1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 辽 宁 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )复 数 的 模 长 为 ( )A.B.C.D.2 解 析 ： 复 数 ， 所 以 = = = .答 案 ： B.2.(5分 )已 知 集 合 A=x|0 log4x 1， B=x|x 2， 则 A B=( )A.(0， 1)B.(0， 2C.(1， 2)D.(1， 2解 析 ： 由 A中 的
2、不 等 式 变 形 得 ： log 41 log4x log44，解 得 ： 1 x 4， 即 A=(1， 4)， B=(- ， 2， A B=(1， 2.答 案 ： D3.(5分 )已 知 点 A(1， 3)， B(4， -1)， 则 与 向 量 同 方 向 的 单 位 向 量 为 ( )A.B.C. D.解 析 ： 已 知 点 A(1， 3)， B(4， -1)， =(4， -1)-(1， 3)=(3， -4)， | |= =5，则 与 向 量 同 方 向 的 单 位 向 量 为 = ，答 案 ： A.4.(5分 )下 列 关 于 公 差 d 0 的 等 差 数 列 a n的 四 个 命
3、题 ： p1： 数 列 an是 递 增 数 列 ；p2： 数 列 nan是 递 增 数 列 ；p3： 数 列 是 递 增 数 列 ；p4： 数 列 an+3nd是 递 增 数 列 ；其 中 真 命 题 是 ( )A.p1， p2B.p 3， p4C.p2， p3D.p1， p4解 析 ： 对 于 公 差 d 0 的 等 差 数 列 an， an+1-an=d 0， 命 题 p1： 数 列 an是 递 增 数 列 成 立 ，是 真 命 题 .对 于 数 列 数 列 nan， 第 n+1项 与 第 n项 的 差 等 于 (n+1)an+1-nan=(n+1)d+an， 不 一 定 是 正 实 数
4、，故 p2不 正 确 ， 是 假 命 题 .对 于 数 列 ， 第 n+1项 与 第 n项 的 差 等 于 - = = ，不 一 定 是 正 实 数 ， 故 p 3不 正 确 ， 是 假 命 题 .对 于 数 列 数 列 an+3nd， 第 n+1项 与 第 n 项 的 差 等 于 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d 0，故 命 题 p4： 数 列 an+3nd是 递 增 数 列 成 立 ， 是 真 命 题 .答 案 ： D.5.(5分 )某 学 校 组 织 学 生 参 加 英 语 测 试 ， 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 ， 数 据 的 分 组 一 次 为 20，
5、40)， 40， 60)， 60， 80)， 80， 100).若 低 于 60 分 的 人 数 是 15人 ， 则 该 班 的 学 生 人 数 是 ( ) A.45B.50C.55D.60解 析 ： 成 绩 低 于 60分 有 第 一 、 二 组 数 据 ，在 频 率 分 布 直 方 图 中 ， 对 应 矩 形 的 高 分 别 为 0.005， 0.01，每 组 数 据 的 组 距 为 20， 则 成 绩 低 于 60分 的 频 率 P=(0.005+0.010) 20=0.3，又 低 于 60分 的 人 数 是 15 人 ， 则 该 班 的 学 生 人 数 是 =50.答 案 ： B. 6
6、.(5分 )在 ABC， 内 角 A， B， C所 对 的 边 长 分 别 为 a， b， c.asinBcosC+csinBcosA= b， 且a b， 则 B=( )A.B.C.D.解 析 ： 利 用 正 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 得 ： sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB， sinB 0， sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= ， a b， A B， 即 B为 锐 角 ， 则 B= .答 案 ： A7.(5分 )使 得 (n N+)的 展 开 式 中 含 有 常 数 项 的 最 小 的 n为 ( )A.4B.5C.6D.7
7、解 析 ： 设 (n N +)的 展 开 式 的 通 项 为 Tr+1， 则 ：Tr+1=3n-r xn-r =3n-r ，令 n- r=0得 ： n= r， 又 n N+， 当 r=2时 ， n 最 小 ， 即 nmin=5.答 案 ： B.8.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n=10， 则 输 出 的 S=( ) A.B.C.D.解 析 ： 输 入 n 的 值 为 10， 框 图 首 先 给 累 加 变 量 S和 循 环 变 量 i分 别 赋 值 0 和 2，判 断 2 10成 立 ， 执 行 ， i=2+2=4； 判 断 4 10成 立 ， 执 行
8、= ， i=4+2=6；判 断 6 10成 立 ， 执 行 ， i=6+2=8；判 断 8 10成 立 ， 执 行 ， i=8+2=10；判 断 10 10成 立 ， 执 行 ， i=10+2=12；判 断 12 10不 成 立 ， 跳 出 循 环 ， 算 法 结 束 ， 输 出 S 的 值 为 . 答 案 ： A.9.(5分 )已 知 点 O(0， 0)， A(0， b)， B(a， a3)， 若 OAB 为 直 角 三 角 形 ， 则 必 有 ( )A.b=a3B. C.D.解 析 ： =(a， a3-b)， ， =(a， a3)， 且 ab 0. 若 ， 则 =ba3=0， a=0 或
9、b=0， 但 是 ab 0， 应 舍 去 ； 若 ， 则 =b(a 3-b)=0， b 0， b=a3 0； 若 ， 则 =a2+a3(a3-b)=0， 得 1+a4-ab=0， 即 .综 上 可 知 ： OAB为 直 角 三 角 形 ， 则 必 有 .答 案 ： C.10.(5分 )已 知 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 6 个 顶 点 都 在 球 O的 球 面 上 ， 若 AB=3， AC=4， AB AC，AA1=12， 则 球 O的 半 径 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 因 为 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 若
10、AB=3， AC=4， AB AC， AA1=12，所 以 三 棱 柱 的 底 面 是 直 角 三 角 形 ， 侧 棱 与 底 面 垂 直 ， 侧 面 B1BCC1， 经 过 球 的 球 心 ， 球 的 直 径是 其 对 角 线 的 长 ， 因 为 AB=3， AC=4， BC=5， BC1= ， 所 以 球 的 半 径 为 ： .答 案 ： C.11.(5分 )已 知 函 数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2， g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设 H1(x)=maxf(x)， g(x)，H 2(x)=minf(x)， g(x)， (maxp， q)表 示 p， q中 的 较
11、大 值 ， minp， q表 示 p， q 中 的 较小 值 )， 记 H1(x)的 最 小 值 为 A， H2(x)的 最 大 值 为 B， 则 A-B=( )A.16B.-16C.-16a2-2a-16D.16a2+2a-16解 析 ： 令 h(x)=f(x)-g(x)=x2-2(a+2)x+a2-x2+2(a-2)x-a2+8=2x2-4ax+2a2-8=2(x-a)2-8. 由 2(x-a) 2-8=0， 解 得 x=a 2， 此 时 f(x)=g(x)； 由 h(x) 0， 解 得 x a+2， 或 x a-2， 此 时 f(x) g(x)； 由 h(x) 0， 解 得 a-2 x
12、a+2， 此 时 f(x) g(x).综 上 可 知 ： (1)当 x a-2时 ， 则 H1(x)=maxf(x)， g(x)=f(x)=x-(a+2)2-4a-4，H2(x)=minf(x)， g(x)=g(x)=-x-(a-2)2-4a+12，(2)当 a-2 x a+2 时 ， H1(x)=maxf(x)， g(x)=g(x)， H2(x)=minf(x)， g(x)=f(x)； (3)当 x a+2时 ， 则 H1(x)=maxf(x)， g(x)=f(x)， H2(x)=minf(x)， g(x)=g(x)，故 A=g(a+2)=-(a+2)-(a-2)2-4a+12=-4a-4，
13、 B=g(a-2)=-4a+12， A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16.答 案 ： B. 12.(5分 )设 函 数 f(x)满 足 x2f (x)+2xf(x)= ， f(2)= ， 则 x 0 时 ， f(x)( )A.有 极 大 值 ， 无 极 小 值B.有 极 小 值 ， 无 极 大 值C.既 有 极 大 值 又 有 极 小 值D.既 无 极 大 值 也 无 极 小 值解 析 ： 函 数 f(x)满 足 ， ， x 0 时 ， dx， ， ， 令 g(x)= ， 则 ，令 g (x)=0， 则 x=2， x (0， 2)时 ， g (x) 0， 函 数 单 调 递 减 ， x
14、 (2， + )时 ， g (x) 0， 函 数 单 调 递 增 ， g(x)在 x=2时 取 得 最 小 值 ， f(2)= ， g(2)= =0， g(x) g(2)=0， 0， 即 x 0时 ， f(x)单 调 递 增 ， f(x)既 无 极 大 值 也 无极 小 值 .答 案 ： D. 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 . 13.(5分 )某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 是 .解 析 ： 根 据 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 该 几 何 体 为 圆 柱 中 挖 去 一 个 四 棱 柱
15、 ，圆 柱 是 底 面 外 径 为 2， 高 为 4的 圆 筒 ， 四 棱 柱 的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 高 也 为 4.故 其 体积 为 ： 2 2 4-22 4=16 -16，答 案 ： 16 -16.14.(5分 )已 知 等 比 数 列 an是 递 增 数 列 ， Sn是 an的 前 n 项 和 .若 a1， a3是 方 程 x2-5x+4=0的两 个 根 ， 则 S6= .解 析 ： 解 方 程 x2-5x+4=0， 得 x1=1， x2=4.因 为 数 列 a n是 递 增 数 列 ， 且 a1， a3是 方 程 x2-5x+4=0的 两 个 根 ， 所
16、以 a1=1， a3=4.设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 则 ， 所 以 q=2.则.答 案 ： 63.15.(5分 )已 知 椭 圆 的 左 焦 点 为 F， C与 过 原 点 的 直 线 相 交 于 A， B两 点 ， 连 接 AF、 BF， 若 |AB|=10， |AF|=6， cos ABF= ， 则 C的 离 心 率 e= .解 析 ： 设 椭 圆 的 右 焦 点 为 F， 连 接 AF、 BF AB 与 FF互 相 平 分 ， 四 边 形 AFBF为 平 行 四 边 形 ， 可 得 |AF|=|BF|=6 ABF中 ， |AB|=10， |AF|=6， cos ABF
17、= ， 由 余 弦 定 理 |AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB| |BF|cos ABF，可 得 62=102+|BF|2-2 10 |BF| ， 解 之 得 |BF|=8由 此 可 得 ， 2a=|BF|+|BF|=14， 得 a=7 ABF中 ， |AF|2+|BF|2=100=|AB|2 AFB=90 ， 可 得 |OF|= |AB|=5， 即 c=5 因 此 椭 圆 C 的 离 心 率 e= =答 案 ：16.(5分 )为 了 考 察 某 校 各 班 参 加 课 外 小 组 的 人 数 ， 从 全 校 随 机 抽 取 5 个 班 级 ， 把 每 个 班 级参 加 该 小 组
18、的 人 数 作 为 样 本 数 据 ， 已 知 样 本 平 均 数 为 7， 样 本 方 差 为 4， 且 样 本 数 据 互 不 相 同 ， 则 样 本 数 据 中 的 最 大 值 为 .解 析 ： 设 样 本 数 据 为 ： x1， x2， x3， x4， x5， 平 均 数 =(x1+x2+x3+x4+x5) 5=7；方 差 s2=(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2 5=4.从 而 有 x1+x2+x3+x4+x5=35， (x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20.若 样 本 数 据 中 的 最 大
19、值 为 11， 不 妨 设 x5=11， 则 式 变 为 ：(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4， 由 于 样 本 数 据 互 不 相 同 ， 这 是 不 可 能 成 立 的 ；若 样 本 数 据 为 4， 6， 7， 8， 10， 代 入 验 证 知 式 均 成 立 ， 此 时 样 本 数 据 中 的 最 大 值 为 10.答 案 ： 10.三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 17.(12分 )设 向 量 ， ， .(1)若 ， 求 x 的 值 ；(2)设 函 数 ， 求 f(x)的 最 大 值
20、 .解 析 ： (1)由 条 件 求 得 ， 的 值 ， 再 根 据 以 及 x的 范 围 ， 可 的 sinx的 值 ， 从而 求 得 x 的 值 .(2)利 用 两 个 向 量 的 数 量 积 公 式 以 及 三 角 恒 等 变 换 化 简 函 数 f(x)的 解 析 式 为 sin(2x- )+ .结 合 x 的 范 围 ， 利 用 正 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 求 得 f(x)的 最 大 值 . 答 案 ： (1)由 题 意 可 得 = +sin2x=4sin2x， =cos2x+sin2x=1，由 ， 可 得 4sin2x=1， 即 sin2x= . x 0， ， si
21、nx= ， 即 x= . (2) 函 数 =( sinx， sinx) (cosx，sinx)= sinxcosx+sin2x= sin2x+ =sin(2x- )+ . x 0， ， 2x- - ， ， 当 2x- = ， sin(2x- )+ 取 得 最 大 值 为 1+ = .18.(12分 )如 图 ， AB是 圆 的 直 径 ， PA 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， C 是 圆 上 的 点 . ( )求 证 ： 平 面 PAC 平 面 PBC；( )若 AB=2， AC=1， PA=1， 求 证 ： 二 面 角 C-PB-A的 余 弦 值 .解 析 ： ( )要 证 平 面 PA
22、C 平 面 PBC， 只 要 证 明 平 面 PBC 经 过 平 面 PAC 的 一 条 垂 线 BC即 可 ，利 用 题 目 给 出 的 条 件 借 助 于 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 能 够 证 明 BC 平 面 PAC；( )因 为 平 面 PAB 和 平 面 ABC垂 直 ， 只 要 在 平 面 ABC内 过 C 作 两 面 的 郊 县 AB 的 垂 线 ， 然 后过 垂 足 再 作 PB的 垂 线 ， 连 结 C和 后 一 个 垂 足 即 可 得 到 二 面 角 C-PB-A的 平 面 角 ， 然 后 在 作 出的 直 角 三 角 形 中 通 过 解 直 角 三 角 形 即
23、可 求 得 二 面 角 C-PB-A 的 余 弦 值 .答 案 ： ( )如 图 ， 由 AB 是 圆 的 直 径 ， 得 AC BC.由 PA 平 面 ABC， BC平 面 ABC， 得 PA BC.又 PA AC=A， PA平 面 APC， AC平 面 PAC， 所 以 BC 平 面 PAC.因 为 BC平 面 PBC， 所 以 平 面 PAC 平 面 PBC；( )过 C 作 CM AB 于 M， 因 为 PA 平 面 ABC， CM平 面 ABC， 所 以 PA CM， 故 CM 平 面 PAB.过 M 作 MN PB 于 N， 连 接 NC.由 三 垂 线 定 理 得 CN PB.所
24、 以 CNM为 二 面 角 C-PB-A的 平 面 角 .在 Rt ABC中 ， 由 AB=2， AC=1， 得 ， ， .在 Rt ABP中 ， 由 AB=2， AP=1， 得 . 因 为 Rt BNM Rt BAP， 所 以 .故 MN= .又 在 Rt CNM中 ， .故 cos .所 以 二 面 角 C-PB-A 的 余 弦 值 为 .19.(12分 )现 有 10 道 题 ， 其 中 6 道 甲 类 题 ， 4 道 乙 类 题 ， 张 同 学 从 中 任 取 3道 题 解 答 .( )求 张 同 学 至 少 取 到 1道 乙 类 题 的 概 率 ；( )已 知 所 取 的 3 道 题
25、 中 有 2道 甲 类 题 ， 1道 乙 类 题 .设 张 同 学 答 对 甲 类 题 的 概 率 都 是 ，答 对 每 道 乙 类 题 的 概 率 都 是 ， 且 各 题 答 对 与 否 相 互 独 立 .用 X 表 示 张 同 学 答 对 题 的 个 数 ，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 .解 析 ： (I)从 10 道 试 题 中 取 出 3个 的 所 有 可 能 结 果 数 有 ， 张 同 学 至 少 取 到 1 道 乙 类 题 的 对 立 事 件 是 ： 张 同 学 取 到 的 全 为 甲 类 题 ， 代 入 古 典 概 率 的 求 解 公 式 即 可 求 解(II)先
26、判 断 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3， 根 据 题 意 求 出 随 机 变 量 的 各 个 取 值的 概 率 ， 即 可 求 解 分 布 列 及 期 望 值答 案 ： (I)设 事 件 A=“ 张 同 学 至 少 取 到 1道 乙 类 题 ” ， 则 =张 同 学 至 少 取 到 的 全 为 甲 类 题 ， P(A)=1-P( )=1- = .(II)X的 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3，P (X=0)= = ，P(X=1)= = ， P(X=2)= + = ，P(X=3)= = ， X 的 分 布 列 为EX= .20.(12分
27、)如 图 ， 抛 物 线 C 1： x2=4y， C2： x2=-2py(p 0)， 点 M(x0， y0)在 抛 物 线 C2上 ， 过 M作 C1的 切 线 ， 切 点 为 A， B(M为 原 点 O时 ， A， B 重 合 于 O)， 当 x0=1- 时 ， 切 线 MA的 斜 率为 - . ( )求 P 的 值 ；( )当 M 在 C2上 运 动 时 ， 求 线 段 AB 中 点 N 的 轨 迹 方 程 (A， B重 合 于 O时 ， 中 点 为 O).解 析 ： ( )利 用 导 数 的 几 何 意 义 ， 先 表 示 出 切 线 方 程 ， 再 由 M 在 抛 物 线 上 及 在
28、直 线 上 两 个 前提 下 ， 得 到 相 应 的 方 程 ， 解 出 p 值 .( )由 题 意 ， 可 先 设 出 A， B 两 个 端 点 的 坐 标 及 中 点 的 坐 标 ， 再 由 中 点 坐 标 公 式 建 立 方 程 ，直 接 求 解 出 中 点 N 的 轨 迹 方 程 .答 案 ： ( )因 为 抛 物 线 C 1： x2=4y 上 任 意 一 点 (x， y)的 切 线 斜 率 为 y = ， 且 切 线 MA 的 斜率 为 - ， 所 以 A 点 的 坐 标 为 (-1， )， 故 切 线 MA 的 方 程 为 y=- (x+1)+因 为 点 M(1- ， y0)在 切
29、 线 MA及 抛 物 线 C2上 ，于 是 y0=- (2- )+ =- ， y0=- =- ， 解 得 p=2，( )设 N(x， y)， A(x 1， )， B(x2， )， x1 x2， 由 N 为 线 段 AB 中 点 知 x= ，y= = ，切 线 MA， MB的 方 程 为 y= (x-x1)+ ， ； y= (x-x2)+ ，由 得 MA， MB的 交 点 M(x 0， y0)的 坐 标 满 足 x0= ， y0= ，因 为 点 M(x0， y0)在 C2上 ， 即 x02=-4y0， 所 以 x1x2=- ，由 得 x2= y， x 0，当 x 1=x2时 ， A， B 丙 点
30、 重 合 于 原 点 O， A， B 中 点 N 为 O， 坐 标 满 足 x2= y，因 此 中 点 N 的 轨 迹 方 程 为 x2= y.21.(12分 )已 知 函 数 f(x)=(1+x)e-2x， g(x)=ax+ +1+2xcosx， 当 x 0， 1时 ， (I)求 证 ： ；(II)若 f(x) g(x)恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (I) 当 x 0， 1)时 ， (1+x)e-2x 1-x(1+x)e-x (1-x)ex， 令 h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex，利 用 导 数 得 到 h(x)的 单 调 性 即 可 证 明 ；
31、 当 x 0， 1)时 ， ex 1+x， 令 u(x)=ex-1-x， 利 用 导 数 得 出 h(x)的 单 调性 即 可 证 明 .(II)利 用 (I)的 结 论 得 到 f(x) 1-x， 于 是G(x)=f(x)-g(x) = .再 令H(x)= ， 通 过 多 次 求 导 得 出 其 单 调 性 即 可 求 出 a 的 取 值 范 围 . 答 案 ： (I) 当 x 0， 1)时 ， (1+x)e-2x 1-x(1+x)e-x (1-x)ex，令 h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex， 则 h (x)=x(ex-e-x).当 x 0， 1)时 ， h (x) 0， h(x)
32、在 0， 1)上 是 增 函 数 ， h(x) h(0)=0， 即 f(x) 1-x. 当 x 0， 1)时 ， ex 1+x， 令 u(x)=ex-1-x， 则 u (x)=ex-1.当 x 0， 1)时 ， u (x) 0， u(x)在 0， 1)单 调 递 增 ， u(x) u(0)=0， f(x) .综 上 可 知 ： .(II)设 G(x)=f(x)-g(x)= = . 令 H(x)= ， 则 H (x)=x-2sinx，令 K(x)=x-2sinx， 则 K (x)=1-2cosx.当 x 0， 1)时 ， K (x) 0，可 得 H (x)是 0， 1)上 的 减 函 数 ， H
33、 (x) H (0)=0， 故 H(x)在 0， 1)单 调 递 减 ， H(x) H(0)=2. a+1+H(x) a+3. 当 a -3 时 ， f(x) g(x)在 0， 1)上 恒 成 立 .下 面 证 明 当 a -3 时 ， f(x) g(x)在 0， 1)上 不 恒 成 立 .f(x)-g(x) = =-x. 令 v(x)= = ， 则 v (x)= .当 x 0， 1)时 ， v (x) 0， 故 v(x)在 0， 1)上 是 减 函 数 ， v(x) (a+1+2cos1， a+3.当 a -3 时 ， a+3 0. 存 在 x0 (0， 1)， 使 得 v(x0) 0， 此
34、 时 ， f(x0) g(x0).即 f(x) g(x)在 0， 1)不 恒 成 立 . 综 上 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (- ， -3.请 考 生 在 21、 22、 23题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 。22.(10分 )选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲如 图 ， AB 为 O直 径 ， 直 线 CD与 O 相 切 与 E， AD 垂 直 于 CD于 D， BC垂 直 于 CD于 C， EF垂 直 于 F， 连 接 AE， BE.证 明 ： (I) FEB= CEB；(II)EF2=AD BC.解 析 ：
35、(1)直 线 CD 与 O相 切 于 E， 利 用 弦 切 角 定 理 可 得 CEB= EAB.由 AB为 O 的 直 径 ，可 得 AEB=90 .又 EF AB， 利 用 互 余 角 的 关 系 可 得 FEB= EAB， 从 而 得 证 .(2)利 用 (1)的 结 论 及 ECB=90 = EFB和 EB公 用 可 得 CEB FEB， 于 是 CB=FB.同 理 可 得 ADE AFE， AD=AF.在 Rt AEB中 ， 由 EF AB， 利 用 射 影 定 理 可 得 EF2=AF FB.等 量 代 换即 可 .答 案 ： (1) 直 线 CD与 O 相 切 于 E， CEB=
36、 EAB. AB 为 O的 直 径 ， AEB=90 . EAB+ EBA=90 . EF AB， FEB+ EBF=90 . FEB= EAB. CEB= EAB.(2) BC CD， ECB=90 = EFB，又 CEB= FEB， EB公 用 . CEB FEB. CB=FB.同 理 可 得 ADE AFE， AD=AF. 在 Rt AEB中 ， EF AB， EF2=AF FB. EF2=AD CB.23.在 直 角 坐 标 系 xoy中 以 O 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 坐 标 系 .圆 C1， 直 线 C2的 极 坐 标方 程 分 别 为 =4sin ，
37、 cos( )=2 .( )求 C1与 C2交 点 的 极 坐 标 ；( )设 P 为 C1的 圆 心 ， Q为 C1与 C2交 点 连 线 的 中 点 ， 已 知 直 线 PQ 的 参 数 方 程 为(t R 为 参 数 )， 求 a， b 的 值 .解 析 ： (I)先 将 圆 C 1， 直 线 C2化 成 直 角 坐 标 方 程 ， 再 联 立 方 程 组 解 出 它 们 交 点 的 直 角 坐 标 ，最 后 化 成 极 坐 标 即 可 ；(II)由 (I)得 ， P 与 Q 点 的 坐 标 分 别 为 (0， 2)， (1， 3)， 从 而 直 线 PQ 的 直 角 坐 标 方 程 为
38、 x-y+2=0，由 参 数 方 程 可 得 y= x- +1， 从 而 构 造 关 于 a， b的 方 程 组 ， 解 得 a， b 的 值 .答 案 ： (I)圆 C1， 直 线 C2的 直 角 坐 标 方 程 分 别 为 x2+(y-2)2=4， x+y-4=0， 解 得 或 ， C1与 C2交 点 的 极 坐 标 为 (4， ).(2 ， ).(II)由 (I)得 ， P与 Q点 的 坐 标 分 别 为 (0， 2)， (1， 3)，故 直 线 PQ 的 直 角 坐 标 方 程 为 x-y+2=0，由 参 数 方 程 可 得 y= x- +1， ， 解 得 a=-1， b=2.24.已
39、 知 函 数 f(x)=|x-a|， 其 中 a 1(1)当 a=2 时 ， 求 不 等 式 f(x) 4-|x-4|的 解 集 ；(2)已 知 关 于 x 的 不 等 式 |f(2x+a)-2f(x)| 2 的 解 集 x|1 x 2， 求 a的 值 . 解 析 ： (1)当 a=2时 ， f(x) 4-|x-4|可 化 为 |x-2|+|x-4| 4， 直 接 求 出 不 等 式 |x-2|+|x-4| 4的 解 集 即 可 .(2)设 h(x)=f(2x+a)-2f(x)， 则 h(x)= .由 |h(x)| 2解 得， 它 与 1 x 2 等 价 ， 然 后 求 出 a 的 值 .答 案 ： (1)当 a=2时 ， f(x) 4-|x-4|可 化 为 |x-2|+|x-4| 4，当 x 2 时 ， 得 -2x+6 4， 解 得 x 1；当 2 x 4时 ， 得 2 4， 无 解 ；当 x 4 时 ， 得 2x-6 4， 解 得 x 5； 故 不 等 式 的 解 集 为 x|x 5 或 x 1. (2)设 h(x)=f(2x+a)-2f(x)， 则 h(x)=由 |h(x)| 2 得 ，又 已 知 关 于 x 的 不 等 式 |f(2x+a)-2f(x)| 2的 解 集 x|1 x 2， 所 以 ， 故 a=3.
