[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷33及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关2 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换，必可以化为I m0的形式3 齐次线性方程组 的系数矩阵记为

2、A。若存在 3 阶矩阵 B0使得 AB=0，则（A）=一 2 且|B|=0（B） =一 2 且|B|0（C） =1 且|B|=0（D）=1 且|B|04 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 A 的秩 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=6 的通解 X=5 设 A 为，2 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAX=0，必有（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C

3、） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解二、填空题6 若齐次线性方程组 只有零解，则 应满足的条件是_。7 若线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足条件_。8 设 其中aiaj(ij，i ， j=1，2，n)。则线性方程组 ATXB 的解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求解线性方程组10 已给线性方程组 问 k1 和 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解 ?有无穷多解 ?在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解。10 已知线性方程组11 a，b 为何值时，方程组有解?12 在方

4、程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的全部解。12 设有 3 维列向量 问 取何值时13 可由 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一?14 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一?15 不能由 1， 2， 3 线性表示?15 设 3 阶矩阵 B0，且 B 的每一列都是以下方程组的解：16 求 的值；17 证明|B|=0 18 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解。18 设有线性方程组 证明：19 若 1， 2， 3， 4 两两不相等，则此线性方程组无解；20 设 1=3=k， 2=4=k(k0)，且已知 1=(-

5、1，1，1) T， 2=(1，1，-1) T 是该方程组的两个解，写出此方程组的通解。20 设向量组 1=(a，2，10) T， 2=(一 2，1，5) T， 3=(一 1，1，4) T，=(1 ，6，c)T。试问：21 当 a，b， c 满足什么条件时 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一 ?22 当 a，b， c 满足什么条件时 不能由 1， 2， 3 线性表出?23 当 a，b， c 满足什么条件时 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一 ?并求出一般表达式。24 求一个正交变换，化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x

6、2，x 3成标准形。25 设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明： AB 为正定矩阵。26 设 1， n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1，X n 分别为对应于1， n 的特征向量，记 证明：二次型，(x)=XTAX 在 XTX=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A 的最大(小)特征值。考研数学三（线性代数）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1， 2 n，x=(x 1，x 2，x n)T，则方程组Ax=0 的向量形式为 x11+x22+xnn=0，因

7、此，AN=0 只有零解 X=0，等价于上式只在 x1=x2=xn=0 时成立，亦即 A 的列向量组 1， 2， n 线性无关。故(A)正确。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 BA=0 知 A 的每个列向量都是齐次方程组 Bx=0 的解，由题设知A 的列向量中有 m 个是线性无关的，故 m=0 的解集合中至少有 m 个线性无关的解向量，因而 Bx=0 的基础解系所含向量个数不小于 m，即 m 一 r(B)m，所以r(B)0，故 r(B)=0，即 B=0 记 nm 矩阵，则有 AQ=Im 于是用 Q 右乘题设等式 BA=0 两端，得 BAQ=0，即BIm=0，亦即 B=0

8、【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 设 B 按列分块为 B=123，则由题设条件，有 0=AB=A1A2A3所以 Aj=0(j=1，2，3)，即矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解。又 B0，故 B至少有一列非零，因而方程组 Ax=0 存在非零解，从而有得 =1 另一方面，必有|B|=0，否则|B|0，则 B 可逆，于是由给 AB=0 两端右乘 B-1，得 A=0，这与 A0矛盾，故必有|B|=0因此(C)正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 AX=b 的通解等于 AX=b 的特解与 AX=0 的通解之和，故只要求出 AX=0 的基础解

9、系，即得 AX=b 的通解。因为 r(A)=3，故 4 元齐次方程组Ax=0 的基础解系所含向量个数为 4 一 r(A)=1，所以 Ax=0 的任一非零解就是它的基础解系。由于 1 及 (2+3)都是 Ax=b 的解。故是 AX=0 的一个解，从而=(2，3，4，5) T 也是 AX=0 的一个解，由上述分析知 是 AX=0 的一个基础解系，故 Axb 的通解为 X=1+，因此(C) 正确。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 若向量 X 满足方程组 AX=0，两端左乘 AT，得 ATAX=0，即 x 也满足方程组 ATAX=0，故 AX=0 的解都是 ATAX=0 的解。

10、反之，若 X 满足ATAX=0，两端左乘 XT，得 XTATAX=0，即(AX) T(AX)=0，或|AX| 2=0，故AX=0，即 X 也满足方程组 AX=0，故 ATAX=0 的解都是 AX=0 的解 由以上两方面，说明方程组() 与()是同解的，故 (A)正确。【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 为不等于 1 的任意常数。【试题解析】 方程组的系数行列式为【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 对方程组的增广矩阵 =A|B作初等行变换：可见 r(A)=3，由原方程组有解，应有 =r(A)=3故得 a1+a2+a3+a4=0注意，为了

11、同时求出 A 及 的秩，只能对 施行初等行变换，这同时也是求解线性方程组所要求的。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1，0，0) T。【试题解析】 因为 a1，a 2，a n 两两不相等，故范德蒙行列式|A|= (ai 一 aj)0，所以方程组 ATX=B 的系数行列式|A T|=|A|0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为 X=(1，0，0) T。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 已将 化成了简化行阶梯阵，其中与首非零元对应的未知量为 x1，x 2，x 3，选它们为约束未知量，则剩下的未知量 x3 就是自由未

12、知量，于是得方程组的用自由未知量表示的通解为 若令 x3=k，则可得方程组的参数形式的解x1=3 一 k，x 2=一 8+2k，x 3=k，x 4=6(k 为任意常数)【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组的求解。对于 n 元非齐次线性方程组Ax=b，当 r(A)= =rn 时，它有无穷多解。注意，这时求解的关键是首先选取约束未知量(通常选与 r 个首非零元对应的 r 个未知量为约束未知量)，从而其余的 n-r 个未知量就是自由未知量了，进而在与简化行阶梯阵对应的方程组中，将自由未知量的项移到等号右端，就得到了用自由未知量表示的通解(在此基础上，如果改写通解的形式，就可以得到用对应齐次方程组的

13、基础解系表示的通解，可见求出用自由未知量表示的通解是求其它形式的通解的基础)。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 以 A 表示方程组的系数矩阵，以 A|B表示增广矩阵，对增广矩阵A|B施行初等行变换：由此可知：(1)当 k12 时，r(A)=rA|B=4，方程组有唯一解；(2)当 k1=2 时，有所以，当 k1=2 且k21 时，则 r(A)=3，rA|B=4，方程组无解；当 k1=2 且 k2=1 时，则 r(A)=rA|B=34，方程组有无穷多解，此时有已将增广矩阵化成了简化行阶梯阵，选取 x1，x 2，x 3 为约束未知量，则 x3 为自由未知量，于是得方程组的用自由未知量表示的通

14、解： 取 x3=c(c 为任意常数)，得方程组的一般解：x 1=一 8，x 2=32c，x 3=c，x 4=2(c 为任意常数)。【试题解析】 本题考查带参数方程组的求解。注意这类问题要根据参数的不同取值进行分类讨论，分类的依据是使方程组系数矩阵与增广矩阵的秩得到确定，特别要注意“二分法”，例如本题的分法是： 这样分法，当然既无遗漏也不重复。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 对方程组的增广矩阵 =A|b作初等行变换：由阶梯形矩阵可见 r(A)=2，故当且仅当 r(A)=2 时方程组有解，即当 b3a=0，22a=0，亦即 a=1，b=3 时方程组有解。【知识模块】

15、 线性代数12 【正确答案】 当 a=1，b=3 时，有 由此即得方程组的用自由未知量表示的通解为令 x3=x4=x5=0，得原方程组的一个特解为 *=(一 2，3，0，0，0) T 在(*)式中令常数项均为零，则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为由此即得导出组的一个基础解系为 1=(1，一 2，1，0，0) T， 2=(1，一 2，0，1，0) T， 3=(5，一 6，0，0，1) T 所以，原方程组的全部解(其中 x=(x1，x 2，x 3，x 4，x 5)T)为x=*+k11+k22+k33(k1，k 2，k 3 为任意常数)【试题解析】 本题综合考查非齐次方程组和齐次方程组解

16、的理论与求解。注意，在非齐次方程组有无穷多解时，首先正确求出用自由未知量表示的通解(即(*)式)是关键，(*)式当然也可看作原方程组的同解方程组，因此当令其中的常数项全为 0时，也就得到了导出组的用自由未知量表示的通解(即(*)式)，当然(*)式也是求导出组的基础解系的基础。另外，求原方程组的用导出组的基础解系表示的通解的另一方法是：将(*)式先写成参数形式的通解，再写成向量形式，即得所求通解为这显然和前边解法所得结果相同，导出组的基础解系也从中得到了。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，得线性方程组若 0 且一 3，则|A|0，方程组

17、有唯一解，此时， 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 若 =0，则|A|=0，且方程组为一齐次方程组，因而有无穷多个解，此时 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 若 =一 3，对方程组的增广矩阵 作初等行变换：可见 r(A)=2 =3，故方程组无解，从而 不能由 1， 2， 3 线性表示。【试题解析】 本题主要考查如何根据系数矩阵与增广矩阵的秩来判定方程组的解的情况。注意本题方程组的系数矩阵是一个方阵，因此可以先考虑系数行列式|A|，当|A|0 时，由 Gramer 法则知方程组有唯一解；而当|A

18、|=0 时，即参数 取某些特定值时，增广矩阵 已是数字矩阵，因而很容易化成阶梯形，从而判定解的情况。本题也可以直接对 施行初等行变换而化成阶梯形。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因 B0，故 B 至少有一个非零列向量。依题意，所给齐次线性方程组有非零解，故其系数行列式|A|必为 0，即 由此可得=1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 B 的每一列都是所给方程组 AX=0 的解，故有 AB=0 由 A0，必有|B|=0否则 |B|0，则 B 可逆，用 B-1 右乘 AB=0 两端，得 A=0，这与 A0 矛盾，故必有|B|=0 。【知识模块】 线性代数1

19、8 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换：【试题解析】 本题仍考查带参数方程组的求解，注意，n 元非齐次线性方程组Ax=b 的解的情况只有以下 3 种 所以，对参数的不同取值，解的情况不尽相同，因此需要对参数的取值讨论。这主要根据A 及 化成的阶梯形阵中非零行的个数，或从|A|(当 A 为方阵时)何时为零、何时不为零进入讨论。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 增广矩阵 为一方阵，其行列式显然为一 4 阶范德蒙行列式的转置：由 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，知 0，从而知矩阵 的秩为 4但系数矩阵 A为 43 矩阵，有 r(A)3(或由 A 左上

20、角的 3 阶子式不等于零知 r(A)=3)，故 r(A)，因此方程组无解。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 当 a1=a3=k，a 2=a4=一 k(k0)时，方程组为【试题解析】 本题综合考查矩阵的秩，范德蒙行列式，非齐次方程组有解的条件、解的性质及解的结构，齐次方程组的基础解系等知识及它们在非齐次方程组求解中的灵活应用。注意本题(2)虽然也可以先通过把 1、 2 代入方程组而定出 k 的值，然后再求方程组的通解，但显然不如解答中的方法简单，这里的关键是根据非齐次方程组的通解等于非齐次方程组任一特解与导出方程组的通解之和，将问题归结为求导出方程组的基础解系(从而求出导出组的通解)。注

21、意，对于 n 元齐次方程组Ax=0，若 r()A)=rn，则 Ax=0 的任意 n 一 r 个线性无关的解都可以作为 Ax=0 的一个基础解系，这是很重要的一个结论并且常常用到。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设有一组数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33= 该方程组的系数行列式 当 a一 4 时，|A|0，方程组有唯一解，可由 1， 2， 3， 4 唯一地线性表出。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 a=一 4 时，对增广矩阵作行的初等变换，有若 3b 一 c1，则秩(A) 秩 ，方程组无解， 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出。

22、【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 当 a=一 4，且 3b 一 c=1 时，秩(A)一秩 =23，方程组有无穷多解， 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，但表示不唯一，此时，解得 k1=t，k 2=一 2t一 b1，k 32b+1(t 为任意常数 )因此有 =t1 一(2t+b+1) 2+(2b+1)3【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (AB) T=BTAT=BA=AB，故 AB 也是实对称矩阵。因 A 正定，有正定阵 S，使 A=S2。于是 S-1(AB)S=S-1SSBS=SBS=STBS 由 B 正定，知 STBS 正定，故 STBS 的特征值全大干 0，故与之相似的矩阵 AB 的特征值全大于 0，因此 AB 正定。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 n 为 A 的最大特征值，X n 为对应的单位特征向量，即有AXn=nXn，X nTXn=1在 XTX=1 条件下，X TAXn，又XnTAXn=XnTnXn=nXnTXn=n，故 XTAX=n=f(Xn)。类似可证XTAX=1=f(X1)，其中 1 为 A 的最小特征值，X 1 为对应的单位特征向量。【知识模块】 线性代数