1、第三讲 等比数列及其前n项和,第六章 数列,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 等比数列 考点2 等比数列的前n项和 考点3 等比数列的性质,考法1 等比数列的判定与证明 考法2 等比数列的基本运算 考法3 等比数列的性质的应用,B考法帮题型全突破,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题. 2.学科核心素养 本讲通过等比数列通项公式及前n项和公式、等比数列性质
2、的应用,考查考生的数学运算和逻辑推理素养,以及考生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 等比数列 考点2 等比数列的前n项和 考点3 等比数列的性质,考点1 等比数列（重点）,1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数q(q0),那么这个数列叫作等比数列,这个常数q叫作等比数列的公比. 2.等比中项的概念 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,此时G2=ab. 注意 (1)只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项.(2)两个数的等差中项只有一个,两个同号且
3、不为0 的数的等比中项有两个.,3.等比数列的通项公式及其变形 通项公式:an=a1qn-1(a1q0),其中a1是首项,q是公比. 通项公式的变形:an=amqn-m. 4.等比数列与指数函数的关系 当q0且q1时,an= 1 qn可以看成函数y=cqx,其表示一个不为0的常数与指数函数的乘积.,规律总结 常见等比数列an的类型 当q1,a10或01,a10时,an是递减数列; 当a10,q=1时,an是常数列; 当q0时,an是摆动数列.,考点2 等比数列的前n项和（重点）,1.等比数列an的前n项和公式为Sn= 1 ,=1, 1 (1 ) 1 = 1 ) 1 ,1. 2.(1)对于非常数
4、列的等比数列an的前n项和Sn= 1 (1 ) 1 - 1 1 qn+ 1 1 ，若设a= 1 1 ,则Sn=-aqn+a(a0,q0,q1).由此可知,数列Sn的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点. (2)对于常数列的等比数列,即当q=1时,因为a10,所以Sn=na1.由此可知,数列Sn的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.,注意当公比q=1时,Sn 1 (1 ) 1 ,而是Sn=na1.,考点3 等比数列的性质（重点）,1.等比数列的运算性质 设数列an是等比数列. (1)若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,qN*,反之,不一定成立. 特别地,若2s
5、=p+r,则apar= 2 ,其中p,s,rN*. 注意在等比数列an中,若aman=apaq(m,n,p,qN*),则不一定有m+n=p+q成立,如当数列an是非零常数列时,此结论不成立. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*).,(3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列an, 2 , 1 , anbn和 (0,nN*)也是等比数列. (4)若数列an是各项都为正数且公比为q的等比数列,则数列lgan是公差为lgq的等差数列.,2.等比数列的前n项和的性质 设Sn是等比数列an的前n项和. (1)Sm+n
6、=Sn+qnSm=Sm+qmSn. (2)当q-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列. 注意当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,不是等比数列. (3)若a1a2an=Tn,则Tn, 2 , 3 ,成等比数列. (4)若数列an的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 S奇 S偶 =q;若项数为2n+1,则 奇 1 偶 =q.,B考法帮题型全突破,理科数学 第六章：数列,考法1 等比数列的判定与证明 考法2 等比数列的基本运算 考法3 等比数列的性质的应用,考法1 等比数列的判定与证明,示例1 2018全国卷,17,1
7、2分已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,思维导引 (1)(2)(3),解析 (1)由条件可得an+1= 2(+1) an. 将n=1代入得,a2=4a1,因为a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得,2a3=6a2,所以a3=12. 因为bn= ,所以b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下: 由条件可得 +1 +1 = 2 ,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得
8、 =2n-1,所以an=n2n-1.,方法总结 等比数列的判定与证明常用的方法 (1)定义法. +1 =q(q为常数且q0)或 1 =q(q为常数且q0,n2)an为等比数列. (2)等比中项法. +1 2 =anan+2(an0,nN*)an为等比数列. (3)通项公式法.an=a1qn-1(其中a1,q均为非零常数,nN*)an为等比数列. (4)前n项和公式法.若Sn表示数列an的前n项和,且Sn=-aqn+a(a0,q0, q1),则数列an是公比为q的等比数列.,注意 (1)由an+1=qan,q0,并不能断言an为等比数列,还要验证a10. (2)证明一个数列an不是等比数列,只需
9、要说明前三项满足 2 2 a1a3,或者存在一个正整数m,使得 +1 2 amam+2即可.,拓展变式1 已知数列an和bn满足a1=,an+1= 2 3 an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数,n为正整数. (1)对任意实数,证明数列an不是等比数列; (2)试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论.,1.(1)假设存在一个实数,使an是等比数列,则有 2 2 =a1a3,即( 2 3 -3)2=( 4 9 -4),故 4 9 2-4+9= 4 9 2-4,即9=0,这与事实相矛盾,所以假设不成立.所以对任意实数,数列an均不是等比数列. (2)当-18时,数列b
10、n是等比数列,证明如下: 因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=(-1)n+1( 2 3 an-2n+14)=- 2 3 (-1)n(an-3n+21)=- 2 3 bn(nN*),b1=-(+18),所以当=-18时,b1=0,此时bn不是等比数列; 当-18时,b1=-(+18)0,则bn0,所以 +1 =- 2 3 (nN*). 故当-18时,数列bn是以-(+18)为首项,- 2 3 为公比的等比数列.,考法2 等比数列的基本运算,示例2 (1)2015新课标全国,9,5分已知等比数列an满足a1= 1 4 ,a3a5=4(a4-1),则a2= A.2 B.1 C.
11、 1 2 D. 1 8 (2)2017全国卷,14,5分理设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= . (3)在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式为an= .,思维导引 (1)利用等比数列的通项公式列方程求解; (2)利用等比数列的通项公式列方程求解; (3)利用通项法或对称设元设出等比数列的项求解,注意an=amqn-m的应用.,解析 (1)设等比数列an的公比为q,由a1= 1 4 ,a3a5=4(a4-1),知q1,则a1q2a1q4=4(a1q3-1), 1 16 q6=4( 1 4 q3-1),q6-16q3+64=0, 3
12、8 2 =0,即q3=8,q=2,a2= 1 2 ,故选C. (2)设等比数列an的公比为q,则a1+a2=a1(1+q)=-1,a1-a3=a1(1-q2)=-3.两式相除,得 1+ 1 2 = 1 3 ,解得q=-2.代入得a1=1,所以a4=a1q3=-8. (3)解法一 (通项法)由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比数列an的通项公式为an=a1qn-1=4n-1.,解法二 (对称设元)由题意可设等比数列an的前3项分别为 4 ,x,4x,则 4 +x+4x=21,解得x=4,所以等比数列an的通项公式为an=a2qn-2=44n-2=4n-1.,方法总结 等比
13、数列基本运算中的两种常用数学思想,技巧点拨 1.(对称设元)一般地,若连续奇数个项成等比数列,则可设该数列为, ,x,xq,;若连续偶数个项成等比数列,则可设该数列为, 3 , ,xq,xq3, (注意:此时公比q20,并不适合所有情况).这样既可减少未知量的个数,也使得解方程较为方便. 2.求解等比数列基本量时注意运用整体思想、“设而不求”等,同时还要注意合理运用q= 2 1 = 3 2 = 1 = 2 + 3 + 1 + 2 + 1 .,拓展变式2 (1)已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2 5 2 ,a2=1,则a1等于( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 (2)
14、已知数列an是等差数列,若a2,a4+3,a6+6构成公比为q的等比数列,则q=( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(3)数学文化题中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A.96里 B.48里 C.192里 D.24里,2.(1)B 设公比为q(q0),由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2, 则q2=2,所以q= 2 .所以a1= 2 = 1 2 =
15、 2 2 .故选B. (2)A 令等差数列an的公差为d,由a2,a4+3,a6+6构成公比为q的等比数列,得(a4+3)2=a2(a6+6),即(a1+3d+3)2=(a1+d)(a1+5d+6),化简得(2d+3)2=0,解得d=- 3 2 .所以q= 4 +3 2 = 1 9 2 +3 1 3 2 = 1 3 2 1 3 2 =1.故选A. (3)A 由题意得,将该人每天所走的路程依次排列,形成一个公比为 1 2 的,等比数列,记为an,其前6项和等于378,于是有 1 1( 1 2 ) 6 1 1 2 =378,解得a1=192,所以a2= 1 2 a1=96,即该人第二天走了96里,
16、故选A.,考法3 等比数列的性质的应用,示例3 在等比数列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为 A.1 B.2 C.3 D.5,思维导引 直接把a1+a3看作一个整体,先利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可.,解析 因为an为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项, 所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11), 故a9+a11= 5 + 7 2 1 + 3 = 4 2 8 =2. 同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项, 所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15=
17、 9 + 11 2 5 + 7 = 2 2 4 =1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3. 答案 C,示例4 2019长春市高三一检等比数列an的首项为a1=-1,前n项和为Sn,若 10 5 = 31 32 ,则公比q= . 思维导引 利用等比数列的前n项和的性质求解.,解析 由 10 5 = 31 32 ,a1=-1知公比q1, 10 5 5 =- 1 32 . 由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=- 1 32 ,所以q=- 1 2 .,技巧点拨 等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变
18、形,二是等比中项公式的变形,三是前n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 注意 在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要对性质进行适当变形.此外,解题时注意“设而不求”的运用.,拓展变式3 (1)设在等比数列an中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( ) A. 1 8 B.- 1 8 C. 57 8 D. 55 8 (2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m的值为( ) A.4 B.7 C.10 D.12,3.(1)A 因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6= 1 8 ,即a7+a8+a9等于 1 8 .故选A. (2)A 因为an是等比数列,所以am-1am+1= 2 .又am-1am+1-2am=0,则 2 -2am=0,所以am=2(am=0舍去).由等比数列的性质可知前2m-1项的积为T2m-1= 21 ,即22m-1=128,解得m=4.故选A.,
