【考研类试卷】考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷15及答案解析.doc

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1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 15 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都

2、不对4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(EA)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值5.与矩阵 A （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D

3、.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A （分数：2.00）填空项 1:_9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 ， 3 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A

4、( 1 2 )，A 2 ( 1 2 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 1 2 ，A 2 2 3 ，A 3 3 1 ，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (a，a，1) T 是方程组 AX0 的解， 2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)

5、15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A，r(A)r(0rn)求5EA（分数：2.00）_17.设 A （分数：2.00）_18.设 A （分数：2.00）_19.设 A （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设矩阵 A （分数：2.00）_22.设矩阵 A 可逆， （分数：2.00）_23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 2 2 3 ，A 3 2 1 2 2 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A *

6、2E（分数：2.00）_24.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32 求A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_25.设 A 的一个特征值为 1 2，其对应的特征向量为 1 （分数：2.00）_26.设二维非零向量口不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A 2 A60，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化（分数：2.00）_27.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 2 3 ，A 2 1 3 ，A 3 1 2 (1)求矩

7、阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_28.设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)ABBA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_29.若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ；（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 15 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三

8、阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ， 3 ，2 1 也是特征值 1，2，1 的特征向量，所以 P -1 AP 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对 解析：解析：4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则1 一定是矩阵 A 的特

9、征值 B.若 r(EA)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值解析：解析：若 r(EA)n刚EA0，于是1 为 A 的特征值； 若 A 的短行元素之和为1，则 5.与矩阵 A （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项 D 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A

10、 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB，选 D二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A

11、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为A * A 2 4，且A0，所以A2，又 AA * AE2E，所以 A -1 A * ，从而 A -1 的特征值为 9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 ， 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P -1 (A -1 2E)PP -1 A -1 P2E 而 P -1 A -1 P ， 所以 P -1 (A -1 2E)P 10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A(

12、1 2 )，A 2 ( 1 2 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 3 0）解析：解析：令 1 1 2 A( 1 2 ) 3 A 2 ( 1 2 3 )0，即 ( 1 1 2 1 2 3 ) 1 ( 2 2 2 2 3 ) 2 3 2 3 3 0，则有 1 1 2 1 2 3 0， 2 2 2 2 3 0， 3 2 3 0，因为 1 ， 2 ， 3 只能全为零，所以 11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 1 2 ，A 2 2 3 ，A 3 3 1 ，则A 1（分数：2.00）填

13、空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆， 由AP(A 1 ，A 2 ，A 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 得 12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (a，a，1) T 是方程组 AX0 的解， 2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为 AX0 及(AE)X0 有非零解，所以 1 0， 2 1 为矩阵 A 的特征值， 1 (a，a，1) T

14、 ，a 2 (a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 a 2 a1a0，解得 a113.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由EA 14.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由EA0 得 A 的特征值为 1 2， 2 3 6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)1，解得 a0三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A，r(

15、A)r(0rn)求5EA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 A A(EA)O r(A)r(EA)n )解析：17.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)EA0 1 2 1， 3 1 因为 A 相似于对角阵，所以 r(EA)1 (EA)X0 基础解系为 1 (0，1，0) T ， 2 (1，0，1) T ，(EA)X0 基础解系为 3 (1，2，1) T ，令 P( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 APdiag(1，1，1) (2) -1 A 100 E )解析：18.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个线性无关的特征向量

16、，所以 2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)1， 而 2EA 所以 2，y2 由EA (2) 2 (6)0 得 1 2 2， 3 6 由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 由(6EA)X0 得 6 对应的线性无关的特征向量为 3 令 P ，则有 P -1 AP )解析：19.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值 1 2 1， 3 4 1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 于是 a0，b0 当 1 时，(EA)X0 得 当 1 时，由(EA)X0 得 )解析：20.设 （分数：2.00

17、）_正确答案：(正确答案：(1)因为方程组 AX 有解但不唯一，所以A0，从而 a2 或 a1 当a2 时， r(A)r( )23，方程组有无穷多解； 当 a1 时， r(A)1r( )，方程组无解，故 a2 (2)由EA(3)(3)0 得 1 0， 2 3， 3 3 由(0EA)X0 得 1 0 对应的线性无关的特征向量为 1 ； 由(3EA)X0得 2 3 对应的线性无关的特征向量为 2 ； 由(3EA)X0 得 3 3 对应的线性无关的特征向量为 )解析：21.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)EA( 2 1) 2 (a2)2a1， 把 3 代入上式得a2，于是

18、 (2)由EA 2 0 得 A * 的特征值为 1 2 3 1， 4 9 当1 时，由(EA 2 )X0 得 1 (1，0，0，0) T ， 2 (0，1，0，0) T ， 3 (0，0，1，1) T ； 当 9 时，由(9EA 2 )X0 得 4 (0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 (1，0，0，0) T ， 2 (0，1，0，0) T ， 3 ，将 4 规范化得 4 令 P( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， 则 P T A 2 P )解析：22.设矩阵 A 可逆， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然 a 也是矩阵 A 的特征向量，令 A

19、1 则有 A12，设 A的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 得 2 3 2 对应的 A * 的特征值为 4 (2)2EA )解析：23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 2 2 3 ，A 3 2 1 2 2 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A * 2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) ，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以( 1 ， 2 ， 3 )可逆， 故 A )解析：24.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设

20、矩阵 B(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32 求A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B(A * ) 2 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A * ) 2 的三个特征值为 4936，于是的三个特征值为 236 又因为A * 36A 3-1 ，所以A6 由 ，得 1 3， 2 2， 3 1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A -1 的特征值为 1， )解析：25.设 A 的一个特征值为 1 2，其对应的特征向量为 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)

21、由 A 1 2 1 ， (2)由EA 0，得 1 2 2， 3 1 由(2EA)X0，得 由(EA)X0，得 3 显然 A 可对角化，令P 则 P -1 AP )解析：26.设二维非零向量口不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A 2 A60，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 k 2 A0，可设 k 2 0，所以 A )解析：27.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 2 3 ，A 2 1

22、3 ，A 3 1 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 2 3 0， 由 A( 1 2 3 )2( 1 2 3 )，得 A 的一个特征值为 1 2； 又由 A( 1 2 )( 1 2 )，A( 2 3 )( 2 3 )，得 A 的另一个特征值为 2 1因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 2 与 2 3 也线性无关，所以 2 1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，1，1 (2)因为 1 2 ， 2 3 为属于二重特征值1的两个线性无关的特征向量，所以

23、A 一定可以对角化)解析：28.设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)ABBA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 ABAB 得 ABABEE，(EA)(EB)E， 即 EB 与 EA 互为逆矩阵，于是(EB)(EA)E(EA)(EB)， 故 ABBA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2

24、 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， BA( 1 ， 2 ， 3 )B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i i i 1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B i i i ； 若 B i 0，则 i 是B 的属于特征值。的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令P( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP，P -1 BP 同为对角阵)解析：29.若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且AB， 因为AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 -1 APB， 而 A * AA -1 ，B * BB -1 ， 于是由 P -1 APB，得(P -1 AP) -1 B -1 ，即 P -1 A -1 PB -1 ， 故 P -1 AA -1 PAB -1 或 P -1 A * PB * ，于是 A * B * )解析：