2010-2011学年北京师大附中高二下学期期中考试理科数学.doc

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1、2010-2011学年北京师大附中高二下学期期中考试理科数学 选择题 下列求导数运算正确的是（ ） A B C D 答案： B 从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M（ x， y），则点 M取自阴影部分的概率为 答案： 试题分析：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型， 由图可知基本事件空间所对应的几何度量 S（ ） =1， 先将 y2=x化成： ， 联立的： 因为 x0，所以解得： x=0或 x=1， 所以曲线 y=x2与 所围成的图形的面积 S，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量： S（ A） = = 则点 M取自阴影部分的概率为 P（ A） = 考点：

2、几何概型；定积分在求面积中的应用 点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何 椭 叮 疾樵怂闱蠼饽芰 疾槭 谓岷纤枷搿 橛胱 枷耄 粲诨 /p 要做一个圆锥形漏斗，母线长为 20cm，要使其体积最大，则其高应为（ ） A B C D 答案： A 设 ，则集合 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D无数个 答案： C 定积分 的值为（ ） A B C D 答案： C 已知函数 ，其导函数 的图像大致为（ ）答案： B 极坐标方程 化为直角坐标方程是（ ） A B C D 答案： A 设曲线 在点（ 3， 2）处的切线与直线 ax+y+1=0垂直，则 a=（ ） A 2 B C D 2 答

3、案： D y= y= x=3 y= 即切线斜率为 切线与直线 ax+y+1=0垂直 直线 ax+y+1=0的斜率为 2 a=2即 a=2 故选 D 填空题 已知数列 2010， 2011， 1， -2010， -2011， ，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2011项之和 等于_。 答案： 如图，在圆内接四边形 中，对角线 ， 相交于点 。已知， ， ，则 _，的长是 _。 答案： 记等差数列 的前 项和 ，利用倒序求和的方法得： ；类似的，记等比数列 的前 项的积为 ，且 ，试类比等差数列求和的方法，可将 表示成首项 ，末项 与项数 的一个关系式，即

4、公式_。 答案： 极坐标系中，直线 的方程是 ，则点 到直线 的距离为_。 答案： 函数 的单调增区间为 _，单调减区间为_。 答案： 复数 ， ，则 等于 _。 答案： 解答题 已知 ，求证： 答案：略 求证： 答案：略 已知函数 ，其中实数 。 （ 1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2）若 在 处取得极值，试讨论 的单调性。 答案：（ 1） （ 2）增区间： 和 减区间： 图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，以此类推，竖直线段有 条的为第 层，每一层的竖直通道从左到右分别称为第 1通道、第 2通道， ，现在有一个小球从入

5、口向下（只能向下，不能向上）运动，小球在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的。小球到达第 层第 通道的不同路径数称为 ，如小球到达第二层第 1通道和第二层第 2通道的路径都只有一种情况，因此， ， 。 求：（ 1） ， ， ； （ 2） ，以及小球到达第 5层第 2通道的概率； （ 3）猜想 ，并证明； （ 4）猜想 （不用证明）。 答案：（ 1） 1， 2， 1（ 2） 4， 1/4（ 3） （ 4） 已知函数 （ 1）求函数 的单调区间和最大值； （ 2）若 恒成立，求 的取值范围； （ 3）证明： 在 上恒成立； 答案：（ 1） 递增， 增， 减，最大值 （ 2） （ 3）略 附加题（ 10分） 设 是正实数，且 。 证明： 答案：略