山东省实验中学2019届高三数学第二次诊断性考试试卷理（含解析）.doc

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1、1山东省实验中学 2019 届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I卷为第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 5 页。试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。第 I 卷(共 60 分)一、选择题(本题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合 中的元素个数是A. 2 B. 3 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】先写出 ，再看 的个数.【详解】由题得 = ，故

2、 AB 的元素的个数为 6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知向量 a=(1,2),b=(m,1)，若 ab，则 m=A. B. C. D. 22 12 12【答案】D【解析】【分析】由题得 ，解方程即得 m 的值.ab=0【详解】由题得 故答案为：Dab=m+2=0,m=2.【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.设 满足约束条件 的最大值是x,y 3x+2y-60x0y0 ，则 z=x-yA. B. 0 C. 2 D. 3-32【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域

3、，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可【详解】x，y 满足约束条件 的可行域如图：3x+2y-60x0y0 目标函数 z=xy，经过可行域的点 B 时，目标函数取得最大值，由 解得 B（2，0） ，y=03x+2y-6=0 目标函数的最大值为 2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键4.已知等比数列 中，an a3=2,a7=8,则 a5=A. B. 4 C. 4 D. 164【答案】A【解析】【分析】由题得 ，解之即得解.a25=a3a7【详解】由题得 a25=a3a7,a25=16,a5=4.因为等比数列的奇数项同号，所

4、以 ，故答案为：Aa5=4【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌3握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5.“ ”是“指数函数 单调递减”的a1 f(x)=(32a)x在 RA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简“指数函数 单调递减”得 ，再利用充要条件的定义判断得f(x)=(3-2a)x在 R 11 f(x)=(3-2a)x在 R故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法

5、判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题 和集合 的对应关系 . ，p、q A、B p:A=x|p(x)成 立 ；最后利用下面的结论判断：若 ,则 是 的充分条件，若 ，q:B=x|q(x)成 立 AB p q AB则 是 的充分非必要条件；若 ,则 是 的必要条件，若 ，则 是 的必要非充p q BA p q BA p q分条件；若 且 ，即 时，则 是 的充要条件 .AB BA A=B p q6.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度N(0,42)误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布 ，则N(,2)，P(b且

6、cb数” ，若 ，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是a,b,c1，2，3，4A. B. C. D. 13 532 732 712【答案】C【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.6【详解】先求所有的三位数，个位有 4 种排法，十位有 4 种排法，百位有 4 种排法，所以共有 个三位数.444=64再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有 种，C342=8第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有 种方法，所以共有C241=6凹数 8+6=14 个，由古典概型的概率公式得 P= .146

7、4=732故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向右平f(x)=cosx移 个单位后得到函数 的的图像，若函数 在区间 上均单调递增，则实6 g(x) g(x) 0,a9与 2a,4数 a 的取值范围为A. B. C. D. 1312,2 1312,32 76,2 76,32【答案】B【解析】【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得 a 的范围【详解】将函数 f（x）=cosx 图象

8、上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，可得 y=cos 的x2图象；然后向右平移 个单位后得到函数 g（x）=cos =cos（ ）的图象，6 x-62 x2 12若函数 g（x）在区间 与2a，4上均单调递增，0，a9则 0 = ， 0，且 2k， 2k，kZ12 1212a9 12 2a2 12 42 12解得 a ，1312 32故答案为：B7【点睛】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题12.已知 均为单位向量，满足 ，设OA,OB,OC OAOB=12,OAOC0,OBOC0，则 的最小值为：OC=xOA+yOB x+yA.

9、 B. 0 C. D. 1233 33【答案】C【解析】【分析】由题意可设 C（cos ，sin ） ，设 A（ ， ） ，B（1，0） ，由条件求得 x，y，再由两角12 32和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值【详解】由| |=1 可设 C（cos ，sin ） ，OC又 = ，所以 cosBOA= ,所以BOA= .OAOB12 12 3因为| |=| |=1，可设 A（ ， ） ，B（1，0） ，OA OB 12 32=x +y ，所以OC OA OB 12x+y=cos32x=sin,x=2sin3,y=cossin3,所以 ,x+y=cos+sin3=33(sin+ 3cos)

10、=233sin(+3)因为 ,所以 （1）OBOC0 cos0,因为 ，所以 ， （2）OAOC012cos+32sin0由（1） （2）得 62,6+356,所以当 x+y 最小值为 .故答案为：C+3=6时 ， 23312=33【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题第 II 卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(本题包括 4 小题，共 20 分)813.已知函数 _f(x)=log3x,x09x,x0,则 f(f(1)=【答案】 2【解析】【分析】先求 f(-1),再求 的值.f(f(-1)【详解】由题得 f(

11、-1)= 所以 =9-1=19. f(f(-1) f(19)=log319=log332=2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.设 为正实数，且 的最小值为_x,y x+y=1，则2x+1y【答案】 3+22【解析】【分析】由题得 = ,再利用基本不等式求最小值.2x+1y(2x+1y)1=(2x+1y)(x+y)【详解】由题得 = ,2x+1y(2x+1y)1=(2x+1y)(x+y)=3+2yx+xy3+22yxxy=3+22当且仅当 时取等.x0,y0x+y=12yx=xy 即 x=22,y= 21故

12、答案为： 3+22【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.函数 的最大值为 _f(x)=sinx2(1+cosx)【答案】439【解析】【分析】先化简 ，再利用基本不等式求 的最大值，即得 f(x)的最大值.f(x)=2sinx2(1sin2x2) f2(x)9【详解】由题得 ，f(x)=sinx2(1+2cos2x21)=2sinx2cos2x2=2sinx2(1sin2x2)所以 f2(x)=4sin2x2(1sin2x2)(1sin2x2)=22sin2x2(1sin2x2)(1sin2x2)2(2sin2x2+(1sin2x2)+(1

13、sin2x2)3 )3=1627,所以 .故答案为：f(x)433=493 439【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16.下表中的数阵为“森德拉姆数筛” ，其特点是每行每列都成等差数列，则数字 2019 在表中出现的次数为_【答案】 4【解析】【分析】利用观察法及定义可知第 1 行数组成的数列 A1j（j=1，2， ）是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列，进一步分析得知第 j 列数组成的数列 A1j（i=1，2， ）是以 j+1 为首项，公差为 j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而从而得知结果【详解】第 i 行第

14、 j 列的数记为 Aij那么每一组 i 与 j 的解就是表中一个数因为第一行数组成的数列 A1j（j=1，2， ）是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列，所以 A1j=2+（j1）1=j+1，所以第 j 列数组成的数列 A1j（i=1，2， ）是以 j+1 为首项，公差为 j 的等差数列，所以 Aij=j+1+（i1）j=ij+1令 Aij=ij+1=2019，10即 ij=2018=12018=20181=21009=10092故表中 2019 共出现 4 次故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出 Aij=j+1+（i1）j=ij+1.三解答题(本题包括

15、6 小题，共 70 分)17.已知在递增的等差数列 的等比中项an中 ,a1=2,a3是 a1和 a9(I)求数列 的通项公式；(II)若 ， 为数列 的前 n 项和，求 an bn=1(n+1)an Sn bn Sn【答案】 （1） （2） an=2n Sn=n2(n+1)【解析】【分析】(I)根据已知求出 的通项公式. (II) 由题意可知d=2，再 写 出 数 列 an，再利用裂项相消法求和得解.bn=12n(n+1)=12(1n- 1n+1)【详解】(I)设公差为 ,因为 ，所以 ，解得d a32=a1a9 (2+2d)2=2(2+8d) d=2或 d=0(舍 )，所以 . an=2n

16、(II)由题意可知： bn=12n(n+1)=12(1n- 1n+1)所以 .Sn=12(1-12+12-13+.+1n- 1n+1)= n2(n+1)【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在 中， A,B,C 所对的边分别为 ，满足 ABC a,b,c sin(B+C)=233sin2A2(I)求角 A 的大小；()若 ，D 为 BC 的中点，且 的值a=27,bc AD= 3,求 sinC【答案】 （1） （2）A=23 sinC=2114【解析】11【分析】(I) 得 ，求出 . ()由题意可知化 简 sin(B+C

17、)=233sin2A2 tanA2= 3 A=23，化简得 ，再结合余弦定理求出 ，再利用正弦cosADB=-cosADC b2+c2=20 b=4,c=2定理求出的值sinC【详解】(I) ，所以 ，所以sin(B+C)=233sin2A2 sinA=233sin2A2 tanA2= 3因为 ，所以 ，所以 A(0,)A2=3 A=23()由题意可知： cosADB=-cosADC所以7+3-c2273=-7+3-b2273所以 b2+c2=20，又因为 ，所以 ， a2=c2+b2-2bccosA bc=8因为 ，所以 bc b=4,c=2由正弦定理可得 ，所以asinA= csinC s

18、inC=2114【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19.某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数 x 与销售价格 y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与 x 有很强的线性相关关系，请求出 z 与 x 的线性回归方程(回归系数 精确到 0.01)；(II)求 y 关于 x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为 10 年时售价约为多少12参考公式：b=ni=1(xix)(yiy)ni=1(xix)2 =ni=1xiyinxyni=1x2inx2,a=ybx参考数据

19、：6i=1xiyi=187.4,6i=1xizi=47.64,6i=1x2i=139,ln1.030.03,ln1.020.02.【答案】 （1）z 与 x 的线性回归方程是 （2）当使用年数为 10 年时售价约z=0.36x+3.63为 1.03 万元【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出 z 与 x 的线性回归方程. (II)先求出 y 关于 x 的回归方程是, 令 x10，预测某辆该款汽车当使用年数为 10 年时售价.y=e-0.36x+3.63【详解】(I)由题意，知 ，x=16(2+3+4+5+6+7)=4.5，z=16(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2又

20、 ,6i=1xizi=47.646i=1xi2=139所以 ， b=47.64-64.52139-64.52 =-6.3617.5-0.363所以 ，a=z-bx=2+0.3634.5=3.63所以 z 与 x 的线性回归方程是 ；z=-0.36x+3.63(II)因为 ,z=lny所以 y 关于 x 的回归方程是 ,y=e-0.36x+3.63令 x10，得 = ,因为 ln 1.030.03，所以 ，y=e-0.3610+3.63e0.03 y=1.03即预测该款汽车当使用年数为 10 年时售价约为 1.03 万元【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生

21、对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知数列 an的 前 n项 和 为 Sn,a1=2,an+1=2+Sn13(I)求数列 的通项公式；()设 ，求数列 的前 n 项和an bn=(3n1)an bn Tn【答案】 （1） （2）an=2n Tn=(12n7)2n11【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列 的通项公式. ()利用错位相减法求数列 的前 n 项和an bn Tn.【详解】(I)由题意可知：当 时， ，又因为 ，所以 ，n2 an=2+Sn-1 an+1=2+Sn an+1=2an又因为当 ， ，所以 n=1 a2=4 a2=2a1所以 等比数列，且 an an=2n（2）

22、 Tn=22+522+.+(3n-1)2n2Tn=222+523+.+(3n-1)2n+1-Tn=4+322+323+.+32n-(3n-1)2n+1=4+31-2n-11-2-(3n-1)2n+1=1+(7-12n)2n-1所以 Tn=(12n-7)2n-1-1【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.依据黄河济南段 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在 8 月份发生 I

23、 级灾害的概率；()黄河济南段某企业，在 3 月份，若没受 1、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1 级14灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】 （1） （2） ，因此企业应选方案二0.155 E(X2)E(X3)E(X1)【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河 8 月份“水位小于 40 米”为事件 ， “水位在 40 米至 50 米之间”A1为事件 ， “水位大于 50 米” 为事件 ，分别求出它们发生的概率，记该地 8 月份“水位A2 A3

24、小于 40 米且发生 1 级灾害”为事件 ， “水位在 40 米至 50 米之间且发生 1 级灾害”为事B1件 ， “水位大于 50 米且发生 1 级灾害”为事件 ，分别求出它们发生的概率，再利用B2 B3求解. （II）以P(B)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】 （I）依据甲图，记黄河 8 月份“水位小于 40 米”为事件 ， “水位在 40 米至 50A1米之间”为事件 ， “水位大于 50 米”为事件 ，它们发生的概率分别为：A2 A3，P(A1

25、)=(0.02+0.05+0.06)5=0.65, P(A2)=(0.04+0.02)5=0.30 P(A3)=0.015=0.05记该地 8 月份“水位小于 40 米且发生 1 级灾害”为事件 ， “水位在 40 米至 50 米之间且B1发生 1 级灾害”为事件 ， “水位大于 50 米且发生 1 级灾害 ”为事件 ，B2 B3所以 P(B1)=0.1, P(B2)=0.2, P(B3)=0.6记“该黄河在 8 月份发生 1 级灾害”为事件 则B15P(B)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.650.10+0

26、.300.20+0.050.60=0.155估计该河流在 8 月份发生 1 级灾害的概率为 0.155（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润 （万元）的取值为： ，由（I）知X1 500, -100, -1000P(X1=500)=0.650.9+0.300.75+0.050=0.81, P(X1=-100)=0.155,P(X1=-1000)=0.650+0.300.05+0.050.40=0.035的分布列为X1X1 500 100 1000P 081 0155 0035则该企业在 8 月份的利润期望（万元） E(X1)=5000.81+(-100)0.155+(-1000)0.

27、035=354.5选择方案二，则 （万元）的取值为： ，由（ I）知，X2 460, -1040，P(X2=460)=0.81+0.155=0.965, P(X2=-1040)=0.035的分布列为：X2X2 460 1040P 0965 0035则该企业在 8 月份的平均利润期望 （万元） E(X2)=4600.965+(-1040)0.035=407.5选择方案三，则该企业在 8 月份的利润为： （万元） E(X3)=500-100=400由于 ，因此企业应选方案二E(X2)E(X3)E(X1)【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分

28、析推理能力.22.已知 (e 为自然对数的底数，e=2.71828)，函数 图象关于直f(x)=ex y=g(x)与 y=f(x)16线 对称，函数 的最小值为 my=x f(x)g(x)(I)求曲线 的切线方程；y=g(x)+2在 点 (1，2)()求证： ；20 h/(12)= e-20, F/(1)=e1-m-10 x1(1,m)，即F/(x1)=0 ex1-m=1x1在 单减， 在 单增 F(x) (0,x1) (x1,+)17所以 F(x)min=F(x1)=ex1-m-lnx1=1x1+x1-m=1x1+x1-x0-1x0因为 所以 ， 所以 令 ，所以因为所以 由 ，可得 ，所以所以 ， ，所以 ，即 ， 所以【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.