[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷78及答案与解析.doc
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1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 A 可逆,则 B1 等于( )(A)A 1 P1P2(B) P1A1 P2(C) P1P2A 1(D)P 2A1 P12 设 n 阶非奇异矩阵 A 为 mn 的矩阵,B 为 ms 的矩阵,已知矩阵方程 AX=B 有解,则必有( ) (A)r(A)r(B)(B) r(A)r(B)(C) r(A) 0(D)r(B) 03 设 A 为三阶矩阵,1,1,2 是 A 的三个特征值, 1, 2, 3 分别为对应的三个特征向量,则( ) (A) 1, 2, 3 为矩阵 2EA 的特征
2、向量(B) 1 2 为矩阵 2EA 的特征向量(C) 1+2 为矩阵 2EA 的征征向量(D) 1, 2 为矩阵 2EA 的特征向量, 3 不是矩阵 2EA 的特征向量二、填空题4 已知 A、B 均是三阶矩阵,将 A 中第 3 行的2 倍加到第 2 行得矩阵 A1,将 B中第列和第 2 列对换得到 B1,又 A1B1= 则 AB=_5 已知 A=1,2,3,4,其中 1, 2, 3, 4 为四维向量,方程组 Ax=0 的通解为k(2,1,2,5) T则 4 可由 1, 2, 3 表示为_ 6 设二次型 f=x12+2x1x2+2x2x3,则二次型 f 的正惯性指数为 _三、解答题解答应写出文字
3、说明、证明过程或演算步骤。7 设 A 为 mn 矩阵,B 为 np 矩阵,证明:矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(AB)7 设 A 是 n 阶方阵,E+A 可逆,记 f(A)=(EA)(E+A) 1 ,证明:8 (E+f(A)(E+A)=2E9 f(f(A)=A10 设 问是否存在非单位阵的 B33,使得 AB=A若不存在,说明理由若存在,求出所有满足 AB=A 的 B(BE)11 设 A 为 mn 矩阵,证明:非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是对齐次线性方程组 ATy=0 的任何解向量 u 均有 UTb=u1b1+u2b2+umbm=012 设 A 是三阶
4、实对称矩阵,特征值是 1,0,2,矩阵 A 的属于特征值 1 与2的特征向量分别是(1,2,1) T 与(1,1,a) T,求 Ax=0 的通解13 已知向量组() 1=(1,3,0,5) T, 2=(1,2,1,4) T, 3=(1,1,2,3) T 与向量组( )1=(1,3,6,1) T, 2=(a,0,b,2) T 等价,求 a,b 的值14 已知 问 a,b 为何值时, 不是 1, 2, 3, 4 的线性组合?a,b 为何值时, 有 1, 2, 3, 4 的唯一线性表示式? 并写出该表示式15 已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=1, 0,1,1 T, 2=2,1,0,1T, 3
5、=0,2,1,1 T,添加两个方程 后组成齐次方程组(),求() 的基础解系16 设三元非齐次方程组的系数矩阵 A 的秩为 1,已知 1, 2, 3 是它的三个解向量,且 1+2=1,2,3 T, 2+3=2,1,1 T, 3+1=0,2,0 T求该非齐次方程组的通解16 已知非齐次线性方程组17 求解方程组() ,用其导出组的基础解系表示通解18 当方程组() 中的参数 m,n,t 为何值时,方程组()、()同解19 设 A 为 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,证明:AB 和 BA 有相同的非零特征值19 设 A 是 n 阶矩阵, 1, 2, n 是 n 维列向量,其中 n0,若A1=2,A
6、2=3,A n1 =n,A n=020 证明: 1, 2, n 线性无关21 求 A 的特征值、特征向量22 设 A 为三阶方阵, 为三维列向量,已知向量组 ,A,A 2 线性无关,且A3=3A2A 2,证明:矩阵 B=,A ,A 4可逆22 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1, 2=2, 3=2, 1=(1,1,1) T 是 A 的属于1 的一个特征向量,记 B=A54A 3+E,其中 E 为 3 阶单位矩阵23 验证 1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值和特征向量24 求矩阵 B25 判断 是否可对角化?并说明理由考研数学一(线性代数)模拟试卷 78 答案与解析一、选择
7、题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P1 是单位矩阵交换第、四列后所得的初等矩阵,而 P2 是单位矩阵交换第二、三列后所得的初等矩阵,于是有 B=AP2P1,从而 B1 =(AP2P1)1 =P11 P21 A1 =P1P2A1 故选 C设 E 为 n 阶单位矩阵,E(i ,j) ,E (i(k) ,E(i,j+i(k)分别是将 E 交换第 i,j 两行、第 i 行乘以非零的 k 倍、将第 i 行的 k 倍加到第 j 行上去所得到的初等矩阵,则有 E(i,j) 1=E(i,j),E(i(k)1 = E(i,j+i(k) 1 =E(i,j
8、+i(k)对于列变换的情形有类似的结果【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 r(B)=r(AX)r(A)故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 利用特征值、特征向量的定义可直接导出(A)正确注意 2EA 的特征值为 1,1,0故选 A【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填【试题解析】 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填【试题解析】 由题设有 2 1 2+23+54=0,于是【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填 2【试题解析】 由于二次型 f 的矩阵为 A 的特征方程是故 A 的特征值为 1=1,从而 A 有两个正
9、特征值因此,二次型 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 设矩阵 A,X 和 B 按列分块为 则AX=Ax1,x 2,x p=Ax1,Ax 2,Ax p,故 AX=B 可以写成 AXj=j (j=1,2,p),所以,矩阵方程 AX=B 有解 线性方程组 AXj=j 有解(j=1,2,p) 向量 j 可由 A 的列向量组 1, 2, n 线性表出 向量组1, 2, n 与向量组 1, 2, n, 1, 2, p 等价 r( 1, 2, n)=r(1, 2, n, 1, 2, p) r(A)=r(AB)【知识模块】 线性代数
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