【考研类试卷】考研数学二(矩阵的特征值和特征向量、二次型)历年真题试卷汇编1及答案解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量、二次型)历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分:52.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.(2005 年)设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1 , 2 ,则 1 ,A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是 【 】(分数:2.00)A. 1 0B. 2 0C. 1 0D. 2 03.(2010 年)设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A 2 AO若 A 的秩为 3,则 A 相似于 【 】(分数:2.00)A.
2、B.C.D.4.(2013 年)矩阵 (分数:2.00)A.a0,b2B.a0,b 为任意常数C.a2,b0D.a2,b 为任意常数5.(2007 年)设矩阵 (分数:2.00)A.合同,且相似B.合同,但不相似C.不合同,但相似D.既不合同,也不相似6.(2008 年)设 A (分数:2.00)A.B.C.D.7.(2015 年)设二次型 f( 1 , 2 , 3 )在正交变换 Py 下的标准形为 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ,其中 P(e 1 ,e 2 ,e 3 )若 Q(e 1 ,e 3 ,e 2 ),则 f( 1 , 2 , 3 )在正交变换Qy,下的标准形为 【 】(分数:
3、2.00)A.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 B.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 C.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 D.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)8.(2002 年)矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_9.(2008 年)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3,若行列式2A48,则 1(分数:2.00)填空项 1:_10.(2009 年)设 , 为 3 维列向量, T 为 的转置若矩阵 T 相似于 (分数:2.00)填空项 1:_11.(2015 年)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,2,1,BA 2 AE,其中
4、 E 为 3 阶单位矩阵,则行列式B 1(分数:2.00)填空项 1:_12.(2011 年)二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ,则厂的正惯性指数为 1(分数:2.00)填空项 1:_13.(2014 年)设二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 2 2a 1 3 4 2 3 的负惯性指数为 1,则 a 的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_15.(2003 年)若矩阵 A (分数:2.00)
5、_16.(2004 年)设矩阵 A (分数:2.00)_17.(2006 年)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1 (1,2,1) T , 2 (0,1,1) T 是线性方程组 A0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量; ()求正交矩阵 Q和对角矩阵 A,使得 Q T AQA(分数:2.00)_18.(2007 年)设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2,且 1 (1,1,1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 BA 5 4A 3 E,其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证 是矩阵B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; (
6、)求矩阵 B(分数:2.00)_19.(2008 年)设 A 为 3 阶矩阵, 1 , 2 为 A 的分别属于特征值1,1 的特征向量,向量 3 满足A 3 2 3 ()证明 1 , 2 , 3 线性无关; ()令 P 1 , 2 , 3 ,求 P -1 AP(分数:2.00)_20.(2010 年)设 A ,正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为 (分数:2.00)_21.(2011 年)设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (分数:2.00)_22.(2014 年)证明 n 阶矩阵 (分数:2.00)_23.(2015 年)设矩阵 A 相似于矩阵 B
7、 (分数:2.00)_24.(2009 年)设二次型 f( 1 , 2 , 3 )a 1 2 a 2 2 (a1) 3 2 2 1 3 2 2 3 ()求二次型厂的矩阵的所有特征值; ()若二次型 f 的规范形为 y 1 2 y 2 2 求 a 的值(分数:2.00)_25.(2012 年)已经知 A (分数:2.00)_26.(2013 年)设二次型 f( 1 , 2 , 3 )2(a 1 1 a 2 2 a 3 3 )(b 1 1 b 2 2 b 3 3 ) 2 ,记 (分数:2.00)_考研数学二(矩阵的特征值和特征向量、二次型)历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分:52.00,做题时间
8、:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.(2005 年)设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1 , 2 ,则 1 ,A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是 【 】(分数:2.00)A. 1 0B. 2 0 C. 1 0D. 2 0解析:解析:由 1 2 及特征值的性质知 1 , 2 线性无关显然,向量组 1 ,A( 1 2 ) 1 , 1 1 2 2 等价于向量组 1 , 2 , 2 )当 2 0 时,它线性无关,当 2 0 时,它线性相关,故 1 ,
9、A( 1 2 )线性无关 3.(2010 年)设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A 2 AO若 A 的秩为 3,则 A 相似于 【 】(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:设 A 为 A 的特征值且 为对应的特征向量,则有 A m m (m1,2,),故有 (A 2 A)O0, 即( 2 )0, 因 0,得 2 0,从而有 0 或 1,又因 r(A)3,所以 A 的非零特征值有 3 个,有 1 个特征值为 0,即 A 的全部特征值为:1,1,1,0,所以只有选项 D 正确4.(2013 年)矩阵 (分数:2.00)A.a0,b2B.a0,b 为任意常数 C.a2,b0D.a2,b 为
10、任意常数解析:解析:B 为对角矩阵,B 的特征值为其主对角线元素 2,6,0若 A 与 B 相似,则由相似矩阵有相同的特征值,知 2 为 A 的一个特征值,从而有 由此得 a0当 a0 时,矩阵 A 的特征多项式为5.(2007 年)设矩阵 (分数:2.00)A.合同,且相似B.合同,但不相似 C.不合同,但相似D.既不合同,也不相似解析:解析:由 A 的特征方程 6.(2008 年)设 A (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:记 D 项中的矩阵为 D,则由 知 A 与 D 有相同的特征值 3 与1,它们又都是实对称矩阵,因此存在正交矩阵 P 与 Q,使 P T AP Q T DQ
11、, 7.(2015 年)设二次型 f( 1 , 2 , 3 )在正交变换 Py 下的标准形为 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ,其中 P(e 1 ,e 2 ,e 3 )若 Q(e 1 ,e 3 ,e 2 ),则 f( 1 , 2 , 3 )在正交变换Qy,下的标准形为 【 】(分数:2.00)A.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 B.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 C.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 D.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 解析:解析:设二次型的矩阵为 A,则由题意知矩阵 P 的列向量 e 1 ,e 2 ,e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量,对应的
12、特征值依次是 2,1,1即有 Ae 1 2e 1 ,Ae 2 2e 2 ,Ae 3 2e 3 从而有 AQA(e 1 ,e 3 ,e 2 )(Ae 1 ,Ae 3 ,Ae 2 )(2e 1 ,(e 3 ),e 2 ) (e 1 ,e 3 ,e 2 ) 矩阵 Q 的列向量 e 1 ,e 3 ,e 2 仍是 A 的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,1,1矩阵 Q 是正交矩阵,有 Q -1 Q T ,上式两端左乘 Q -1 得 Q -1 AQQ T AQ 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)8.(2002 年)矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:
13、解析:由 A 的特征方程9.(2008 年)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3,若行列式2A48,则 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:由于方阵的行列式等于方阵的全部特征值的乘积,故有 482A8A82348,于是 110.(2009 年)设 , 为 3 维列向量, T 为 的转置若矩阵 T 相似于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为矩阵相似于对角矩阵时,则对角矩阵的对角元即为矩阵的特征值,故 T 的全部特征值为 1 2, 2 3 0设 (a 1 ,a 2 ,a 3 ) T ,(b 1 ,b 2 ,b 3 )
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