2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学理及答案解析.docx
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1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 辽 宁 卷 ) 数 学 理一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 40分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )复 数 的 模 长 为 ( )A.B.C.D.2 解 析 : 复 数 , 所 以 = = = .答 案 : B.2.(5分 )已 知 集 合 A=x|0 log4x 1, B=x|x 2, 则 A B=( )A.(0, 1)B.(0, 2C.(1, 2)D.(1, 2解 析 : 由 A中 的
2、不 等 式 变 形 得 : log 41 log4x log44,解 得 : 1 x 4, 即 A=(1, 4), B=(- , 2, A B=(1, 2.答 案 : D3.(5分 )已 知 点 A(1, 3), B(4, -1), 则 与 向 量 同 方 向 的 单 位 向 量 为 ( )A.B.C. D.解 析 : 已 知 点 A(1, 3), B(4, -1), =(4, -1)-(1, 3)=(3, -4), | |= =5,则 与 向 量 同 方 向 的 单 位 向 量 为 = ,答 案 : A.4.(5分 )下 列 关 于 公 差 d 0 的 等 差 数 列 a n的 四 个 命
3、题 : p1: 数 列 an是 递 增 数 列 ;p2: 数 列 nan是 递 增 数 列 ;p3: 数 列 是 递 增 数 列 ;p4: 数 列 an+3nd是 递 增 数 列 ;其 中 真 命 题 是 ( )A.p1, p2B.p 3, p4C.p2, p3D.p1, p4解 析 : 对 于 公 差 d 0 的 等 差 数 列 an, an+1-an=d 0, 命 题 p1: 数 列 an是 递 增 数 列 成 立 ,是 真 命 题 .对 于 数 列 数 列 nan, 第 n+1项 与 第 n项 的 差 等 于 (n+1)an+1-nan=(n+1)d+an, 不 一 定 是 正 实 数
4、,故 p2不 正 确 , 是 假 命 题 .对 于 数 列 , 第 n+1项 与 第 n项 的 差 等 于 - = = ,不 一 定 是 正 实 数 , 故 p 3不 正 确 , 是 假 命 题 .对 于 数 列 数 列 an+3nd, 第 n+1项 与 第 n 项 的 差 等 于 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d 0,故 命 题 p4: 数 列 an+3nd是 递 增 数 列 成 立 , 是 真 命 题 .答 案 : D.5.(5分 )某 学 校 组 织 学 生 参 加 英 语 测 试 , 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 , 数 据 的 分 组 一 次 为 20,
5、40), 40, 60), 60, 80), 80, 100).若 低 于 60 分 的 人 数 是 15人 , 则 该 班 的 学 生 人 数 是 ( ) A.45B.50C.55D.60解 析 : 成 绩 低 于 60分 有 第 一 、 二 组 数 据 ,在 频 率 分 布 直 方 图 中 , 对 应 矩 形 的 高 分 别 为 0.005, 0.01,每 组 数 据 的 组 距 为 20, 则 成 绩 低 于 60分 的 频 率 P=(0.005+0.010) 20=0.3,又 低 于 60分 的 人 数 是 15 人 , 则 该 班 的 学 生 人 数 是 =50.答 案 : B. 6
6、.(5分 )在 ABC, 内 角 A, B, C所 对 的 边 长 分 别 为 a, b, c.asinBcosC+csinBcosA= b, 且a b, 则 B=( )A.B.C.D.解 析 : 利 用 正 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 得 : sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB, sinB 0, sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= , a b, A B, 即 B为 锐 角 , 则 B= .答 案 : A7.(5分 )使 得 (n N+)的 展 开 式 中 含 有 常 数 项 的 最 小 的 n为 ( )A.4B.5C.6D.7
7、解 析 : 设 (n N +)的 展 开 式 的 通 项 为 Tr+1, 则 :Tr+1=3n-r xn-r =3n-r ,令 n- r=0得 : n= r, 又 n N+, 当 r=2时 , n 最 小 , 即 nmin=5.答 案 : B.8.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 n=10, 则 输 出 的 S=( ) A.B.C.D.解 析 : 输 入 n 的 值 为 10, 框 图 首 先 给 累 加 变 量 S和 循 环 变 量 i分 别 赋 值 0 和 2,判 断 2 10成 立 , 执 行 , i=2+2=4; 判 断 4 10成 立 , 执 行
8、= , i=4+2=6;判 断 6 10成 立 , 执 行 , i=6+2=8;判 断 8 10成 立 , 执 行 , i=8+2=10;判 断 10 10成 立 , 执 行 , i=10+2=12;判 断 12 10不 成 立 , 跳 出 循 环 , 算 法 结 束 , 输 出 S 的 值 为 . 答 案 : A.9.(5分 )已 知 点 O(0, 0), A(0, b), B(a, a3), 若 OAB 为 直 角 三 角 形 , 则 必 有 ( )A.b=a3B. C.D.解 析 : =(a, a3-b), , =(a, a3), 且 ab 0. 若 , 则 =ba3=0, a=0 或
9、b=0, 但 是 ab 0, 应 舍 去 ; 若 , 则 =b(a 3-b)=0, b 0, b=a3 0; 若 , 则 =a2+a3(a3-b)=0, 得 1+a4-ab=0, 即 .综 上 可 知 : OAB为 直 角 三 角 形 , 则 必 有 .答 案 : C.10.(5分 )已 知 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 6 个 顶 点 都 在 球 O的 球 面 上 , 若 AB=3, AC=4, AB AC,AA1=12, 则 球 O的 半 径 为 ( )A.B.C.D.解 析 : 因 为 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若
10、AB=3, AC=4, AB AC, AA1=12,所 以 三 棱 柱 的 底 面 是 直 角 三 角 形 , 侧 棱 与 底 面 垂 直 , 侧 面 B1BCC1, 经 过 球 的 球 心 , 球 的 直 径是 其 对 角 线 的 长 , 因 为 AB=3, AC=4, BC=5, BC1= , 所 以 球 的 半 径 为 : .答 案 : C.11.(5分 )已 知 函 数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2, g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设 H1(x)=maxf(x), g(x),H 2(x)=minf(x), g(x), (maxp, q)表 示 p, q中 的 较
11、大 值 , minp, q表 示 p, q 中 的 较小 值 ), 记 H1(x)的 最 小 值 为 A, H2(x)的 最 大 值 为 B, 则 A-B=( )A.16B.-16C.-16a2-2a-16D.16a2+2a-16解 析 : 令 h(x)=f(x)-g(x)=x2-2(a+2)x+a2-x2+2(a-2)x-a2+8=2x2-4ax+2a2-8=2(x-a)2-8. 由 2(x-a) 2-8=0, 解 得 x=a 2, 此 时 f(x)=g(x); 由 h(x) 0, 解 得 x a+2, 或 x a-2, 此 时 f(x) g(x); 由 h(x) 0, 解 得 a-2 x
12、a+2, 此 时 f(x) g(x).综 上 可 知 : (1)当 x a-2时 , 则 H1(x)=maxf(x), g(x)=f(x)=x-(a+2)2-4a-4,H2(x)=minf(x), g(x)=g(x)=-x-(a-2)2-4a+12,(2)当 a-2 x a+2 时 , H1(x)=maxf(x), g(x)=g(x), H2(x)=minf(x), g(x)=f(x); (3)当 x a+2时 , 则 H1(x)=maxf(x), g(x)=f(x), H2(x)=minf(x), g(x)=g(x),故 A=g(a+2)=-(a+2)-(a-2)2-4a+12=-4a-4,
13、 B=g(a-2)=-4a+12, A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16.答 案 : B. 12.(5分 )设 函 数 f(x)满 足 x2f (x)+2xf(x)= , f(2)= , 则 x 0 时 , f(x)( )A.有 极 大 值 , 无 极 小 值B.有 极 小 值 , 无 极 大 值C.既 有 极 大 值 又 有 极 小 值D.既 无 极 大 值 也 无 极 小 值解 析 : 函 数 f(x)满 足 , , x 0 时 , dx, , , 令 g(x)= , 则 ,令 g (x)=0, 则 x=2, x (0, 2)时 , g (x) 0, 函 数 单 调 递 减 , x
14、 (2, + )时 , g (x) 0, 函 数 单 调 递 增 , g(x)在 x=2时 取 得 最 小 值 , f(2)= , g(2)= =0, g(x) g(2)=0, 0, 即 x 0时 , f(x)单 调 递 增 , f(x)既 无 极 大 值 也 无极 小 值 .答 案 : D. 二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 . 13.(5分 )某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 .解 析 : 根 据 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 该 几 何 体 为 圆 柱 中 挖 去 一 个 四 棱 柱
15、 ,圆 柱 是 底 面 外 径 为 2, 高 为 4的 圆 筒 , 四 棱 柱 的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 , 高 也 为 4.故 其 体积 为 : 2 2 4-22 4=16 -16,答 案 : 16 -16.14.(5分 )已 知 等 比 数 列 an是 递 增 数 列 , Sn是 an的 前 n 项 和 .若 a1, a3是 方 程 x2-5x+4=0的两 个 根 , 则 S6= .解 析 : 解 方 程 x2-5x+4=0, 得 x1=1, x2=4.因 为 数 列 a n是 递 增 数 列 , 且 a1, a3是 方 程 x2-5x+4=0的 两 个 根 , 所
16、以 a1=1, a3=4.设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q, 则 , 所 以 q=2.则.答 案 : 63.15.(5分 )已 知 椭 圆 的 左 焦 点 为 F, C与 过 原 点 的 直 线 相 交 于 A, B两 点 , 连 接 AF、 BF, 若 |AB|=10, |AF|=6, cos ABF= , 则 C的 离 心 率 e= .解 析 : 设 椭 圆 的 右 焦 点 为 F, 连 接 AF、 BF AB 与 FF互 相 平 分 , 四 边 形 AFBF为 平 行 四 边 形 , 可 得 |AF|=|BF|=6 ABF中 , |AB|=10, |AF|=6, cos ABF
17、= , 由 余 弦 定 理 |AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB| |BF|cos ABF,可 得 62=102+|BF|2-2 10 |BF| , 解 之 得 |BF|=8由 此 可 得 , 2a=|BF|+|BF|=14, 得 a=7 ABF中 , |AF|2+|BF|2=100=|AB|2 AFB=90 , 可 得 |OF|= |AB|=5, 即 c=5 因 此 椭 圆 C 的 离 心 率 e= =答 案 :16.(5分 )为 了 考 察 某 校 各 班 参 加 课 外 小 组 的 人 数 , 从 全 校 随 机 抽 取 5 个 班 级 , 把 每 个 班 级参 加 该 小 组
18、的 人 数 作 为 样 本 数 据 , 已 知 样 本 平 均 数 为 7, 样 本 方 差 为 4, 且 样 本 数 据 互 不 相 同 , 则 样 本 数 据 中 的 最 大 值 为 .解 析 : 设 样 本 数 据 为 : x1, x2, x3, x4, x5, 平 均 数 =(x1+x2+x3+x4+x5) 5=7;方 差 s2=(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2 5=4.从 而 有 x1+x2+x3+x4+x5=35, (x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20.若 样 本 数 据 中 的 最 大
19、值 为 11, 不 妨 设 x5=11, 则 式 变 为 :(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4, 由 于 样 本 数 据 互 不 相 同 , 这 是 不 可 能 成 立 的 ;若 样 本 数 据 为 4, 6, 7, 8, 10, 代 入 验 证 知 式 均 成 立 , 此 时 样 本 数 据 中 的 最 大 值 为 10.答 案 : 10.三 、 解 答 题 : 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 17.(12分 )设 向 量 , , .(1)若 , 求 x 的 值 ;(2)设 函 数 , 求 f(x)的 最 大 值
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