2020版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理.pptx

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1、第一讲 导数的概念及运算,第三章：导数及其应用,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 导数的概念和几何意义 考点2 导数的运算,考法1 导数的运算 考法2 导数的几何意义的应用,B考法帮题型全突破,C.方法帮素养大提升,易错1 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 易错2 复合函数的求导中错用法则致误,理科数学 第三章：导数及其应用,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第三章：导数及其应用,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,本讲一直是高考的热点,主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不

2、单独考查,而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查,导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值,常以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题的第一问,难度中等. 2.学科核心素养 本讲通过导数的运算及其几何意义考查考生的数学运算、逻辑推理、直观想象素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 导数的概念和几何意义 考点2 导数的运算,理科数学 第三章：导数及其应用,(1)一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 lim 0 = lim 0 ( 0 +)( 0 ) ,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或 = 0 ,即f(x0)=

3、 lim 0 =lim 0 ( 0 +)( 0 ) . (2)由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).即 f(x)=y= lim 0 = lim 0 (+)() .,考点1 导数的概念和几何意义（重点）,注意 f (x)与f (x0)的区别与联系:f (x)是一个函数,f (x0)是函数f (x)在x0处的函数值(常数),所以f (x0)=0. 函数y=f(x)在x=x0处的导数f (x0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k,即

4、k=f (x0).相应地,切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0).,理科数学 第三章：导数及其应用,说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.,1.基本初等函数的导数公式,考点2 导数的运算（重点）,2.导数的四则运算法则 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); (3) () () = ()()()() () 2 (g(x)0).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,规律总结 ( 1 )=- 1 2 ; 奇函数的导数是偶函数,

5、偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数; af(x)bg(x)=af(x)bg(x).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,3.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,理科数学 第三章：导数及其应用,注意 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆,常出现如下错误:(cos 2x)=-sin 2x,实际上应是(cos 2x)=-2sin 2x.,B考法帮题型全突破,考法1 导数的运算 考法2 导数的几何意义的应用,理科数学

6、 第三章：导数及其应用,考法1 导数的运算,解析 (1)因为y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,所以y=3x2+12x+11. (2)因为y=sin 2 (-cos 2 )=- 1 2 sin x, 所以y=(- 1 2 sin x)=- 1 2 (sin x)=- 1 2 cosx. (3)y=(ln 21 2+1 )=ln(2x-1)-ln(2x+1)=ln(2x-1)-ln(2x+1)= 1 21 (2x-1)- 1 2+1 (2x+1)= 2 21 - 2 2+1 = 4 4 2 1 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,示例2若函

7、数f(x)=ln x-f(1)x2+3x-4,则f(3)= .思维导引 先求出f(1)得出导函数的解析式,再把x=3代入导函数解析式得 f(3).解析对f(x)求导,得f(x)= 1 -2f(1)x+3,所以f(1)=1-2f(1)+3,解得f(1)= 4 3 ,所以f(x)= 1 - 8 3 x+3,将x=3代入f(x)可得f(3)=- 14 3 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,感悟升华 1.导数运算的原则: 先化简解析式,再求导. 2.导数运算的6种形式及技巧 (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为

8、整式函数或较为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; (6)复合函数求导:先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元. 3.对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f (x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f (x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f (x),令x=x0,即可得到f (x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求导数值.,理

9、科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式1 等比数列an中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则 f (0)= A.26 B.29 C.212 D.215,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,1.C 因为f (x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8)+(x-a1)(x-a2)(x-a8)x=(x-a1)(x-a2)(x-a8)+(x-a1)(x-a2)(x-a8)x, 所以f (0)=(0-a1)(0-a2)(0-a8)+0=a1a2a8. 因为数列an为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4

10、a5=a1a8=8,所以f (0)=84=212.故选C.,示例3已知点P( 2 018 3 ,-1)在函数f(x)=acosx的图象上,则该函数图象在x= 3 4 处的切线方程是 A.2x+ 2 y+ 43 2 =0 B.2x- 2 y+ 43 2 =0 C.2x- 2 y- 43 2 =0 D.2x+ 2 y- 43 2 =0 思维导引 先根据函数图象上点的坐标求解函数解析式中的参数a,然后求出切点坐标,并求出函数在该点处的导函数值,即切点处的切线斜率,代入直线方程的点斜式即可.,考法2 导数的几何意义的应用,解析由点P在函数f(x)=acosx的图象上可得f( 2 018 3 )=-1,

11、 即acos( 2 018 3 )=acos(672+ 2 3 )=- 2 =-1,解得a=2.故f(x)=2cos x. 所以f( 3 4 )=2cos 3 4 =- 2 ,f(x)=-2sin x. 由导数的几何意义可知,该函数图象在x= 3 4 处的切线斜率k=f( 3 4 )=-2sin 3 4 =- 2 . 所以切线方程为y-(- 2 )=- 2 (x- 3 4 ),即 2 x+y+ 2 - 3 2 4 =0,即2x+ 2 y+ 43 2 =0.答案 A,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,示例4 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为

12、 A.1 B.2 C.-1 D.-2思维导引 设出切点再求导,利用导数的几何意义求解即可.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a). 因为曲线的导函数y= 1 + ,所以y = 0 = 1 0 + =1,即x0+a=1. 又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2. 答案 B,方法总结,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,导数几何意义的应用类型及解题策略,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其

13、应用,续表,拓展变式2（1）已知曲线y= 2 4 -3ln x的一条切线的斜率为- 1 2 ,则切点的横坐标为 A.3 B.2 C.1 D. 1 2 (2)2016全国卷,16,5分理若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,2.（1）B 因为y= 2 4 -3ln x,所以y= 2 - 3 .再由导数的几何意义,令 2 - 3 =- 1 2 ,解得x=2或x=-3(舍去).故选B.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)1-ln 2 设y=kx+

14、b与y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,ln x1+2)和(x2,ln(x2+1). 则切线分别为y-ln x1-2= 1 1 (x-x1),y-ln(x2+1)= 1 2 +1 (x-x2), 化简得y= 1 1 x+lnx1+1,y= 1 2 +1 x- 2 2 +1 +ln(x2+1), 依题意,得 1 1 = 1 2 +1 , ln 1 +1= 2 2 +1 +ln( 2 +1), 解得x1= 1 2 , 从而b=ln x1+1=1-ln 2.,C方法帮素养大提升,易错1 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 易错2 复合函数的求导中错用法则致误,理科数学

15、第三章：导数及其应用,示例5 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为 A.1 B. 1 64 C.1或 1 64 D.1或 1 64 易错分析 没有对点(0,0)是否为切点进行分析,误认为是切点而出错.,易错1 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误,解析易知点O(0,0)在曲线y=x3-3x2+2x上. (1)当O(0,0)是切点时, 由y=3x2-6x+2,得y|x=0=2, 即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x. 由 =2 =x2+ ，得x2-2x+a=0, 依题意知=4-4a=0,得a=1. (2)当O(0,0)不是切点

16、时, 设直线l与曲线y=x3-3x2+2x相切于点P(x0,y0),则y0=x03-3x02+2x0,k=y|x=x0=3x02-6x0+2 ,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,又k= y0 x0 =x02-3x0+2 , 所以联立,得x0= 3 2 (x0=0舍去),所以k=- 1 4 , 故直线l的方程为y=- 1 4 x. 由 = 1 4 =x2+ 得x2+ 1 4 x+a=0, 依题意知= 1 16 -4a=0,得a= 1 64 . 综上,a=1或a= 1 64 .答案 C,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,易错警示 1.对于

17、曲线的切线方程问题的求解,对曲线的求导是一个关键点,因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握. 2.对于已知的点,应先确定其是不是曲线的切点. (1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者A未必是切点; (2)曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条; (3)切线与曲线的公共点不一定只有一个.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,示例6 设函数f(x)=cos( 3 x+),其中常数满足-0.若函数g(x)=f(x)+ f (x)(其中f (x)是函数f(x)的导数)是偶函数,则等于 A

18、.- 3 B.- 5 6 C .- 6 D. - 2 3,易错2 复合函数的求导中错用法则致误,解析由题意得g(x)=f(x)+f (x)=cos( 3 x+)- 3 sin( 3 x+)=2cos( 3 x+ 3 ).(注意两角和的余弦公式的应用) 因为函数g(x)为偶函数, 所以+ 3 =k,kZ,解得=k- 3 ,kZ. 又-0,所以=- 3 .,理科数学 第三章：导数及其应用,答案 A,易错警示 本题在对复合函数求导时,易错用导数的运算法则而致误,避开易错点的关键是选择中间变量,复合函数f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y=yuux=f (u)g(x),即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.求导时需要记住中间变量,注意从外层开始由外及里逐层求导.,理科数学 第三章：导数及其应用,