2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷（文史类）及答案解析.pdf

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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 本试卷满分150 分，考试时间120分钟 第卷 考生注意： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条 形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，

2、那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 AB， 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 n次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率 () (1 ) ( 01,2 ) kk nk nn Pk CP P k n =L， 以 R为半径的球体积： 3 4 3 VR= 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A 22 (2)1xy+ = B 22 (2)1xy

3、+ += C 22 (1)(3)1xy+= D 22 (3)1xy+ = 【答案】A 解法1 （直接法） ： 设圆心坐标为 (0, )b ， 则由题意知 2 (1)(2)1ob +=， 解得 2b= ， 故圆的方程为 22 (2)1xy+ =。 解法2 （数形结合法） ：由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为（0，2） ，故 圆的方程为 22 (2)1xy+ = 解法3 （验证法） ：将点（1，2）代入四个选择支，排除 B，D，又由于圆心在 y 轴上， 排除 C。 2命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B “

4、若一个数的平方是正数，则它是负数” C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【答案】B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若 一个数的平方是正数，则它是负数” 。 3 6 (2)x+ 的展开式中 3 x 的系数是（ ） A20 B40 C80 D160 【答案】D 解法 1：设含 3 x 的为第 1r+ ，则 1Tr+ 6 2 rrr n Cx = ，令 63r = ，得 3r = ，故展开 式中 3 x 的系数为 33 6 2 160C = 。 解法 2：根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项

5、中所含的 x与2分得 的次数和为 6，则根据条件满足条件 3 x 的项按 3 与3 分配即可，则展开式中 3 x 的系数 为 33 6 2 160C = 。 4已知向量 (1,1), (2, ),x=ab 若 a+b与 4b 2a平行，则实数 x的值是（ ） A-2 B0 C1 D2 【答案】D 解法 1：因为 (1,1), (2, )abx=，所以 (3, 1),4 2 (6,4 2),ab x b a x+ =+ = 由于 ab+ 与 42ba 平行，得 6( 1) 3(4 2) 0 xx+ =，解得 2x= 。 解法 2：因为 ab+ 与 42ba 平行，则存在常数 ，使 (4 2 )a

6、b b a+ =，即 (2 1) (4 1)ab +=，根据向量共线的条件知，向量 a与 b 共线，故 2x= 。 5 设 n a 是公差不为 0 的等差数列， 1 2a = 且 136 ,aaa成等比数列， 则 n a 的前 n项和 n S = （ ） A 2 7 44 nn + B 2 5 33 nn + C 2 3 24 nn + D 2 nn+ 【答案】A 解析：设数列 n a 的公差为 d ，则根据题意得 (2 2 )2 2 (2 5 )dd+ = + ，解得 1 2 d = 或 0d = （舍去） ，所以数列 n a 的前 n项和 2 (1)1 7 2 2244 n nn n n

7、Sn =+ =+ 6下列关系式中正确的是（ ） A 00 0 sin11 cos10 sin168 B 00 0 sin168 sin11 cos10 C 000 sin11 sin168 cos10 D 000 sin168 cos10 sin11 【答案】C 解析因为 sin160 sin(180 12 ) sin12 ,cos10 cos(90 80 ) sin80 = =， 由于 正弦函数 siny x= 在区间 0 ,90 上为递增函数，因此 sin11 sin12 sin80 ，即 sin11 sin160 cos10 ，则 11 2 ab ab + 的最小值是（ ） A2 B 2

8、2 C4 D5 【答案】C 解析因为 11 1 1 2222( )4ab ab ab a b ab ab + + = + 当且仅当 11 ab = ，且 1 ab ab = ，即 ab= 时，取“=”号。 812 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队） ，则 3 个强队恰 好被分在同一组的概率为（ ） A 1 55 B 3 55 C 1 4 D 1 3 【答案】B 解析：因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 444 12 8 4 3 3 CCC A 种，而 3 个强队恰好被分在同一组 分法有 31 44 3984 2 2 CCCC A ，故各强队恰好

9、被分在同一组的概率为 314424 443 9984 212843 3 CCCCAC CCA= 55 。 9在正四棱柱 111 1 ABCD ABC D 中，顶点 1 B 到对角线 1 BD 和到平面 11 ABCD的距离分别 为 h和 d ，则下列命题中正确的是（ ） A若侧棱的长小于底面的变长，则 h d 的取值范围为 (0,1) B若侧棱的长小于底面的变长，则 h d 的取值范围为 223 (, ) 23 C若侧棱的长大于底面的变长，则 h d 的取值范围为 23 (,2) 3 D若侧棱的长大于底面的变长，则 h d 的取值范围为 23 (,) 3 + 【答案】C 解析：设底面边长为 1

10、，侧棱长为 (0) ，过 1 B 作 1111 ,B HBDBGAB 。在 11 RtBBD 中， 2 11 1 2, 2BD BD = =+，由三角形面积关系得 11 1 1 2 1 2 2 BD BB hBH BD = = + 设在正四棱柱中， 由于 1 ,BCABBCB ， 所以 BC 平面 11 AAB B，于是 1 BCBG ，所以 1 BG 平面 11 ABCD ，故 1 BG 为点到平面 11 ABCD 的距离，在 11 RtABB 中，又由三角形面积关系得 11 1 1 2 1 1 AB BB dBG AB = = + 于是 2 2 2 21 1 21 2 2 h d + =

11、+ + ，于 是当 1 ，所以 2 2 21 23, 1 1 32 + ， 曲线 1 C 与 2 C 至多只有一个交点， 则 v的最小值为 （ ） A 2 B4 C6 D8 【答案】B 解析：根据题意曲线 C 的解析式为 3 ()3(),y xu xu v= 则方程 33 ()3() 3x uxuvxx= ，即 23 3( 3 )0ux u u v + ，即 3 1 3 4 vuu + 对任意 0u 恒成立，于是 3 1 3 4 vuu + 的最大值，令 3 1 () 3( 0), 4 gu u uu= + 则 2 33 ( ) 3 ( 2)( 2) 44 gu u u u=+=+由此知 函数

12、 ()gu在（0，2）上为增函数，在 (2, )+ 上为减函数，所以当 2u = 时， 函数 ()gu取最大值，即为 4，于是 4v 。 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5分，共25 分把答案写在答题卡相应位置上 11 若 Unn= 是小于 9 的正整数 ， A nUn= 是奇数 ， B nUn= 是 3 的倍数 ， 则 () U AB=U 【答案】 2,4,8 解析： 1,2,3,4,5,6,7,8U = ，则 1,3,5,7, 3,6,AB= = 所以 1,3,5,6,7AB=U ，所以 ()2,48 U AB=U 12 记 3 () log( 1)fx x=+的反函数为 1 ()y

13、 fx = ，则方程 1 () 8fx = 的解 x = 【答案】2 解法1： 由 3 () log( 1)yfx x= +， 得 1 3 y x = ， 即 1 () 3 1f xx = ， 于是由 318x=， 解得 2x = 解法 2：因为 1( ) 8fx=，所以 3 (8) log (8 1) 2xf= =+= 135 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答） 【答案】72 解析：可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有 3 3 A 种，第二步将甲 乙二人插入前人形成的四个空隙中，有 2 4 A 种，则甲、乙两不相邻的排法有 32 34 AA 72=

14、种。 14从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 124 121 123 127 则该样本标准差 s = （克） （用数字作答） 【答案】2 解析：因为样本平均数 1 (125 124 121 123 127) 124 5 x=+=，则样本方差 2 22222 1 (1 0 3 1 3 ) 4, 5 s =+=所以 2s = 15已知椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab +=的左、右焦点分别为 12 (,0),(,0)Fc Fc ，若椭圆上存 在一点 P使 12 21 sin sin ac PFF PF F = ，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】 ()

15、 21,1 解法 1：因为在 12 PFF 中，由正弦定理得 21 12 21 sin sin PF PF PFF PF F = 则由已知，得 12 11 ac PF PF = ，即 12 aPF cPF= 设点 00 (,)x y 由焦点半径公式，得 1020 ,PF a ex PF a ex= += 则 00 ()()aa ex ca ex+= 记得 0 ()(1) ()(1) ac a ae x ec a ee = + 由椭圆的几何性质知 0 (1) (1) ae x aa ee + 则 ， 整理得 2 210,ee+解得 21 21 (0,1)ee e 或，又 ， 故椭圆的离心率 (2

16、1,1)e 解法 2 ：由解析 1 知 12 c PF PF a = 由椭圆的定义知 2 12 22 2 2 22 ca PF PF a PF PF a PF aca += += = + 则即， 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 ,20, a PF ac ac c ca ca + + 则既 所以 2 210,ee+以下同解析 1. 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分 ） 设函数 22 () (sin cos ) 2cos ( 0)fx x x x =+ + 的最小正周期为 2

17、3 （）求 的最小正周期 （）若函数 ()y gx= 的图像是由 ()y fx= 的图像向右平移 2 个单位长度得到，求 ()ygx= 的单调增区间 解： （） 22 () (sin cos ) 2cosf xxx x =+ + 22 sin cos sin2 1 2cos2x xx x =+ sin2 cos2 2 2sin(2 ) 2 4 xx x =+= + 依题意得 22 23 = ，故 的最小正周期为 3 2 . （）依题意得: 5 ( ) 2sin 3( ) 2 2sin(3 ) 2 24 4 gx x x =+=+ 由 5 232() 24 2 kxkkZ + 解得 227 ()

18、 34 312 kxk kZ + + 故 ()y gx= 的单调增区间为: 227 , () 34312 kk kZ + 17 （本小题满分 13 分， （）问 7分， （）问6 分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为 5 6 和 4 5 ，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中： （）至少有 1 株成活的概率； （）两种大树各成活 1 株的概率 解: 设 k A 表示第 k 株甲种大树成活, 1, 2k = ; 设 l B 表示第 l 株乙种大树成活, 1, 2l = 则 1212 ,AABB独立,且 12 12 54 () ()

19、 ,() () 65 PA PA PB PB= = （）至少有 1 株成活的概率为: 22 1212 1 2 1 2 1 1 899 1 ( )1 ()()()()1()() 6 5 900 PA A B B PA PA PB PB= = = （）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为: 11 22 51 41 10 8 4 6 6 5 5 36 25 45 PC C= 18 （本小题满分 13 分， （）问 7分， （）问6 分） 如题（18）图，在五面体 ABCDEF 中， AB DC ， 2 BAD = ， 2CD AD=，四边形 ABFE 为平行四边形，

20、FA平面 ABCD， 3, 7FC ED=求： （）直线 AB到平面 EFCD的距离； （）二面角 FADE的平面角的正切值 解法一: （） ,AB DC DC Qnull 平面 EFCD, AB 到面 EFCD的距离 等于点 A 到面 EFCD的距离，过点 A 作 AG FD 于G，因 2 BAD = AB DC ，故 CD AD ；又 Q FA平面 ABCD，由三垂线定理可知， CD FD ，故 CD FAD面 ， 知 CD AG ，所以 AG为所求直线 AB 到面 EFCD的距离。 在 Rt ABC 中， 22 94 5FD FC CD= 由 FA 平面 ABCD ，得 FA AD，从而

21、在 RtFAD 中， 22 541FA FD AD= 225 5 5 FA AD AG FD =。即直线 AB到平面 EFCD的距离为 25 5 。 （）由己知， FA平面 ABCD，得 FAAD，又由 2 BAD = ，知 ADAB ， 故 AD 平面ABFE DA AE ，所以， FAE 为二面角 FADE 的平面角，记为 . 在 RtAED 中, 22 74 3AE ED AD=,由 ABCDnull 得, FE BAnull ,从 而 2 AFE = 在 Rt AEF 中, 22 31 2FE AE AF= ,故 tan 2 FE FA = 所以二面角 FADE 的平面角的正切值为 2

22、 . 解法二: （）如图以 A 点为坐标原点, ,ABADAF uuur uuur uuur 的 方向为 ,x yz的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设 00 (0,0, ) ( 0)Fzz 可得 0 (2,2, )FCz= uuur , 由 |3FC = uuur .即 222 0 3z+=,解得 (0,0,1)F Q AB DC ， DC 面 EFCD,所以直线 AB 到面 EFCD的距离等于点 A 到面 EFCD的距离。设 A 点在平面 EFCD 上的射影点为 111 (,)Gx y z ,则 111 (,)AGxyz= uuur 因

23、 0AG DF= uuur uuur 且 0AG CD= uuur uuur ,而 (0, 2,1)DF = uuur ( 2,0,0)CD = uuur ,此即 11 1 20 20 yz x += = 解得 1 0 x = 知G点在 yoz面上,故G 点在FD 上. GF DF uuur uuur null , 111 (, 1)GF x y z= + uuur 故有 1 1 1 2 y z=+ 联立,解得, 24 (0, , ) 55 G |AG uuur 为直线 AB 到面 EFCD的距离. 而 24 (0, , ) 55 AG = uuur 所以 25 | 5 AG = uuur A

24、 B C D E F x y z G （）因四边形 ABFE 为平行四边形,则可设 00 (,0,1)( 0)Ex x ,故 ()gx在 (,1) 上为增函数 当 1 (1, ) 3 x 时, () 0gx ,故 ()gx在 1 (,) 3 + 上为增函数 20 （本小题满分 12 分， （）问 5分， （）问7 分） 已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为 5 5 x= ，离心 率 5e= （）求该双曲线的方程； （）如题（20）图，点 A 的坐标为 (5,0) ， B 是圆 22 (5)1xy+ =上的点，点 M 在双曲线右支上，求 MAMB+ 的 最小值，并求此时 M 点的坐标 解

25、： （）由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线的方程为 22 22 1( 0, 0) xy ab ab = ，设 22 cab= + ，由准线方程为 5 5 x= 得 2 5 5 a c = ，由 5e= 得 5 c a = 解得 1, 5ac= 从而 2b= ， 该双曲线的方程为 2 2 1 4 y x =； （）设点 D 的坐标为 (5,0)，则点 A、D 为双曲线的焦点， |22MA MD a= 所以 |2|2|MAMB MBMD BD+=+ + ， Q B是圆 22 (5)1xy+ =上 的点，其圆心为 (0, 5)C ，半径为 1，故 |1101BD CD =+ 从 而

26、|2|101MA MB BD+ + 当 ,M B在线段 CD上时取等号，此时 |MAMB+ 的最小值为 10 1+ Q直线 CD 的方程为 5yx= + ，因点 M 在双曲线右支上，故 0 x 由方程组 22 44 5 xy yx = = + 解得 542 4542 , 33 xy + = 所以 M 点的坐标为 5424542 (,) 33 + ； 21 （本小题满分 12 分， （）问 3分， （）问4 分， （）问 5 分） 已知 1 12 2 1 1, 4, 4 , , n nnnn n a aa a aab nN a + + = = + = （）求 123 ,bbb的值； （）设 1

27、, nnnn cbbS + = 为数列 n c 的前 n项和，求证： 17 n Sn ； （）求证： 2 2 11 64 17 nn n bb 于是 112 1 , 17, 4 1 17 ( 2) nnn n cbb cbb b n + = =+ 所以 12 17 nn Scc c n=+L （）当 1n= 时，结论 21 117 464 bb= 成立 当 2n 时，有 1 1 1 11 11 1 |4 4 | | | | | 17 nn nn nn nnn bb bb bb bbb + =+ = 12 21 212 11 | | (2) 17 17 64 17 nn nn bb bb n Lnull 所以 2121221nn n n n n n n bb b bb b bb + +L 1 122 * 2 11 ()(1 ) 11 1 1 1 1 1 17 17 () () () ( ) 1 4 17 17 17 4 64 17 1 17 n n nn n n nN + = Lnull null