[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷33及答案与解析.doc

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1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 n 维向量组 1， 2， s 线性无关，则向量组 1， 2， s 可能线性相关的是 ( )（A） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量（B） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量（D） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量2 设 则 ( )（A）存在 aij(

2、i，j=1 ，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（B）不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关（C）存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（D）不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关3 已知 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，则 A 中必 ( )（A）没有等于零的 r-1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零（B）有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零（C）有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式（D）任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零4 向量组() 1

3、， 2， s，其秩为 r1，向量组( ) 1， 2， s，其秩为 r2，且i，i=1，2，s 均可由向量组( ) 1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1-1， 2-2， s-s 的秩为 r1-r2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r15 已知 r(A)=r1，且方程组 AX=a 有解，r(B)=r 2，且 BY=B 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r(1， 2， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） r

4、r 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+16 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组 21+3+4， 2-4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 n 阶(n3)矩阵 A= ，若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为 ( )二、填空题8 设 Amn，B nn，C nm，其中 AB=A，BC=O ，r(A)=n，则CA-B =_9 已知向量组 等秩，则 x=_10 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n-1，则线性方程组 Ax=0 的通解是_11 设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元

5、均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a=_12 设 A 是 n 阶矩阵，A=0，A 110，则 A*X=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证：13 A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积；14 存在常数 ，对任意正整数 k，使得 Ak=k-1A15 设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0，证明：A=O 16 向量组 1， 2， t 可由向量组 1， 2， s 线性表出，设表出关系为若1， 2， s 线性无关证明： r( 1， 2， t)=r(C)1

6、7 设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+m-s17 设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：18 r(ATA)=r(A)；19 ATAX=ATb 一定有解19 设 R3 中两个基 1=1，1，0=， 2=0，1，1 T， 3=1，0，1 T； 1=-1，0，0T， 2=1，1，0 T， 3=1，1，1 T20 求 1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵；21 已知 在基 1， 2， 3 下的坐标为1，0，2 T，求 在基 1， 2， 3 下的坐标；22 求在上述两个基下有相同坐标的向量23 求下面线性方程组的解空

7、间的维数： 并问1=9，-1，2，-1，1 T 是否属于该解空间24 设线性方程组 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解25 已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=1， 0，1，1 T， 2=2，1，0，-1T， 3=0，2，1，-1 T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组()，求()的基础解系26 已知线性方程组() 及线性方程组()的基础解系 1=-3，7，2，0 T， 2=-1，-2，0，1 T求方程组(I)和()的公共解26 已知线性方程组27 a，b 为何值时，方程组有解；28 方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；29 方程组有解时，求出方程组的全部解考研数学一（线性

8、代数）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A) ，(B)属初等 (行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D) 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 知向量组 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关因 1， 2， 3 线性相关，故(A)，(B)不成立，因 2， 3， 4 线性无关，故(C)成立，(D)显然不成立【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题

9、解析】 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)，一阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C) ，(D)均不成立，请读者自行说明理由【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r1，则i(i=1， 2，s)均可由 1， 2， r1 线性表出，又 i(=1，2，s) 可由()表出，即可由 1， 2， r1 线性表出，即 1， 2， r1 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组

10、，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r( 1， 2， n，)=r1，r( 1， 2， n，)=r 2+1， 故 r(1， 2， ， n， 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4， 2-4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)r(1， 2， 3， 4， 5)=3方法一 1， 2， 3， 4， 5=1， 2， 3， 4因 r(1， 2， 3， 4)=4，故 r(1， 2， 3， 4， 5)=方法二 易知 1， 2， 3 无关，4

11、=2+3， 5=1+2故 r( 1， 2， 3， 4， 5)=3【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 (-1) n【试题解析】 因 AB=A， A(B-E)=0，r(A)=见故 B-E=O，B=E，且由 BC=O，得C=O，故 CA-B= -E(-1) n【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【试题解析】 由 1， 2， 3= ，知r(1， 2， 3)=2由题设：r( 1， 2， 3)=2因 1， 2， 3=故 x=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 r(A)=

12、n-1 知 AX=0 的基础解系有 n-(n-1)=1 个非零向量组成 A 的各行元素之和均为零，即 a i1+ai2+ain=0，i=1，2，n 也就是 ai1.1+ai2.1+ain.1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 A= ，AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故r(A)=n-1，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 A=0,A 110，r(A)=n-1，r(A *)=1，A *X=0 有 n-1 个线性无关

13、解向量组成基础解系，因 A*A=AE=O，故 A 的列向量是 A*X=0 的解向量，又A110，故 A 的第 2，3，n 列是 A*X=0 的 n-1 个线性无关解向量，设为：2， 3， n，故通解为 k22+k33+knn或者由已知方程组 A*X=0，即是A11x1+A21x2+An1xn=0，故方程组的通解是：【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 将 A 以列分块，则 r(A)=r(1， 2， n)=1 表明列向量组1， 2， n 的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为 i=a1，a 2，a nT(0)，其余列向

14、量均可由 i 线性表出，设为 j=bji(j=1，2，n；j=i 时，取bi=1)，则 A=1， 2， n=b1i，b 2i，b ni=ib1，b 2，b n= b1，b 2，b n【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 记 =i=a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT，则 A=T，A k=(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T 记T=a1b1+a2b2+anbn=，则 Ak=k-1T=k-1A【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 方法一 由于对任何 X 均有 AX=0，取 X=1，0，0 T，由得 a11=a21=am1=0 类似地，分别取 X 为e1=1，

15、0，0 T，e 2=0，1，0，0 T，e n=0，0，1 T 代入方程，可证每个 aij=0，故 A=O 方法二 因对任何 X 均有 AX=0，故有Aei=0，i=1，2，n，合并成分块阵，得 Ae1，Ae 2，Ae n=Ae1，e 2，e n=AE=A=O 方法三 因对任何 X 均有 AX=0，故方程组的基础解系向量个数为 n 又 r(A)+基础解系向量个数 n=n(未知量个数)，故有 r(A)=0，即A=O【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 B= 1， 2， T=1， 2， ， SC=ACr(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)-s，r(A)=s，故

16、r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因(A 的行向量的个数 s)-(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B的行向量个数 m)-(B 的线性无关的行向量的个数 r(B)，即 s-r(A)m-r(B)，得 r(B)r(A)+m-s=r+m-s【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 r(A)=r1，r(A TA)=r2，由于 AX=0 的解都满足(A TA)X=AT(AX)=0，故 AX=0 的基础解系(含 n-r1 个无关解)含于 ATAX=0 的某个基础解系(含 n-r2个无关解)之中，所以 n-r1n-r2，故有

17、r2r1，即 r(A TA)r(A) 又当 ATAX=0 时(X 为实向量)，必有 XTATAX=0，即(AX) TAX=0，设 AX=b1，b 2，b mT，则(AX)T(AX)= ，必有 b1=b2=bm=0，即 AX=0，故方程组 ATAX=0 的解必满足方程组 Ax=0，从而有 n-r(ATA)n-r(A)， r(A)r(A TA) 由， 得证 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A TAX=ATb 有解 r(ATA)=r(ATAA Tb) 由(1)知 r(A)=r(AT)=r(ATA)，将 AT，A TA=B 以列分块，且 B=ATA 的每个列向量均可由

18、AT 的列向量线性表出，故 AT 和 B=ATA 的列向量组是等价向量组，A Tb 是 AT 的列向量组的某个线性组合，从而 r(AT)=r(ATA Tb)=r(ATAA Tb)，故 r(A TA)=r(AT)=r(ATA Tb)=r(ATAA Tb)，故(A TA)X=ATb 有解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 1， 2， 3=1， 2， 3C，则 C=1， 2， 3-11， 2， 3=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 =1， 2， 3【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 为所求向量，则方法一解得两个基下有相同坐标的向量的坐标是 x 1

19、，x 2，x 3T=k1，0，1 T，故两个基下有相同坐标的向量是【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因系数矩阵r(A)=2，n=5，故解空间的维数是 3 1=-9，-1， 2，-1，1 T 满足方程组，故 1 属于该解空间【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组故当 -2且 2时，有唯一零解； =2 时，有无穷多解，其解为 k 11，-1，0，0T+k21，0，-1，0 T+k3-1，0，0，-1 T当 =-2时，方程为有通解 k1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方程组()的通解为 代入添加的两个方程，得 得解： 1=2，-3，0 T，

20、 2=0，1，-1T，故方程组() 的基础解系为 1=21-32=-4，-3，2，5 T， 2=2-3=2，-1，-1，0T【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 方程组()的通解为 k 11+k22=k1-3，7，2，0 T+k2-1，-2，0，1T=-3k1-k2，7k 1-2k2，2k 1，k 2T 其中 k1，k 2 是任意常数，将该通解代入方程组()得： 3(-3k 1-k2)-(7k1-2k2)+8(2k1)+k2=-16k1+16k1-3k2+3k2=0， (-3k 1-k2)+3(7k1-2k2)-9(2k1)+7k2=-21k1+21k1-7k2+7k2=0， 即方程组() 的通解均满足方程组 ()，故( )的通解- k 1-3，7，2，0 T+k2-1，-2，0，1 T 即是方程组 () ，()的公共解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 Ab= a=1，b=3 时，r(A)=r(A b)，方程组有解【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 导出组基础解系为： 1=1，-2，1，0，0T， 2=1，2，0，1，0 T， 3=5，-6，0，0，1 T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 方程组通解：非齐次特解为 =-2，3，0，0，0 T，故通解为k11+k22+k33+【知识模块】 线性代数