[考研类试卷]考研数学二(矩阵)模拟试卷25及答案与解析.doc
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1、考研数学二(矩阵)模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 两个 4 阶矩阵满足 A2=B2,则(A)A=B(B) A=-B(C) A=B 或 A=-B(D)A=B或A=-B2 设 A 是 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B,将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列上得 C 则 C=( )(A)P -1AP(B) PAP-1(C) PTAP(D)PAP T3 设 A 为 3 阶矩阵,P=( 1, 2, 3)为 3 阶可逆矩阵,Q=( 1+2, 2, 3)已知PTAP= 则 QTAQ=( )4 设 A 是 3 阶可逆矩阵
2、,交换 A 的 1,2 行得 B,则(A)交换 A*的 1,2 行得到 B*(B)交换 A*的 1,2 列得到 B*(C)交换 A*的 1,2 行得到-B *(D)交换 A*的 1,2 列得到-B *5 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT,a 11,a 12,a 13 为 3 个相等的正数,则它们为(A)(B) 3(C) 13(D)二、填空题6 已知 1, 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量,特征值分别为-1 和 1,又 3 维向量 3满足 A3=2+3.记 P=(1, 2, 3),求 P-1AP=_.7 已知 1, 2 为 2 维列向量,矩阵 A=(21+2, 1-2),B=(1
3、, 2)若A=6 ,B=_8 1, 2, 3 是线性无关的 3 维向量组,3 阶矩阵 A 满足 A1=1+22,A 2=2+23,A 3=3+21 A=_.9 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 3,向量 1=(-1,2,-1) T, 2=(0,-1,1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 (1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵;并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 Ak 与多项式f(A)也都是上三角矩阵;并且 Ak 的对角线元素为 a11
4、k,a 22k,a 33k;f(A)的对角线元素为 f(a11),f(a 22), ,f(a nn) (a 11,a 22,a nn 是 A 的对角线元素)11 n 维向量 =(a,0,0,a) T,a0,A=E- T,A -1=E+a-1T,求 a12 A=E-T,其中 , 都是 n 维非零列向量,已知 A2=3E-2A,求 T13 设 A=T,其中 和 都是 n 维列向量,证明对正整数 k, A k=(T)k-1A=(tr(A)k-1A (tr(A) 是 A 的对角线上元素之和,称为 A 的迹数)14 T= ,求 T15 设 A= ,求 An16 求17 设 A= (1)证明当 n1 时
5、An=An-2+A2-E(2) 求 An18 求19 3 阶矩阵 A,B 满足 ABA*=2BA*+E,其中 A= ,求B20 设 A 为 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是线性无关的 3 维列向量组,满足 A1=1+2+3,A 2=22+3,A 3=22+33 求作矩阵 B,使得 A(1, 2, 3)=(1, 2, 3)B21 A 是 3 阶矩阵, 是 3 维列向量,使得 P=(,A ,A 2)可逆,并且 A3=3A-2A2 (1)求 B,使得 A=PBP-1 (2)求A+E 22 设 3 阶矩阵 A=(1, 2, 3),A=1 ,B=( 1+2+3, 1+22+33, 1+42+93),求B
6、 23 已知24 设 A,B 和 C 都是 n 阶矩阵,其中 A,B 可逆,求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵25 设 3 阶矩阵 A= A-1XA=XA+2A,求 X26 矩阵 A= ,求解矩阵方程 2A=XA-4X27 4 阶矩阵 A,B 满足 ABA-1=BA-1+3E,已知 A*= ,求 B28 已知 A= ,XA+2B=AB+2X,求 X201729 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2,向量 1=(-1,1,1) T, 2=(2,-1,1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A30 设 A 是 3 阶矩阵,交换 A 的 1,2 列得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列
7、上,得C求 Q,使得 C=AQ31 设 A,B 和 C 都是 n 阶矩阵,其中 A,B 可逆,求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵32 设 A 是 n 阶非零实矩阵,满足 A*=AT证明A 033 设 A=(1, 2, 3),B=( 1, 2, 3)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵证明 C 可逆的充分必要条件是 A,B 都可逆34 设 A 是 n 阶实反对称矩阵,证明 E+A 可逆35 设 A,B 都是 n 阶矩阵,E-AB 可逆证明 E-BA 也可逆,并且(E-BA) -1=E+B(E-AB)-1A考研数学二(矩阵)模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目
8、要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对 A2=B2 两边取行列式,得A 2=B 2 A 2-B 2=0 (A-B)(A+B)=0 A -B=0 或A+B=0即A=B或A =-B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 根据初等矩阵的有关性质,则 B=PA,C=BP -1,得 C=PA-1【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 显然关键是 Q 和 P 的关系由矩阵分解,有 Q= ,则QT= PT于是 QTAQ= PTAP =QTAQ=【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 B= 因为 A 是可逆矩阵,所以 B 也可逆,则B*=B -1B= A=-A,B *=
9、A* 于是 B *=-A*得结论:交换 A*的 1,2 列得到-B *【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 -2【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 9【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (1)方法一 设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵,C=AB,要说明 C 的对角线下的元素都为 0,即 ij 时,c ij=0c ij=A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵,
10、 A 的第 i 个行向量的前面 i-1 个分量都是 0,B 的第 j 个列向量的后面 n-j 个分量都是 0,而 i-1+n-j=n+(i-j-1)n,因此 cij=0 c ii=ai1b1i+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1+bi+1i+ainbni =aiibii(ai1=aii-1=0,b i+1i=bni=0) 方法二 设 A=(1, 2, n),B=( 1, 2, n),C=(1, 2, n)要证明每个 i 下面的 n-i 个分量都是 0 由(2 1),i=Ai而 i 的下面 n-i 个分量都是 0,于是用(2 2) i=b1i1+b2i2+biii 则因为 1, 2,
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