【考研类试卷】考研数学二(一元函数微分学)-试卷6及答案解析.doc
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1、考研数学二(一元函数微分学)-试卷 6 及答案解析(总分:90.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:28,分数:56.00)1.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_2.已知 (分数:2.00)填空项 1:_3.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0),A 为正常数,则 A 至少为 1 时,有 f(x)20(x0)(分数:2.00)填空项 1:_4.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_5.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0,2上的最小值为 1,最大值为 2(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_6.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_7.=
2、 1. (分数:2.00)填空项 1:_8.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_9.函数 y=x 2x 在区间(0,1上的最小值为 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_12.函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y (n) (0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加,宽 以 3 cms 的速率增加则当 l=12 cm,=5cm时,它的对角线增加速率为 1(分数:2.00)填
3、空项 1:_14.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_15.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1,0)处有公共的切线,则 (分数:2.00)填空项 1:_16.设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_17.设函数 ,则 y=f(x)的反函数 x=f 1 (y)在 y=0 处的导数 (分数:2.00)填空项 1:_18.曲线 y=x 2 +x(x0)上曲率为 (分数:2.00)填空项 1:_19.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_20.若 (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_21.设函数 f
4、(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f“(x)=e f(x) ,f(2)=1,则 f“(2)= 1(分数:2.00)填空项 1:_22.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_23.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_24.设可导函数 y=y(x)由方程 (分数:2.00)填空项 1:_25.设 (分数:2.00)填空项 1:_26.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_27.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1,0),则 b= 1.(分数:2.00)填空项 1:_28.设 y=y(x)是由 (分数:2.00)填空项 1:_二、解答题(总题数:15,分数:34.00)
5、29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_30.已知曲线 L 的方程 (分数:2.00)_31.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b)=1,证明必存在 ,(a,b),使得 e f()+f“()=1(分数:2.00)_32.设函数 f(x)满足 f(1)=f“(1)=2求极限 (分数:2.00)_33.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数,且 f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0,证明当 f“(x 0 )0,f(x)在 x 0 处取得极小值。(分数:2.00)_设 f(x)为一 a,a上的连续偶函数,且 f(x)0,令 F(x)= -a a
6、xtf(t)dt(分数:6.00)(1).证明 F“(t)单调增加(分数:2.00)_(2).当 x 取何值时,F(x)取最小值(分数:2.00)_(3).当 F(x)的最小值为 f(a)一 a 2 一 1 时,求函数 f(x)(分数:2.00)_34.证明函数恒等式 (分数:2.00)_35.设函数 (分数:2.00)_36.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值,求 f(x)的单调区间、极值点和拐点(分数:2.00)_37.设函数 y=y(x)由参数方程 确定,其中 x(t)是初值问题 (分数:2.00)_38.设 D 是位于曲线 (分数:2.00
7、)_39.已知函数 f(u)具有二阶导数,且 f“(0)=1,函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y-1 =1 所确定设 z=f(lnysinx),求 (分数:2.00)_40.设 f(x)在0,+)连续,且满足 (分数:2.00)_设函数 f(x)在0,3上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 (分数:4.00)(1).证明存在 (0,2),使 f()=f(0);(分数:2.00)_(2).证明存在 (0,3),使 f“()=0(分数:2.00)_41.设 ,求(1) (2) (分数:2.00)_考研数学二(一元函数微分学)-试卷 6 答案解析(总分:90.00,做题时间:90 分钟)一
8、、填空题(总题数:28,分数:56.00)1.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(一 1,一 6))解析:解析:由题设 ,则有2.已知 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由题干可知,3.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0),A 为正常数,则 A 至少为 1 时,有 f(x)20(x0)(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:64)解析:解析:要使 f(x)20,只需 3x 5 +A20x 3 ,即 20x 3 一 3x 5 A(x0)设 g(x)=20x 3 一 3x 5 ,则 A 至少是 g(x)在(
9、0,+)内的最大值 由于 4.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=2x)解析:解析: 所以5.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0,2上的最小值为 1,最大值为 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)填空项 1:_ (正确答案:27)解析:解析:令 (x)=4x 3 一 18x 2 +27,则 6.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:利用洛必达法则,则有7.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:运用洛必达法则,8.= 1. (分数:
10、2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:sinx 2)解析:解析:9.函数 y=x 2x 在区间(0,1上的最小值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 y“=x 2x (21nx+2),令 y“=0 得驻点为 10.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:对 f(x)求导,f“(x)=e -x4 .2x=0,得 x=0当 x0 时 f“(x)0;当 x0 时 f“(x)0,所以极小值点为 x=0,极小值为 f(0)=0 11.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数,则 (分数:2.
11、00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 3)解析:解析:对 x 求导可得,12.函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y (n) (0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2 n (n 一 1)!)解析:解析:将 ln(1+t)按照泰勒公式展开成级数的形式:13.已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加,宽 以 3 cms 的速率增加则当 l=12 cm,=5cm时,它的对角线增加速率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3cms)解析:解析:设 l=x(t),w=y(t),对角线增加的速率为 s(t)根据题
12、意,在 t=t 0 时,x(t 0 )=12,y(t 0 )=5,且 x“(t 0 )=2,y“(t 0 )=3又因 14.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:15.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1,0)处有公共的切线,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2)解析:解析:本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线16.设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:将 x=0 代入原方程可得 y=0方程
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