1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类） （北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第 I 卷1 至2 页，第卷 3 至 9 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 （选择题 共40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字 母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8小题，每小题5 分，共 40分。在每小题列出的
2、四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1设集合 2 1 | 2, 1 2 Ax x Bxx= = ，则 AB=U （ ） A 1 2xx B 1 | 1 2 xx C | 2xx D |1 2xx 【答案】 A 【解析】 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查. 1 | 2, 2 Ax x= 2 1|11Bxx x x= = ， 1 2AB x x= ，则 cos = . 【答案】 3 5 【解析】 本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 由已知， 在第三象限， 2 2 43 cos 1 sin 1 55 = = = ，
3、 应填 3 5 . 10若数列 n a 满足： 11 1, 2 ( ) nn aa anN + =，则 5 a = ；前 8 项的和 8 S = .（用数字作答） 【答案】 16 255 .w【解析】 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. m 属于基础知识、基本运算的考 查. 121 3243 54 1, 2 2, 2 4, 2 8, 2 16aaaaaaaaa= =， 易知 8 8 21 255 21 S = ，应填 255. 11若实数 ,x y满足 20, 4, 5, xy x x + 则 sxy= + 的最大值为 . 【答案】 9 【解析】 .s.5.u本题主要考查线性规划方
4、面的基础知. 属于基 础知识、基本运算的考查. 如图，当 4, 5xy=时， 459sxy=+=+=为最大值. 故应填9. 12已知函数 3, 1, () ,1, x x fx xx = 若 () 2fx= ，则 x= . .w.w.k.s.5【答案】 3 log 2 .w【解析】 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x的值. 属于基础知识、基本运算 的考查. 由 3 1 log 2 32 x x x = = ， 1 22 x xx = 无解，故应填 3 log 2. 13椭圆 22 1 92 xy +=的焦点为 12 ,FF，点 P 在椭圆上，若 1 |4PF = ，则 2
5、|PF = ； 12 FPF 的大小为 . 【答案】 2, 120 .w【解析】 u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. 22 9, 3ab=， 22 92 7cab=， 12 27FF = ， 又 112 4, 2 6PF PF PF a=+=， 2 2PF = ， 又由余弦定理，得 ( ) 2 22 12 24 27 1 cos 224 2 FPF + = = ， 12 120FPF =，故应填 2, 120 . 14设A 是整数集的一个非空子集，对于 kA ，如果 1kA 且 1kA+ ，那么称 k 是A 的一个“孤
6、立元” ，给定 1,2,3,4,5,6,7,8,S = ，由 S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】 6 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与 k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指 在集合中有与 k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 因此，符合题意的集合是： 1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,7 , 6,7,8 共6 个. 故应填6. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说
7、明，演算步骤或证明过程。 15 （本小题共 12 分） 已知函数 () 2sin( )cosf xxx= . （）求 ()f x 的最小正周期； （）求 ()f x 在区间 , 62 上的最大值和最小值. 【解析】 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识，主要考查基本运算能力 （） () ( )2sin cos 2sin cos sin 2f xxxxxx= =， 函数 ()f x 的最小正周期为 . （）由 2 623 xx ， 3 sin 2 1 2 x ， ()f x 在区间 , 62 上的最大值为 1，最小值为 3 2 . 16 （本
8、小题共 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD ABCD底面 ，点E 在棱PB上. （）求证：平面 AEC PDB平面 ； （）当 2PD AB= 且 E 为PB 的中点时，求 AE与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法1】 本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、 直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能 力和推理论证能力 （）四边形 ABCD 是正方形， ACBD， PD ABCD底面 ， PDAC， AC平面PDB， 平面 AEC PDB平面 . （）设 ACBD=O，连接 OE， 由（）知 AC平面 PDB于 O， AEO 为AE 与平面PD
9、B所的角， O，E 分别为 DB、PB 的中点， OE/PD， 1 2 OE PD= ， 又 PD ABCD底面 ， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， 12 22 OE PD AB AO= =， 45AEO =，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 【解法2】 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz ， 设 ,AB a PD h=则 ()( ) ( ) ( )( ),0,0 , , ,0 , 0, ,0 , 0,0,0 , 0,0,A aBaCaD Ph， （） ( ) ( ) ( ), ,0 , 0,0, , , ,0AC a a DP h DB a
10、a= = = uuur uuur uuur ， 0, 0AC DP AC DB= = uuur uuur uuur uuur ， ACDP，ACBD， AC平面PDB， 平面 AEC PDB平面 . （）当 2PD AB= 且 E 为PB 的中点时， () 11 2 0,0, 2 , , , 22 2 PaEaaa ， 设 AC BD O=，则 11 (,0) 22 Oaa ，连接 OE， 由（）知 AC平面 PDB于 O， AEO 为AE 与平面PDB所成的角， 11 2 2 , , 0, 22 2 2 EA a a a EO a = = uuur uuur ， 2 cos 2 EA EO
11、AEO EA EO = = uuur uuur uuur uuur ， 45AEO =，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 17 （本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红 灯的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运 用概率知识解决实际问题的能力. （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次
12、遇到红灯为事件 A，因为事件 A等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 () 1114 11 33327 PA = . （）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学 生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 ( )0,1,2 k Bk= . 则由题意，得 () 4 0 216 381 PB = ， () () 13 22 12 14 24 1 2 32 1 2 24 , 3 3 81 3 3 81 PB C PB C = . 由于事件 B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ， 事件 B 的概
13、率为 () ( ) () ( ) 012 8 9 PB PB PB PB= +=. 18 （本小题共 14 分） 设函数 3 () 3 ( 0)fx x ax ba= + . （）若曲线 ()yfx= 在点 (2, (2)f 处与直线 8y = 相切，求 ,ab的值； （）求函数 ()f x 的单调区间与极值点. 【解析】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力 （） () 2 33f xxa= , 曲线 ()yfx= 在点 (2, (2)f 处与直线 8y = 相切， () () () 20 34 0 4, 24. 86 828 f a
14、 a b abf = = = = += （） () ()() 2 30fx x aa=, 当 0a ，函数 ()f x 在 ( ),+上单调递增，此时函数 ()f x 没 有极值点. 当 0a 时，由 () 0f xxa= ， 当 () ,x a 时， ( ) 0fx ，函数 ()f x 单调递增， 当 () ,x aa 时， ( ) 0fx ，函数 ()f x 单调递增， 此时 x a= 是 ()f x 的极大值点， x a= 是 ()f x 的极小值点. 19 （本小题共 14 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的离心率为 3 ，右准线方程为 3 3 x=
15、 。 （）求双曲线 C 的方程； （）已知直线 0 xym+=与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 22 5xy+=上，求 m 的值 【解析】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得 2 3 3 3 a c c a = = ，解得 1, 3ac=， 222 2bca=，所求双曲线 C的方程为 2 2 1 2 y x = . （）设 A、B 两点的坐标分别为 ( ) ( ) 11 2 2 ,x yxy，线段 AB 的中点为 () 00 ,M xy， 由 2 2 0 1 2
16、xym y x += = 得 22 0 xmxm =（判别式 0 ）, 12 000 ,2 2 xx x my x m m + =+=, 点 ( ) 00 ,M xy在圆 22 5xy+ = 上， () 2 2 25mm+=， 1m= . 20 （本小题共 13 分） 设数列 n a 的通项公式为 (,0) n apnqnNP =+ . 数列 n b 定义如下：对于正整 数 m ， m b 是使得不等式 n am 成立的所有 n中的最小值. （）若 11 , 23 pq=，求 3 b ； （）若 2, 1pq=，求数列 m b 的前 2 m 项和公式； （）是否存在 p 和 q，使得 32(
17、) m bmmN =+ ？如果存在，求 p和 q 的取值范围； 如果不存在，请说明理由. 【解析】 本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类 讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题. （）由题意，得 11 23 n an=， 解 11 3 23 n，得 20 3 n . 11 3 23 n成立的所有 n 中的最小正整数为 7，即 3 7b = . （）由题意，得 21 n an=， 对于正整数 m，由 n am ，得 1 2 m n + . 根据 m b 的定义可知 当 21mk=时， ( ) * m bkkN=； 当 2mk= 时， ( ) *
18、1 m bk kN=+ . ()( ) 12 2 13 21 24 2mm m bb b bb b bb b + = + + +LL L () ( ) 123 234 1mm=+ + + LL ( ) ( ) 2 13 2 22 mm mm mm + =+=+. （）假设存在 p 和 q满足条件，由不等式 pnqm+ 及 0p 得 mq n p . 32( ) m bmmN =+ ,根据 m b 的定义可知，对于任意的正整数 m 都有 31 32 mq mm p + +， 即 ()231p qpmpq （或 310p）时，得 31 p q m p + （或 2 31 p q m p + ） ，这与上 述结论矛盾！ 当 310p=，即 1 3 p = 时，得 21 0 33 qq ， 解得 21 33 q.（经检验符合题意） 存在 p 和 q，使得 32( ) m bmmN =+ ； p 和 q 的取值范围分别是 1 3 p = ， 21 33 q.
