2020版高考数学大一轮复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和课件理.pptx
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1、第三讲 等比数列及其前n项和,第六章 数列,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 等比数列 考点2 等比数列的前n项和 考点3 等比数列的性质,考法1 等比数列的判定与证明 考法2 等比数列的基本运算 考法3 等比数列的性质的应用,B考法帮题型全突破,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题. 2.学科核心素养 本讲通过等比数列通项公式及前n项和公式、等比数列性质
2、的应用,考查考生的数学运算和逻辑推理素养,以及考生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 等比数列 考点2 等比数列的前n项和 考点3 等比数列的性质,考点1 等比数列(重点),1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数q(q0),那么这个数列叫作等比数列,这个常数q叫作等比数列的公比. 2.等比中项的概念 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,此时G2=ab. 注意 (1)只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项.(2)两个数的等差中项只有一个,两个同号且
3、不为0 的数的等比中项有两个.,3.等比数列的通项公式及其变形 通项公式:an=a1qn-1(a1q0),其中a1是首项,q是公比. 通项公式的变形:an=amqn-m. 4.等比数列与指数函数的关系 当q0且q1时,an= 1 qn可以看成函数y=cqx,其表示一个不为0的常数与指数函数的乘积.,规律总结 常见等比数列an的类型 当q1,a10或01,a10时,an是递减数列; 当a10,q=1时,an是常数列; 当q0时,an是摆动数列.,考点2 等比数列的前n项和(重点),1.等比数列an的前n项和公式为Sn= 1 ,=1, 1 (1 ) 1 = 1 ) 1 ,1. 2.(1)对于非常数
4、列的等比数列an的前n项和Sn= 1 (1 ) 1 - 1 1 qn+ 1 1 ,若设a= 1 1 ,则Sn=-aqn+a(a0,q0,q1).由此可知,数列Sn的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点. (2)对于常数列的等比数列,即当q=1时,因为a10,所以Sn=na1.由此可知,数列Sn的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.,注意当公比q=1时,Sn 1 (1 ) 1 ,而是Sn=na1.,考点3 等比数列的性质(重点),1.等比数列的运算性质 设数列an是等比数列. (1)若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,qN*,反之,不一定成立. 特别地,若2s
5、=p+r,则apar= 2 ,其中p,s,rN*. 注意在等比数列an中,若aman=apaq(m,n,p,qN*),则不一定有m+n=p+q成立,如当数列an是非零常数列时,此结论不成立. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*).,(3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列an, 2 , 1 , anbn和 (0,nN*)也是等比数列. (4)若数列an是各项都为正数且公比为q的等比数列,则数列lgan是公差为lgq的等差数列.,2.等比数列的前n项和的性质 设Sn是等比数列an的前n项和. (1)Sm+n
6、=Sn+qnSm=Sm+qmSn. (2)当q-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列. 注意当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,不是等比数列. (3)若a1a2an=Tn,则Tn, 2 , 3 ,成等比数列. (4)若数列an的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 S奇 S偶 =q;若项数为2n+1,则 奇 1 偶 =q.,B考法帮题型全突破,理科数学 第六章:数列,考法1 等比数列的判定与证明 考法2 等比数列的基本运算 考法3 等比数列的性质的应用,考法1 等比数列的判定与证明,示例1 2018全国卷,17,1
7、2分已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,思维导引 (1)(2)(3),解析 (1)由条件可得an+1= 2(+1) an. 将n=1代入得,a2=4a1,因为a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得,2a3=6a2,所以a3=12. 因为bn= ,所以b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下: 由条件可得 +1 +1 = 2 ,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得
8、 =2n-1,所以an=n2n-1.,方法总结 等比数列的判定与证明常用的方法 (1)定义法. +1 =q(q为常数且q0)或 1 =q(q为常数且q0,n2)an为等比数列. (2)等比中项法. +1 2 =anan+2(an0,nN*)an为等比数列. (3)通项公式法.an=a1qn-1(其中a1,q均为非零常数,nN*)an为等比数列. (4)前n项和公式法.若Sn表示数列an的前n项和,且Sn=-aqn+a(a0,q0, q1),则数列an是公比为q的等比数列.,注意 (1)由an+1=qan,q0,并不能断言an为等比数列,还要验证a10. (2)证明一个数列an不是等比数列,只需
9、要说明前三项满足 2 2 a1a3,或者存在一个正整数m,使得 +1 2 amam+2即可.,拓展变式1 已知数列an和bn满足a1=,an+1= 2 3 an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数,n为正整数. (1)对任意实数,证明数列an不是等比数列; (2)试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论.,1.(1)假设存在一个实数,使an是等比数列,则有 2 2 =a1a3,即( 2 3 -3)2=( 4 9 -4),故 4 9 2-4+9= 4 9 2-4,即9=0,这与事实相矛盾,所以假设不成立.所以对任意实数,数列an均不是等比数列. (2)当-18时,数列b
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