2010年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）.pdf

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1、绝密考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部分 3 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共 50 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 柱体的体积公

2、式 P(A+B)=P(A)+P(B) ShV = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积， h表示柱体的高 P(AB)=P(A)P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n ShV31= 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积， h表示锥体的高 knkknnPPCkP= )1()( ),2,1,0( nk L= 球的表面积公式 台体的体积公式 24 RS = )(312211SSSShV += 球的体积公式 其中 S1， S2分别表示台体的上、下底面积 334RV = h表示台体的高 其中 R 表示球的半径

3、一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1）设 4|,4|2k （ B） ?5k （ C） ?6k （ D） ?7k （ 3）设nS 为等比数列 na 的前 n项和， 0852=+aa ，则 =25SS（ A） 11 （ B） 5 （ C） -8 （ D） -11 （ 4）设20= babyax的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点 P，满足 |212FFPF = ，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为 （ A） 043 = yx （ B） 053 = yx （ C） 034 = y

4、x （ D） 045 = yx （ 9）设函数 xxxf += )12sin(4)( ，则在下列区间中函数 )(xf 不存在零点的是 （ A） -4， -2 （ B） -2， 0 （ C） 0， 2 （ D） 2， 4 （ 10）设函数的集合 1,0,1;1,21,0,31|)(log)(2=+= babaxxfP ，平面上点的集合 1,0,1;1,21,0,21|),( = yxyxQ ，则在同一直角坐标系中， P 中函数 )(xf的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 （ A） 4 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 10 绝密考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数

5、学(理科) 非选择题部分 （共 100 分） 注意事项： 1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 （ 11）函数 xxxf2sin22)42sin()( =的最小正周期是 。 （ 12）若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示， 则此几何体的体积是 cm3. （ 13）设抛物线 )0(22= ppxy 的焦点为 F，点 )2,0(A 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为 。 （ 14）

6、设nnxxNnn )313()212(,2 + =nnxaxaxaa K+2210，将 )0( nkak 的最小值记为nT ，则KK ,3121,0,3121,055543332 nTTTTT = 其中 =nT 。 （ 15）设 da ,1为实数，首项为1a ，公差为 d 的等差数列 na 的前 n项和为nS ，满足01565=+SS 则 d 的取值范围是 。 （ 16 ）已知平面向量 ),0(, aaa 满足 aa = 与且,1 的夹角为 120 则a 的取值范围是 。 （ 17）有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、 “握力” 、“台阶”五

7、个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种 （用数字作答） 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 18）（本题满分 14 分） 在 ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 .412cos =C （ I）求 Csin 的值； （ II）当 a=2， CA sinsin2 = 时，求 b 及 c 的长 . （ 19） （本题满分 14 分）如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上面下落到 A 或

8、B 或 C，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动， 若投入的小球落到 A，B， C，则分别设为 1， 2， 3 等奖 . （ I）已知获得 1， 2， 3 等奖的折扣率分别为 50%， 70%， 90%，记随机变量 为获得 )3,2,1( =kk 等奖的折扣率， 求随机变量 的分布列及数学期望 .E （ II）若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P（ 2= ） . （ 20） （本题满分 15 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在线段 AB， AD 上，AE

9、=EB=AF= .432=FD 沿直线 EF 将 AEF 翻折成 ,EFA 使平面 EFA 平面 BEF. （ I）求二面角 CFDA 的余弦值； （ II）点 M， N 分别在线段 FD， BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与 A 重合，求线段 FM 的长 . （ 21） （本题满分 15 分） 已知 1m ， 直线 ,02:2=mmyxl 椭圆21222,1: FFymxC =+ 分别为椭圆 C 的左、右焦点 . （ I）当直线 l过右焦点 F2时，求直线 l的方程； （ II）设直线 l与椭圆 C 交于 A， B 两点，21FAF ，21FBF 的重心分别为

10、 G， H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围 . （ 22 ）（本题满分 14 分）已知 a 是给定的实常数，设函数,)()()(2Rbebxaxxfx+= ax = 是 )(xf 的一个极大值点 . （ I）求 b 的取值范围 ; （ II）设321, xxx 是 )(xf 的 3 个极值点，问是否存在实数 b，可找到 Rx 4，使得4321, xxxx 的某种排列432,iiiixxxx （其中 4,3,2,1,4321=iiii ）依次成等差数列？若存在，示所有的 b 及相应的 ;4x 若不存在，说明理由 . 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运

11、算。每小题 5 分，满分 50 分。 （ 1） B （ 2） A （ 3） D （ 4） B （ 5） D （ 6） B （ 7） C （ 8） C （ 9） A （ 10） B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 （ 11） （ 12） 144 （ 13）324（ 14）0,11,23nn当 为偶数时当 为奇数时（ 15） 22 22dd= 或 （ 16）23(0, 3（ 17） 264 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。 （ 18）本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。 （）解：因为21c

12、os 2 1 2sin4CC= =， 及 0 C = =rurrurrur 所以二面角的余弦值为3.3（）解：设 (4 ,0,0)FM x M x=+则 因为翻折后， C 与 A 重合，所以 CM= A M 故222 22 2(6 ) 8 0 ( 2 ) 2 (2 2)xx+=+ ， 得214x = 经检验，此时点 N 在线段 BG 上 所以21.4FM = 方法二： （）解：取截段 EF 的中点 H， AF 的中点 G，连结 A G ， NH， GH 因为 A EAF= 及 H 是 EF 的中点， 所以 AH/EF。 又因为平面 AEF平面 BEF， 所以 AH平面 BEF， 又 AF 平面

13、 BEF， 故 A HAF ， 又因为 G， H 是 AF， EF 的中点， 易知 GH/AB， 所以 GH AF ， 于是 AF 面 AGH 所以 A GH 为二面角 A DF C 的平面角， 在 RtAGH 中， 22, 2, 23AH GH AG= 所以3cos .3AGH= 故二面角 A DF C 的余弦值为33。 （）解：设 FMx= ， 因为翻折后， G 与 A重合， 所以 CM A M ， 而22 22 28(6)CM DC DM x=+ =+ 222222 2 22(2 2) ( 2) 2AM AH MH AH MG GH x =+=+ + 得214x = 经检验，此时点 N

14、在线段 BC 上， 所以21.4FM = （ 21）本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分 （）解：因为直线2:02mlxmy=经过22(1,0)Fm 所以2221, 22mmm= =得 又因为 1.m 所以 2.m = 故直线 l的方程为 210.xy= （）解：设11 2 2(, ),(, )Ax y Bx y ， 由2222,21mxmyxym=+=消去 x得 222104mymy+= 则由2228( 1) 8 04mmm= = + ， 知28m 且 所以 12.m 于是可设12,x x 是 ()

15、0gx= 的两实根，且12,x x （ 1）当12x ax a=或 时，则 x a= 不是 ()f x 的极值点，此时不合题意 （ 2）当12x ax a且 时，由于 x a= 是 ()f x 的极大值点， 故12.x ax 即 () 0ga 即2(3 ) 2 0a aba baba+ + 所以 ba 所以 b的取值范围是（ -， a ） （）解：由（）可知，假设存了 b及bx 满足题意，则 （ 1）当21x aax=时，则42 4122x xax xa= =或 于是1223.xx ab= + = 即 3.ba= 此时24223(1)826xxaab ab aa=+=+ 或24123(1)82

16、6.xxaab ab aa= = + += （ 2）当21x aax时，则21222( ) ( ) 2( )x aaxax xa = = 或 若22122( ),2axxa ax x+= =则 于是2123( 3) ( 1) 8322ab abaxx + +=+= 即2(1)83(3)ab ab+ += + 于是91312ab+= 此时222 ( 3) 3( 3) 1 133.24 2ax aab abxba+ + + += =+ 若112 22( ),2axax x a+= + =则x 于是2213( 3) ( 1) 8322ab abaxx + +=+= 即2( 1) 8 3( 3)ab ab += + 于是9131.2ab+= 此时122 ( 3) 3( 3) 1 133.24 2ax aab abxba+ + + = =+ 综上所述，存在 b满足题意 当43, 26ba xa= = 时 当4713 113,22ba xa+= = +时 当4713 113,.22ba aa= = +时