2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文史类)(北京卷)及答案解析.pdf
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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类) (北京卷) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第 I 卷1 至2 页,第卷 3 至 9 页,共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 (选择题 共40 分) 注意事项: 1答第 I 卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字 母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8小题,每小题5 分,共 40分。在每小题列出的
2、四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1设集合 2 1 | 2, 1 2 Ax x Bxx= = ,则 AB=U ( ) A 1 2xx B 1 | 1 2 xx C | 2xx D |1 2xx 【答案】 A 【解析】 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查. 1 | 2, 2 Ax x= 2 1|11Bxx x x= = , 1 2AB x x= ,则 cos = . 【答案】 3 5 【解析】 本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 由已知, 在第三象限, 2 2 43 cos 1 sin 1 55 = = = ,
3、 应填 3 5 . 10若数列 n a 满足: 11 1, 2 ( ) nn aa anN + =,则 5 a = ;前 8 项的和 8 S = .(用数字作答) 【答案】 16 255 .w【解析】 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. m 属于基础知识、基本运算的考 查. 121 3243 54 1, 2 2, 2 4, 2 8, 2 16aaaaaaaaa= =, 易知 8 8 21 255 21 S = ,应填 255. 11若实数 ,x y满足 20, 4, 5, xy x x + 则 sxy= + 的最大值为 . 【答案】 9 【解析】 .s.5.u本题主要考查线性规划方
4、面的基础知. 属于基 础知识、基本运算的考查. 如图,当 4, 5xy=时, 459sxy=+=+=为最大值. 故应填9. 12已知函数 3, 1, () ,1, x x fx xx = 若 () 2fx= ,则 x= . .w.w.k.s.5【答案】 3 log 2 .w【解析】 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x的值. 属于基础知识、基本运算 的考查. 由 3 1 log 2 32 x x x = = , 1 22 x xx = 无解,故应填 3 log 2. 13椭圆 22 1 92 xy +=的焦点为 12 ,FF,点 P 在椭圆上,若 1 |4PF = ,则 2
5、|PF = ; 12 FPF 的大小为 . 【答案】 2, 120 .w【解析】 u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. 22 9, 3ab=, 22 92 7cab=, 12 27FF = , 又 112 4, 2 6PF PF PF a=+=, 2 2PF = , 又由余弦定理,得 ( ) 2 22 12 24 27 1 cos 224 2 FPF + = = , 12 120FPF =,故应填 2, 120 . 14设A 是整数集的一个非空子集,对于 kA ,如果 1kA 且 1kA+ ,那么称 k 是A 的一个“孤
6、立元” ,给定 1,2,3,4,5,6,7,8,S = ,由 S 的3个元素构成的所有集合中, 不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】 6 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与 k 相邻的元素,因而无“孤立元”是指 在集合中有与 k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类: 因此,符合题意的集合是: 1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,7 , 6,7,8 共6 个. 故应填6. 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分。解答应写出文字说
7、明,演算步骤或证明过程。 15 (本小题共 12 分) 已知函数 () 2sin( )cosf xxx= . ()求 ()f x 的最小正周期; ()求 ()f x 在区间 , 62 上的最大值和最小值. 【解析】 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识,主要考查基本运算能力 () () ( )2sin cos 2sin cos sin 2f xxxxxx= =, 函数 ()f x 的最小正周期为 . ()由 2 623 xx , 3 sin 2 1 2 x , ()f x 在区间 , 62 上的最大值为 1,最小值为 3 2 . 16 (本
8、小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ABCD 的底面是正方形, PD ABCD底面 ,点E 在棱PB上. ()求证:平面 AEC PDB平面 ; ()当 2PD AB= 且 E 为PB 的中点时,求 AE与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法1】 本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、 直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能 力和推理论证能力 ()四边形 ABCD 是正方形, ACBD, PD ABCD底面 , PDAC, AC平面PDB, 平面 AEC PDB平面 . ()设 ACBD=O,连接 OE, 由()知 AC平面 PDB于 O, AEO 为AE 与平面PD
9、B所的角, O,E 分别为 DB、PB 的中点, OE/PD, 1 2 OE PD= , 又 PD ABCD底面 , OE底面ABCD,OEAO, 在RtAOE中, 12 22 OE PD AB AO= =, 45AEO =,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 【解法2】 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz , 设 ,AB a PD h=则 ()( ) ( ) ( )( ),0,0 , , ,0 , 0, ,0 , 0,0,0 , 0,0,A aBaCaD Ph, () ( ) ( ) ( ), ,0 , 0,0, , , ,0AC a a DP h DB a
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