2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理数-含答案.docx

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1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 辽 宁 卷 ）数 学 （ 供 理 科 考 生 使 用 ）注意事项：1. 本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 。 答 卷 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 。2. 回 答 第 I 卷 时 ， 选 出 每 小 题 答 案 后 ， 用 铅 笔 吧 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 。 如 需改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 在 选 涂 其 他 答 案 标 号

2、。 写 在 本 试 卷 上 无 效 。3. 回 答 第 II 卷 时 ， 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 ， 写 在 本 试 卷 上 无 效 。4. 考 试 结 束 ， 将 本 试 题 和 答 题 卡 一 并 交 回 。第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数的11Z i 的模为（A）12（B）22（C）2（D）2（2）已知集合 4|0 log 1 , | 2A x x B x x A B ， 则A 01， B 02， C 1,2 D 12，（3）已知点 1,3 , 4, 1 ,A B AB 则 与 向 量

3、同 方 向 的 单 位 向 量 为 （A）3 45 5 ， -（B）4 35 5 ， -（C）3 45 5 ，（D）4 35 5 ，（4）下面是关于公差0d 的等差数列 na的四个命题： 1: np a数 列 是 递 增 数 列 ； 2 : np na数 列 是 递 增 数 列 ；3 : nap n 数 列 是 递 增 数 列 ； 4 : 3np a nd数 列 是 递 增 数 列 ；其 中 的 真 命 题 为（A）1 2,p p（B）3 4,p p（C）2 3,p p（D）1 4,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 20,40 , 40,60

4、 , 60,80 , 80,100 .若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （A）45（B）50（C）55（D）60（6）在ABC ， 内角, ,A B C所对的边长分别为, , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b ,a b B 且 则A 6 B 3 C 23 D 56（7）使得 13 nx n N nx x 的 展 开 式 中 含 有 常 数 项 的 最 小 的 为A 4 B 5 C 6 D 7（8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S 则 输 出 的A 511 B 1011 C 3655 D 7255 （9）已知点 30,0 ,

5、0, , , . ,O A b B a a OAB若 为 直 角 三 角 形 则 必 有A 3b a B 3 1b a a C 3 3 1 0b a b a a D 3 3 1 0b a b a a （10）已知三棱柱1 1 1 6 . 3 4ABC ABC O AB AC 的 个 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 若 ， ，,AB AC 1 12AA O ， 则 球 的 半 径 为A 3 172 B 2 10 C 132 D 3 10（11）已知函数 2 2 2 22 2 , 2 2 8.f x x a x a g x x a x a 设 1 2max , , min , , max ,H

6、 x f x g x H x f x g x p q 表 示 ,p q 中 的 较大 值 ， min ,p q 表 示 ,p q 中 的 较 小 值 ， 记 1H x 得 最 小 值 为 ,A 2H x 得 最 小 值 为 B,则 A B （A）16（B）16 （C）2 2 16a a （D）2 2 16a a （12）设函数 22 2 , 2 , 0,8xe ef x x f x xf x f x f xx 满 足 则 时 ，（A）有 极 大 值 ， 无 极 小 值（B）有 极 小 值 ， 无 极 大 值（C）既 有 极 大 值 又 有 极 小 值（D）既 无 极 大 值 也 无 极 小 值

7、第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是. （14）已知等比数列 1 3n n na S a n a a是 递 增 数 列 , 是 的 前 项 和 .若 ， 是 方 程2 65 4 0 x x S 的 两 个 根 ， 则 .（15）已知椭圆2 22 2: 1( 0)x yC a ba b 的左焦点为,F C与 过 原 点 的 直 线 相 交 于,A B两 点 ， 4, . 10, 6,cos ABF ,5A

8、F BF AB AF C e 连 接 若 则 的 离 心 率 = .（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （ 本 小 题 满 分 12分 ）设向量 3sin ,sin , cos ,sinx , 0, .2a x x b x x （I）若.a b x 求 的 值 ；（II）设函数 , .f x a b f x 求 的 最 大 值18 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， .A

9、B PA C是 圆 的 直 径 ， 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点（I）求证：PAC PBC平 面 平 面 ；（II）2 .AB AC PA C PB A 若 ， 1， 1， 求 证 ： 二 面 角 的 余 弦 值 19 （ 本 小 题 满 分 12分 ）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45 ，且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.20 （ 本 小

10、题 满 分 12分 ）如图，抛物线 2 21 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C 点 在 抛 物 线 上 ， 1M C过 作 0, , . 1 2A B M O A B O x 的 切 线 ， 切 点 为 为 原 点 时 ， 重 合 于 当 时 ，1- .2MA切 线 的 斜 率 为（I）P求 的 值；（II）2M C AB N当 在 上 运 动 时 ， 求 线 段 中 点 的 轨 迹 方 程 , , .A B O O重 合 于 时 中 点 为21 （ 本 小 题 满 分 12分 ）已知函数 321 , 1 2 cos . 0,12x xf

11、 x x e g x ax x x x 当 时 ，（I）求证： 11- ;1x f x x （II）若 f x g x 恒 成 立 ， a求 实 数 的 取 值 范 围 . 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22 （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲如图，.AB O CD O E AD CD D 为 直 径 ， 直 线 与 相 切 于 垂 直 于 于 ， BC垂 直 于, .CD C EF F AE BE于 ， 垂 直 于 ， 连 接 证 明 ：（I）

12、;FEB CEB （II）2 .EF AD BC 23 （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极 坐标方程分别为4sin , cos 2 24 .（I）1 2C C求 与 交 点 的 极 坐 标 ；（II）1 1 2P C Q C C PQ设 为 的 圆 心 ， 为 与 交 点 连 线 的 中 点 ， 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为 3 3 , , .12x t a t R a bby t 为 参 数 求 的 值24 （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 4

13、-5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 , 1.f x x a a 其 中（I） =2 4 4 ;a f x x 当 时 ， 求 不 等 式 的 解 集（II） 2 2 2 |1 2 ,x f x a f x x x 已 知 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为.a求 的 值 参 考 答 案评 分 说 明 ：1. 本 解 答 给 出 了 一 中 或 几 种 解 法 供 参 考 ， 如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 ， 可 根 据 试 题的 主 要 考 察 内 容 比 照 评 分 参 考 制 定 相 应 的 评 分 细 则 .2. 对 计 算 题 ， 当 考 生 的 解 答

14、 在 某 一 步 出 现 错 误 时 ， 如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的内 容 和 难 度 ， 可 视 影 像 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 给 分 ， 但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 答 应 的分 数 的 一 半 ； 如 果 后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误 ， 就 不 在 给 分 .3. 解 答 右 端 所 注 分 数 ， 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 . 4. 只 给 整 数 分 数 .一 、 选 择 题（ 1） B (2)D (3) A (4) D (5)B (6) A(7)B

15、 (8)A (9) C (10) C (11)B (4) D二 、 填 空 题（ 13） 16-16 （ 14） 63 （ 15） 57 （ 16） 10三 、 解 答 题 （ 17） 解 ：（ I） 由 2 2 2 2( 3sin ) (sin ) 4sina x x x ，2 2 2(cos ) (sin ) 1b x x ，及 2, 4sin 1a b x 得又 10, , sin2 2x x 从 而 ， 所 以6x .（ II） 2( ) 3sin cos sinf x a b x x x = 3 1 1 1sin2 cos2 sin(2 )2 2 2 6 2x x x .当 0. s

16、in 2 - 1.3 2 6x x 时 ， （ ） 取 最 大 值 所 以 3( ) .2f x 的 最 大 值 为（ 18） 解 ：（ I） 由 AB 式 圆 的 直 径 ， 得 ACBC、由 PA平 面 ABC、 BC平 面 ABC、 得 PABC.又 PAAC=A,PA平 面 PAC， AC平 面 PAC，所 以 BC平 面 PAC.因 为 BC平 面 PBC.所 以 平 面 PBC平 面 PAC. （ II） （ 解 法 一 ）过 C 作 CM/AP,则 CM平 面 ABC.如 图 ， 以 点 C 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 直 线 CB、 CA、 CM 为 x 轴 ， y 轴

17、 ， z 轴 建 立 空 间 直 角 标系因 为 AB=2、 AC=1、 所 以 A(0、 1、 0） 、 B（ 3 0 0、 、 ） 、 P（ 0、 1、 1）故 CP = 30 0 = 011CP、 、 ） ， （ 、 、 ） .设 平 面 BCP 的 法 向 量 为 1= )x y z （ 、 、 .11 0,0,CB nCB n 则 3 0.0.xy z 所 以 不 妨 令 y=1.则 n 1=（ 0、 1、 -1） .因 为 (0 01 = 3-10AP AB 、 、 ） 、 （ ， 、 ） 设 平 面 ABP 的 法 向 量 为 2=n x（ 、 y、 z） .则 22 0,0,A

18、P nAB n ,所 以 0.3 0.z x y 不 妨 令 x=1、 则 2 (1 30n 、 、 ） .于 是 cos= 3 642 2 ,所 以 由 题 意 可 知 二 面 角 C-PB-A 的 余 弦 值 为 64 .过 C 作 CMAB 于 M、 因 为 PA平 面 ABC、 CM平 面 ABC.所 以 PACM.故 CM平 面 PAB.过 M 作 MNPB 于 N， 链 接 NC.由 三 垂 线 定 理 得 CNPB.所 以 CNM为 二 面 角 C-PB-A的 平 面 角 .在 Rt ABC中 ， 由 AB=2、 AC=1、 得 3 33, = .2 2BC CM BM 、在 R

19、t PAB中 ,由 AB=2、 PA=1、 得 PB= 5. 因 为 Rt BNM Rt BAP,所 以 3 3 52 .1 105MN ， 故 MN=又 在 Rt CNM 中 ， CN= 305 ， 故 cos CNM= 64 .所 以 二 面 角 C-PB-A的 余 弦 值 为 64 .（ 19） 解 ：（ I)设 事 件 A=“ 张 同 学 所 取 的 3 道 题 至 少 有 1道 乙 类 题 ， 则 有 A=” 张 同 学 所 取 的 3 道 题 都是 甲 类 题 “ . 3103 10 1( ) 6CP A C 因 为 ， 所 以5( ) 1 ( ) 6P A P A . (II)X

20、所 有 的 可 能 取 值 为 0、 1、 2、 3.0 0 22 3 2 1 4( 0) ( ) ( )5 5 5 125P X C ;1 1 1 0 0 22 23 2 1 3 2 4 28( 1) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 5 5 125P X C C ;2 2 0 1 1 12 23 2 1 3 2 14 57( 2) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 5 5 125P X C C ;2 2 02 3 2 4 36( 3) ( ) ( )5 5 5 125P X C . 所 以 E（ X)=0 4125+1 28125+2 57 1363 2125 12

21、5 .(20)解 ：（ 1） 因 为 抛 物 线 21 4C x y： 上 任 意 一 点 （ x,y)的 切 线 斜 率 为 1 2xy ， 且 切 线 MA 的 斜 率为 -12 ， 所 以 A点 坐 标 为 （ -1， 14 ） 。 故 切 线 MA的 方 程 为1 1( 1)2 4y x .因 为 点 M 0(1 2, )y 在 切 线 MA及 抛 物 线 2C 上 ， 于 是 0 1 1 3 2 2(2 2)2 4 4y ， 20 (1 2) 3 2 22 2y p p . 由 得 p=2.（ II） 设 N（ x,y),A 2 21 21 2 1 2( ), ( ), ,4 4x

22、xx B x x x、 由 N为 线 AB中 点 知1 2 .2x xx 2 21 28x xy . 切 线 MA、 MB的 方 程 为 X 0 1 2 3P 14125 28125 57125 36125 21 11( )2 4x xy x x 22 22( )2 4x xy x x 由 得 MA， MB的 交 点 M 0 0( , )x y 的 坐 标 为1 2 1 20 0,2 4x x x xx y .原 M（ 20 0 2 0 0, ) 4 ,x y C x y在 上 ， 即 所 以2 21 2 1 2 6x xx x . 由 得2 4 , 0.3x y x 当 1 2x x 时 ，

23、 A,B重 合 与 原 点 O,AB 中 点 N为 O， 坐 标 满 足 2 43x y .因 此 AB中 点 N的 轨 迹 方 程 为2 43x y .（ 21） (I)证 明 ： 要 证 x0,1时 ， 2(1 ) xx e 1- x,需 证 明 (1 ) xx e (1 ) xx e .1( ) (1 ) (1 ) , ( ) ( )x x x xh x x e x e h x x e e 记 则 ， 当 x（ 0,1） 时1h (x)0,因 此 h(x)在 【 0,1】 上 市 增 函 数 ， 故 h(x) h(0)=0.所 以( ) 1 , 0,1f x x x -2 10,1 1.

24、1x xx e e xx 要 证 时 ， (1+x) ， 只 需 证 明记 1 1( ) 1, ( ) 1, (0,1) ( )x xK x e x K x e x K x 则 当 时 ， 0， 因 此K（ x） 在 0,1上 试 增 函 数 ， 故 K（ x） K(0)=0.所 以1( ) , 0,11f x xx .综 上 ， 11 ( ) , 0,11x f x xx .（ II） （ 解 法 一 ） 32( ) ( ) (1 ) ( 1 2 cos )2x xf x g x x e ax x x 31 1 2 cos2xx ax x x 21 ( 1 2cos )2xx a x ，2

25、1( ) 2cos , ( ) 2sin2xG x x G x x x 设 则 .记 H（ x） =x-2sinx,则 H 1（ x） =1-2cosx,当 x (0,1) )x H x 时 ， （ 0， 于 是 G（ x） 在 0,1 上 试 减 函 数 ， 从 而 当 x（ 0,1） 时 ， 1( )G x -3时 ， ( ) ( )f x g x 在 0,1上 不 恒 成 立 .31( ) ( ) 1 2 cos1 2xf x g x ax x xx 3 2 cos1 2x xax x xx 21( 2cos )1 2xx a xx 21 1( ) 2cos = ( ),1 2 1+xx

26、 a x a G xx x 记 I 则1 1 121( ) ( ), 0,1 ( )(1 )I x G x x I xx 当 （ ） 时 ， -3 时 ， a+30,所 以 存 在 0 (0,1)x ， 使 得 0( )I x 0， 此 时 0( )f x 0， 于 是 ( )G x 在 0,1上 试 增 函 数 ， 因 此 当 x(0,1)时 ， G(x)G(0)=0,从 而 F(x)在 0,1上 是 增 函 数 ， 因 此 F(x)F(0)=0,所 以 当 x0,1时 ， 211 cos2 x x 同 理 可 证 ， 当 210,1 cos 1 4x x x 时 ，所 以 x 2 21 1

27、0,1 ,1 cos 12 4x x x 时 . 因 为 当 x0,1时 ， 32( ) ( ) (1 ) ( 1 2 cos )2x xf x g x x e ax x x 3 21(1 ) 1 2 (1 )2 4xx ax x x ( 3)a x .所 以 当 a-3 时 ， ( ) ( )f x g x 在 0,1上 不 恒 成 立 .因 为32( ) ( ) (1 ) ( 1 2 cos )2x xf x g x x e ax x x 3 21 11 2 (1 )1 2 2xax x xx 2 2 ( 3)1 2x x a xx 3 2 ( 3)2 3x x a 所 以 存 在 0 (

28、0,1)x （ 例 如 0 3 13 2ax 取 和 中 的 较 小 值 ） 满 足 0( )f x g 0( )x ， 即( ) ( )f x g x 在 0,1上 不 恒 成 立 .综 上 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 （ -， 3 . 证 明 ：（ I） 由 直 线 CD 与 O 相 切 ， 得 .CEB EAB , + = 2, , = .2AB O AE EB EAB EBFEF AB FEB EBF FEB EAB 由 为 的 直 径 ， 得 从 而 ；又 得 从 而故 FEB= CEB.(II) , , ,BC CE EF AB FEB CEB BE 由 是 公 共 边

29、 ，, .,Rt BCE Rt BFE BC BFRt ADE Rt AFE AD AF 得 所 以类 似 可 证 得 22 , = ,.Rt AEB EF AB EF AF BFEF AD BC 又 在 中 ， 故 所 以 （ I） 圆 C 1的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2( 2) 4,x y 直 线 C 2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x+y-4=0.解 2 2( 2) 44 0 x yx y 11 0,4,xy 得 22 2.2.xy 所 以 1 2C C与 交 点 的 极 坐 标 为 4 2（ ， ） ， (2 2, ).4注 ： 极 坐 标 系 下 点 的 表 示 不 唯

30、 一 .（ II） 由 （ I） 可 得 ， P点 与 Q点 的 直 角 坐 标 分 别 为 （ 0,2） ， （ 1,3） .故 直 线 PQ的 直 角 坐 标 方 程 为 x-y+2=0. 由 参 数 方 程 可 得 y= 12 2b abx .所 以 1,2 1 2,2bab 解 得 1, 2a b ,(24)解 ：（ I） 当 a=2 时 ， 2 6, 2,( ) 4 2,2 4,2 6, 4.x xf x x xx x 当 2 ( ) 4 4 -2x+6 4, x 1;x f x x 时 ， 由 得 解 得2 x 4 ( ) 4 44 , ( ) 4 4 2 6 4, 5;f x xx f x x x x 当 时 ， 无 解 ；当 时 由 得 解 得( ) 4 4f x x 所 以 的 解 集 为 1 5x x x 或 . (II)记 2 , 0,( ) (2 ) 2 ( ), ( ) 4 2 ,0 ,2 , .a xh x f x a f x h x x a aa x a 则 x 1 1( ) 2, .2 2( ) 2 1 2 ,a ah x xh x x x 由 解 得又 已 知 的 解 集 为1 1,21 2,2aa 所 以 于 是 a=3