版选修2_1201901155111.doc

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1、12.2.2 椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质(重点)2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法(难点)3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知教材整理 1 椭圆的简单几何性质阅读教材 P34，完成下列问题焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a顶点 (a,0)，(0， b) (b,0)，(0， a)轴长 长轴长2 a，短轴长2 b焦点 (c,0) (0， c)焦距 F1F22 c对称轴 x 轴， y 轴对

2、称中心 (0,0)离心率 e (0 e1)ca判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)椭圆 1( a b0)的长轴长等于 a.( )x2a2 y2b2(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a c.( )(3)椭圆的长轴，短轴就是 x 轴和 y 轴( )(4)椭圆 y21 中，变量 x 的范围是2,2( )x22解析 (1) 1( ab0)的长轴长等于 2a，故错误；x2a2 y2b2(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a c，最大值为 a c，故正确；(3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误；(4)椭圆 y21 中， a ，故 x 的范围是 ， ，故错误x22 2 2 22答案

3、 (1) (2) (3) (4)教材整理 2 离心率阅读教材 P34P 35例 1 以上部分，完成下列问题1定义：焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率ca2范围： e (0,1)ca3作用：当椭圆的离心率越接近于 1 时，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于 0 时，则椭圆越接近于圆填空：(1)椭圆 1 的离心率是_x24 y23(2)两个椭圆 y21 和 1 中，更接近于圆的是_x24 x236 y224(3)椭圆 1( a2)的离心率 e ，则实数 a 的值为_. x2a2 y24 22【导学号：71392064】解析 (1) 1 中， a2， c 1，所以离心率 e .x24 y23 4 3

4、 12(2)椭圆 y21 的离心率 e1 ，椭圆 1 的离心率 e2 .因为 e1e2，所x24 32 x236 y224 33以椭圆 1 更接近于圆x236 y224(3)因为 a2，所以 e ，解得 a2 .a2 4a 22 2答案 (1) (2) 1 (3)212 x236 y224 2合 作 探 究攻 重 难由椭圆的方程求其几何性质(1)椭圆 2x23 y212 的两焦点之间的距离为_ (2)求椭圆 81x2 y281 的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率精彩点拨 分清椭圆的焦点所在的轴，确定 a， b 后研究性质3自主解答 (1)把椭圆 2x23 y212 化为标准方程，得 1

5、，易知x26 y24a26， b24， c2 a2 b22， c ，故 2c2 .2 2答案 2 2(2)椭圆的方程可化为x2 1， a9， b1，y281 c 4 ，81 1 80 5椭圆的长轴和短轴长分别为 18,2.椭圆的焦点在 y 轴上，故其焦点坐标为 F1(0，4 )， F2(0,4 )，5 5顶点坐标为 A1(0，9)， A2(0,9)，B1(1,0)， B2(1,0)， e .ca 459名师指津 研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出 a， b 的数值，进而求出 c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的

6、坐标等几何性质.再练一题1已知椭圆 x2( m3) y2 m(m0)的离心率 e ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的32长，焦点坐标，顶点坐标. 【导学号：71392065】解 椭圆方程可化为 1( m0)，x2m y2mm 3因为 m 0，所以 m ，所以焦点在 x 轴上，即mm 3 m(m 2)m 3 mm 3a2 m， b2 ， c .mm 3 a2 b2 m(m 2)m 3由 e ，得 e ，所以 m1.32 ca m 2m 3 32所以椭圆的标准方程为 x2 1.y214所以 a1， b ， c ，所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为 F112 324， F2 ；四

7、个顶点坐标分别为 A1(1,0)， A2(1,0)， B1 ， B2 .(32， 0) (32， 0) (0， 12) (0， 12)由椭圆的几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是 6，离心率是 ；23(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在 x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.精彩点拨 确 定 焦 点 位 置 设 标 准 方 程 求 出 a2， b2 写 出 标 准 方 程自主解答 (1)设椭圆方程为 1( ab0)或 1( ab0)由已知得x2a2 y2b2 y2a2 x2b22a6， a3.又 e ， c2.ca 2

8、3 b2 a2 c2945.椭圆的标准方程为 1 或 1.x29 y25 y29 x25(2)由题意知焦点在 x 轴上，故可设椭圆的标准方程为 1( ab0)，且两焦点为 F(3，0)， F(3,0)x2a2 y2b2如图所示， A1FA2为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2的中线，且|OF| c，| A1A2|2 b， c b3， a2 b2 c218.椭圆的标准方程为 1.x218 y29名师指津 由椭圆的几何性质求方程的方法步骤(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” ，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤

9、是：求出 a2， b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程.再练一题52已知椭圆 C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的 5 倍，且经过点 A(5,0)，求该椭圆的标准方程解 法一：若椭圆的焦点在 x 轴上，则设其标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由题意得Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 y21.x225若椭圆的焦点在 y 轴上，则设其标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2由题意得Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.y2625 x225综上可知，所求椭圆的标准方程为 y21 或 1.x225 y2625 x225法二：设椭圆的标准方程为

10、 1( m0， n0， m n)，x2m y2n由题意得Error!或Error!解得Error! 或Error!故所求椭圆的标准方程为 y21 或 1.x225 y2625 x225求离心率(1)如图 222，直线 l： x2 y20 过椭圆的左焦点 F1和上顶点 B，则该椭圆的离心率为_图 222(2)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点 A 和短轴的一个端点B， OAB30，则椭圆的离心率为_. 【导学号：71392066】精彩点拨 (1)求出直线 l 与 x、 y 轴交点，找出 a， b，进而求出离心率 e；(2)在直角三角形 OAB 中，由 OAB30，可得 a，

11、 b 的关系，利用这个 a， b 的关系可求离心率6自主解答 (1)在直线 l 的方程 x2 y20 中令 y0 得 x2，令 x0 得y1，故 F1(2,0)， B(0,1)，所以 c2， b1，故 a2 b2 c25.所以 a ，因此离心率 e .5ca 25 255(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在 x 轴上，由条件得 OAB30， OA a， OB b， tan 30 ，ba 33 e2 1 1 ，c2a2 b2a2 13 23 e .63答案 (1) (2)255 63名师指津 求椭圆的离心率，关键是寻找 a 与 c 的关系，一般地：(1)若已知 a， c，则直接代入 e 求解；ca

12、(2)若已知 a， b，则由 e 求解；1 (ba)2 (3)若已知 a， b， c 的关系，则可转化为 a， c 的齐次式，再转化为含 e 的方程求解即可.再练一题3 A 为 y 轴上一点， F1， F2是椭圆的两个焦点， AF1F2为正三角形，且 AF1的中点 B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率解 如图，连接 BF2. AF1F2为正三角形，且 B 为线段 AF1的中点， F2B BF1.又 BF2F130，| F1F2|2 c，7| BF1| c，| BF2| c.3据椭圆定义得| BF1| BF2|2 a，即 c c2 a， 1.3ca 3椭圆的离心率 e 1.3直线与椭圆的位置关系探究

13、问题1直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断？如何判断直线与椭圆的位置关系？提示 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一个一元二次方程利用一元二次方程根的判别式 ，根据 0， b0)的弦 AB 的x2a2 y2b2中点坐标为( x0， y0)，能否确定直线 AB 的斜率？提示 设 A(x1， y1)， B

14、(x2， y2)，则Error!Error!所以 (x x ) (y y )0，1a2 21 2 1b2 21 2变形得 ，y1 y2x1 x2 b2a2 x1 x2y1 y2 b2a2 x0y08即 kAB .b2x0a2y0这种方法叫平方差法，也叫点差法已知椭圆 y21.x24(1)当 m 为何值时，直线 y x m 与椭圆有两个不同的交点？(2)当 m2 时，求直线 y x m 被椭圆截得的线段长. 【导学号：71392067】精彩点拨 联 立 ， 消 去 y得一 元 二 次 方 程 判 别 式 m的 范 围 根 与 系 数 的 关 系由 弦 长 公 式 求 弦 长自主解答 (1)联立E

15、rror!消去 y，得 5x28 mx4( m21)0.(*) 64 m280( m21)0， b0)的左、右焦点， P 为直线 x 上一点，x2a2 y2b2 3a2F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为_解析 如图， F2PF1是底角为 30的等腰三角形， PF2A60， PF2 F1F22 c， AF2 c，2 c a， e .32 34答案 34105已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆 1 所截得的线段的中点，求直线 l 的方程x236 y29解 设直线 l 与椭圆的交点分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，Error!两式相减，有( x1 x2)(x1 x2)4( y1 y2)(y1 y2)0.又 x1 x28， y1 y24， ，y1 y2x1 x2 12即 k ，直线 l 的方程为 x2 y80.12