. 55 5又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k= = =2.-00-(-)2(2)设点P(x P,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为 + =1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x 2252242+5cx=0,解得x P=- .53因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=- x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x 2-40cx=0,解得x Q= .12 4021又因为= ,及x M=0,可得= = = .| |-|-| | 78(ii)由(i)有 = ,所以 = = ,| 78 |
11、+| 77+8 715即|PQ|= |PM|.157又因为|PM|sinBQP= ,759所以|BP|=|PQ|sinBQP= |PM|sinBQP= .157 553又因为y P=2xP+2c=- c,43所以|BP|= = c,(0+53)2+(2+43)2553因此 c= ,得c=1.553 553所以,椭圆方程为 + =1.252477.(2014天津,18,13分)设椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为F 1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|= |2222 32F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F 1,经过
12、原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0).由|AB|= |F1F2|,可得a 2+b2=3c2,又b 2=a2-c2,则 = .32 2212所以椭圆的离心率e= .22(2)由(1)知a 2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为 + =1.22222设P(x 0,y0).由F 1(-c,0),B(0,c),有 =(x0+c,y0), =(c,c).1 1由已知,有 =0,即(x 0+c)c+y0c=0.1 1又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故 + =1.2022202由和可得3 +4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,20故x
13、0=- c,代入得y 0= ,43 3即点P的坐标为 .(-43,3)设圆的圆心为T(x 1,y1),则x 1= =- c,y1= = c,进而圆的半径 r= = c.-43+02 233+2 23 (1-0)2+(1-)2 53设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得 =r,即 = c,|1-1|2+1|(-23)-23|2+1 53整理得k 2-8k+1=0,解得k=4 .15所以直线l的斜率为4+ 或4- .15 15教师用书专用(810)88.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )12A.
14、+ =1 B. + =1 C. + =1 D. + =12324 24 23 2422 2423答案 D 9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为 .2222 63(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析 (1)由已知可得, = ,c=2,所以a= . 63 6又由a 2=b2+c2,解得b= ,所以椭圆C的标准方程是 + =1.22622(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF= =-m.-0
15、-3-(-2)当m0时,直线PQ的斜率k PQ= ,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.1设P(x 1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得 消去x,得(m 2+3)y2-4my-2=0,=-2,26+22=1,其判别式=16m 2+8(m2+3)0,所以y 1+y2= ,y1y2= ,42+3-22+3x1+x2=m(y1+y2)-4= .-122+3因为四边形OPTQ是平行四边形,所以 = ,即(x 1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以 解得m=1.1+2= -122+3=-3,1+2= 42+3=
16、,此时,S 四边形OPTQ =2SOPQ =2 |OF|y1-y2|12=2 =2 .(42+3)2-4-22+3 3910.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+ 交于A,B两点.若PAB的面积为2,求C的标准方程.3解析 (1)设切点坐标为(x 0,y0)(x00,y00),则切线斜率为- ,切线方程为y-y 0=- (x-0000x0),即x 0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S= = ,
17、由 + =42x 0y0知12 40 40 800 2020当且仅当x 0=y0= 时x 0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为( , ).2 2 2(2)设C的标准方程为 + =1(ab0),点A(x 1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知 + =1,并由22222222 22+22=1,=+3得b 2x2+4 x+6-2b2=0,又x 1,x2是方程的根,因此31+2=-432,12=6-222 ,由y 1=x1+ ,y2=x2+ ,得|AB|= |x1-x2|= .3 3 2 248-242+842由点P到直线l的距离为 及S PAB = |AB|=2得b 4-32 12
18、329b2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a2=3(舍)或b 2=3,a2=6,从而所求C的方程为 + =1.2623考点二 椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆 + =1的离心率是( )2924A. B. C. D.133 53 23 59答案 B 2.(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取232值范围是( )A.(0,19,+) B.(0, 9,+)3C.(0,14,+) D.(0, 4,+)310答案 A 3.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆
19、中心到l的距离为其短轴长的 ,则该14椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 34答案 B 4.(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.2222P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 34答案 A 5.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y 2=8x的焦点重合,A,B12是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3 B
20、.6 C.9 D.12答案 B 6.(2015浙江,15,4分)椭圆 + =1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y= x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率2222 是 .答案 227.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,2222b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 .510(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 ,(23,13)又k OM= ,从而 = .510 2 510进而a=
21、 b,c= =2b.故e= = .5 2-2255(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为 ,可得 = .(2,-2) (6,56)11又 =(-a,b),从而有 =- a2+ b2= (5b2-a2). 16 56 16由(1)的计算结果可知a 2=5b2,所以 =0,故MNAB.8.(2014课标,20,12分)设F 1,F2分别是椭圆C: + =1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF 2与x轴垂直.直线2222MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率;34(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b.解析 (1)根据c=
22、及题设知M ,2b2=3ac.2-2 (,2)将b 2=a2-c2代入2b 2=3ac,解得 = 或 =-2(舍去).12 故C的离心率为 .12(2)由题意,知原点O为F 1F2的中点,MF 2y轴,所以直线MF 1与y轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,故 =4,即b 2=4a2,由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F1N|.设N(x 1,y1),由题意知y 1b0)的左、右焦点分别为F 1,F2,P是C上的点,PF 2F 1F2,PF 1F22222=30,则C的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33答案 D 1210.(2013辽宁,11,5分)已知
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- 2019 高考 数学 一轮 复习 第九 平面 解析几何 93 椭圆 及其 性质 练习 DOC
