【考研类试卷】考研数学二(矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化)-试卷1及答案解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化)-试卷1 及答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A 为 n 阶实对称矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量,则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )(分数:2.00)A.P 一 1 B.P T C.PD.(P 一 1 ) T 3.已知 (分数:2.00)A.a=一 2,b=6B.a=2,b=一 6C.a=一 2,b=一 6D.a=2
2、,b=64.设矩阵 (分数:2.00)A.a=b=1B.a=b=一 1C.abD.a+b=05.设矩阵 (分数:2.00)A.2B.3C.4D.56.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =0, 3 =一 1,对应的特征向量分别为 1 , 2 , 3 ,记 P=( 3 , 2 , 1 ),则 P 一 1 AP=( )(分数:2.00)A.B.C.D.7.已知矩阵 (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:11,分数:22.00)8.设 A 为 n 阶矩阵,A0,A * 为 A 的伴随矩阵层为 n 阶单位矩阵,若 A 有特征值 ,则(A * ) 2 +E 必有特征值 1(分
3、数:2.00)填空项 1:_9.设 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a,则 A 3 +3A 2 +2A+E 必有特征值 1.(分数:2.00)填空项 1:_10.若 4 阶矩阵 A 与 B 相似,矩阵 A 的特征值为 (分数:2.00)填空项 1:_11.已知向量 (分数:2.00)填空项 1:_12.设 A 为 2 阶矩阵, 1 , 2 为线性无关的 2 维列向量,A 1 =0,A 2 =2 1 + 2 ,则 A 的非零特征值为 1.(分数:2.00)填空项 1:_13.设 3 维列向量 , 满足 T =2,则 B T 的非零特征值为 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 3 阶方阵
4、 A=( 1 , 2 , 3 )的 3 个特征值各不相同,且 3 维列向量 1 , 2 , 3 满足 1 = 2 +2 3 ,则 r(A)= 1.(分数:2.00)填空项 1:_15.设 A=(a ij ) 33 =(b ij ) 33 ,且 A 相似于 B,A 的特征值为 1,2,3则 B 的伴随矩阵 B * 的迹trB * = 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设 3 阶矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_17.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A * 为 A 的伴随矩阵,则矩阵 AA * 的全部特征值为 1,特征向量为 2.(分数:2.00)填空项 1:_18.设 1 , 2 是 n
5、阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值, 1 是属于 1 的单位特征向量,则矩阵A 1 1 1 1 必有两个特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:14,分数:30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_20.设矩阵 (分数:2.00)_设向量 =(a 1 ,a 2 ,a n ) T ,=(b 1 ,b 2 ,b n ) T 都是非零向量,且满足条件 T =0记 n 阶矩阵 A= T ,试求:(分数:4.00)(1).A 2 ;(分数:2.00)_(2).矩阵 A 的特征值和特征向量(分数:2.00)_21.设矩阵 (分数:2.00)_22.设矩阵 (
6、分数:2.00)_23.设 3 阶矩阵 A 满足 A 2 3A+2E=O,且A=2,求矩阵 A 的全部特征值(分数:2.00)_24.设 A=E+ T ,其中 =( 1 , 2 , 3 ) T ,且 T =2,求 A 的特征值和特征向量(分数:2.00)_25.设 n 阶矩阵 (分数:2.00)_26.若矩阵 (分数:2.00)_27.设矩阵 (分数:2.00)_28.设矩阵 (分数:2.00)_29.设矩阵 (分数:2.00)_设矩阵 A 与 B 相似,且 (分数:4.00)(1).求 a,b 的值;(分数:2.00)_(2).求可逆矩阵 P,使 P 一 1 AP=B(分数:2.00)_30
7、.已知 (分数:2.00)_考研数学二(矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化)-试卷1 答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A 为 n 阶实对称矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量,则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )(分数:2.00)A.P 一 1 B.P T C.PD.(P 一 1 ) T 解析:解析:本题考查矩阵的特征值与特征向量的概念及性质由于(P 一 1 AP
8、)P=PA T (P -1 ) T P T =P T A(P T ) -1 P T =P T A=P T =P T 由特征值与特征向量的定义知(P 一 1 AP) T 属于特征值 A 的特征向量为 P T 因而应选 B3.已知 (分数:2.00)A.a=一 2,b=6 B.a=2,b=一 6C.a=一 2,b=一 6D.a=2,b=6解析:解析:本题考查特征值与特征向量的概念,用定义 Ax=x 直接求得由特征值与特征向量定义 得4.设矩阵 (分数:2.00)A.a=b=1B.a=b=一 1C.abD.a+b=0 解析:解析:本题考查用 A 的特征方程E-A=0 求特征值和 A 的 k 重特征值
9、对应 k 个线性无关的特征向量的充要条件是 r(A k E)=n 一 k 由 A 的特征方程 得 A 的特征值为 1 = 2 =1, 3 =一 1,由于对应于不同特征值所对应的特征向量线性无关,所以当 A 有 3 个线性无关的特征向量时,对应于特征值 1 = 2 =1 应有两个线性无关的特征向量,从而 r(BA)=1,由 5.设矩阵 (分数:2.00)A.2B.3C.4 D.5解析:解析:本题考查相似矩阵的定义和性质以及矩阵的秩因 A 相似于 B,所以存在可逆矩阵 P,使A=PBP 一 1 从而 r(A 一 2E)+r(AE)=r(P 一 1 BP 一 2E)+r(P 一 1 BP-E)=rP
10、 一 1 (B 一 2E)P+rP 一 1 (BE)P=r(B 一 2E)+r(BE) 6.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =0, 3 =一 1,对应的特征向量分别为 1 , 2 , 3 ,记 P=( 3 , 2 , 1 ),则 P 一 1 AP=( )(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:本题考查相似对角矩阵的概念 注意相似变换矩阵 P 的列的顺序与其对应的特征值构成的对角矩阵 A 的列的顺序相同由于 A 1 =1 1 ,A 2 =0 2 ,A 3 =(-1) 3 ,所以 又由于 1 , 2 , 3 是不同的特征值对应的特征向量,所以 1 , 2 , 3 线性无关,
11、从而 P=( 3 , 2 , 1 )可逆 故 7.已知矩阵 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:本题考查矩阵 B 相似于对角矩阵 A 的充分必要条件是对于 B 的 k 重特征值 k ,则有 r( k E-B)=nk 显然 二、填空题(总题数:11,分数:22.00)8.设 A 为 n 阶矩阵,A0,A * 为 A 的伴随矩阵层为 n 阶单位矩阵,若 A 有特征值 ,则(A * ) 2 +E 必有特征值 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:本题主要考查 A 的特征值和与 A 有关的矩阵的特征值之间的关系,要求考生掌握若 是 A的特征值,则 是 A
12、 * (A 的伴随矩阵)的特征值,()是 (A)的特征值其中 (A)是 A 的多项式矩阵,()是 的多项式由于 是 A 的特征值,所以 是 A * 的特征值从而(A * ) 2 +E必有特征值 9.设 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a,则 A 3 +3A 2 +2A+E 必有特征值 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a 3 +3a 3 +2a+1)解析:解析:本题考查矩阵 A 的特征值的概念,若 是 A 的特征值,则 的多项式也是 A 的多项式矩阵的特征值 由于 10.若 4 阶矩阵 A 与 B 相似,矩阵 A 的特征值为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确
13、答案:正确答案:24)解析:解析:本题考查相似矩阵的性质、特征值的概念、性质及公式由矩阵 A 与 B 相似,知 A 与 B 有相同的特征值,因此 B 的特征值也为 11.已知向量 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1 或一 2)解析:解析:本题考查 A 与 A 一 1 的特征值、特征向量的关系设 是 A 一 1 的对应于 的特征值,则A 一 1 =,即 =A,亦即 12.设 A 为 2 阶矩阵, 1 , 2 为线性无关的 2 维列向量,A 1 =0,A 2 =2 1 + 2 ,则 A 的非零特征值为 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解
14、析:本题考查矩阵特征值与特征向量的概念,相似矩阵的概念,矩阵与列向量组的关系 由于A( 1 , 2 )=(A 1 ,A 2 )=(02 1 + 2 ) 令 则有 AP=PB,由于 1 , 2 线性无关,从而 P=( 1 , 2 )可逆,于是 P 一 1 AP=B,再由 13.设 3 维列向量 , 满足 T =2,则 B T 的非零特征值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:本题考查特征值与特征向量的概念,用特征值与特征向量的定义求抽象矩阵的特征值因为 T =2,所以( T )=2,由定义得 2 是 T 的一个特征值,故应填 214.设 3 阶方阵 A=(
15、 1 , 2 , 3 )的 3 个特征值各不相同,且 3 维列向量 1 , 2 , 3 满足 1 = 2 +2 3 ,则 r(A)= 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:本题考查矩阵特征值的性质:A 不可逆,则 A 必有零特征值由于 1 = 2 +2 3 ,所以 1 , 2 , 3 线性相关,从而 A 不可逆,故 0 是 A 的一个特征值,又由于 A 的 3 个特征值各不相同,则 A 的另两个特征值必不为零,且 A 可相似对角矩阵,此对角矩阵主对线上元素是 A 的 3 个特征值,因此对角矩阵的秩为 2,从而 r(A)=215.设 A=(a ij ) 33
16、 =(b ij ) 33 ,且 A 相似于 B,A 的特征值为 1,2,3则 B 的伴随矩阵 B * 的迹trB * = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:11)解析:解析:本题考查矩阵迹的概念和特征值的性质由于 A 相似于 B,所以 B 的特征值为 1,2,3从而B=123=6,于是得 B * 的特征值为 16.设 3 阶矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2)解析:解析:本题考查矩阵重特征值的重数与其对应线性无关特征向量的个数的关系 由于矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量,所以矩阵 A 有 3 重特征值,设 是 A 的特征值所以有 3
17、=42+1,从而=1 于是17.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A * 为 A 的伴随矩阵,则矩阵 AA * 的全部特征值为 1,特征向量为 2.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:特征值为 =A,特征向量 k 1 e 1 +k 2 e 2 +k n e n ,其中 k 1 ,k 2 ,,k n 为 R n 的标准正交基,k 1 ,k 2 ,,k n 是不同时为零的任意常数)解析:解析:本题考查特征值与特征向量的概念和求法由于矩阵 A 可逆,故A0,又因为 AA * =AE,即得AA * 一AE=0,因此矩阵 AA * 的全部特征值为 =A,是 n 重特征值对于=A,EAA *
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