【考研类试卷】考研数学二(一元函数微分学)-试卷5及答案解析.doc
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1、考研数学二(一元函数微分学)-试卷 5 及答案解析(总分:84.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.曲线 (分数:2.00)A.y=x+1B.y=一 x+1C.y=一 x 一 1D.y=x13.当 x0 时,曲线 y= (分数:2.00)A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线,也有铅直渐近线D.既无水平渐近线,也无铅直渐近线4.曲线 (分数:2.00)A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线,也有铅直渐近线5.曲线 (分数
2、:2.00)A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条6.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n),其中 n 为正整数,则 f“(0)= ( )(分数:2.00)A.(一 1) n-1 (n1)!B.(一 1) n (n1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!7.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=1,f(1)=0,则在(0,1)内至少存在一点 ,使 ( )(分数:2.00)A.B.C.D.8.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.9.若 f(x)在开区间(a,b)内
3、可导,且 x 1 ,x 2 是(a,b)内任意两点,则至少存在一点 ,使下列诸式中成立的是 ( )(分数:2.00)A.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 1 一 x 2 )f“(),(a,b)B.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 1 一 x 2 )f“(), 在 x 1 ,x 2 之间C.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 2 一 x 1 )f“(),x 1 x 2D.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 2 一 x 1 )f“(),x 1 x 210.在区间0,8内,对函数 f(x)= (分数:2.00)A.不成立B.成立,并且 f“(2)=0C.成立,并且 f“(4)=0
4、D.成立,并且 f“(8)=011.给出如下 5 个命题: (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一,+)内有定义,且 x 0 0 是 f(x)的极大值点,则一 x 0 必是一 f(一 x)的极大值点; (2)设函数 f(x)在a,+)上连续,f“(x)在(a,+)内存在且大于零,则 F(x)= (分数:2.00)A.2B.3C.4D.5二、填空题(总题数:6,分数:12.00)12. (分数:2.00)填空项 1:_13.设 y=cos x 2 sin 2 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 y= (分数:2.00)填空项 1:_15. (分数:2.00)填空项 1:_16.y=sin
5、 4 x+cos 4 x,则 y (n) = 1(n1)(分数:2.00)填空项 1:_17.落在平静水面的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是 6ms,问在 2s 末扰动水面面积的增大率为 1m 2 s(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:25,分数:50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_19.设 f(x)在(a,b)内可导,满足(1) (2)f“(x)+f 2 (x)+10, (分数:2.00)_20.若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的,且 (k) (x 0 )= (k) (x 0 ),k=0,1,2,n 一 1
6、又xx 0 时, (n) (x) (n) (x)试证:当 xx 0 时,(x)(x)(分数:2.00)_21.设函数 f(x)在(a,b)内存在二阶导数,且 f“(x)0试证: (1)若 x 0 (a,b),则对于(a,b)内的任何 x,有 f(x 0 )f(x)一 f“(x 0 )(xx 0 ),当且仅当 x=x 0 时等号成立; (2)若 x 1 ,x 2 ,x n (a,b),且 x i x i+1 (i=1,2,n 一 1),则 其中常数 k i 0(i=1,2,n)且(分数:2.00)_22.若 x一 1,证明:当 01 时,有(1+x) 1+x;当 0 或 1 时,有(1+x) 1
7、+x(分数:2.00)_23.求证:当 x0 时,有不等式 arctan x+ (分数:2.00)_24.利用导数证明:当 x1 时, (分数:2.00)_25.设 x(0,1),证明下面不等式:(1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ;(2) (分数:2.00)_26.求证:当 x0 时,(x 2 一 1)ln x(x 一 1) 2(分数:2.00)_27. (分数:2.00)_28.求使不等式 (分数:2.00)_29.设函数 f(x)在(一,+)内二阶可导,且 f(x)和 f“(x)在(一,+)内有界,证明:f“(x)在(一,+)内有界(分数:2.00)_30.设 n 为自然数,试证
8、: (分数:2.00)_31.证明:函数 f(x)在 x 0 处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x, (分数:2.00)_32.已知 f(x)二阶可导,且 f(x)0,f(x)f“(x)一(f“(x) 2 0 (xR) (分数:2.00)_33.设 f(x)在闭区间0,c上连续,其导数 f“(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少,f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明: f(a+b)f(a)+f(b),其中常数 a,b 满足条件 0aba+bC(分数:2.00)_34. (分数:2.00)_35.证明:当 0ab 时,bsin b+2cos b+basina+2cos
9、a+a(分数:2.00)_36.设 bae,证明:a b b a (分数:2.00)_37.证明:当 x0 时,不等式 (分数:2.00)_38. (分数:2.00)_39.若函数 f(x)在(0,+)上有定义,在 x=1 点处可导,且对于任意的正数 a,b 总有 f(ab)=f(a)+f(b),证明:f(x)在(0,+)上处处可导,且 f“(x)= (分数:2.00)_40.设 f(x)和 g(x)是对 x 的所有值都有定义的函数,具有下列性质: (1)f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x); (2)f(x)和 g(x)在 x=0 处可微,且当 x=0 时,f(0)=0,g(0)=
10、1,f“(0)=1,g(0)=0证明:f(x)对所有x 都可微,且 f“(x)=g(x)(分数:2.00)_41.用导数定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数(分数:2.00)_42.用导数定义证明:可导的周期函数的导函数仍是周期函数,且其周期不变(分数:2.00)_考研数学二(一元函数微分学)-试卷 5 答案解析(总分:84.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.曲线 (分数:2.00)A.y=x+1B.y=一 x+1C.y=一 x 一
11、 1 D.y=x1解析:解析:3.当 x0 时,曲线 y= (分数:2.00)A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线,也有铅直渐近线D.既无水平渐近线,也无铅直渐近线解析:解析:4.曲线 (分数:2.00)A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线,也有铅直渐近线 解析:解析:5.曲线 (分数:2.00)A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析:解析: ,曲线 y=f(x)有水平渐近线 曲线 y=f(x)有铅:直渐近线 x=0 曲线 y=f(x)无斜渐近线6.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n),
12、其中 n 为正整数,则 f“(0)= ( )(分数:2.00)A.(一 1) n-1 (n1)! B.(一 1) n (n1)!C.(一 1) n-1 n!D.(一 1) n n!解析:解析:用导数定义7.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=1,f(1)=0,则在(0,1)内至少存在一点 ,使 ( )(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:设 F(x)=xf(x),则 F(x)在0,1上满足罗尔定理的条件,故存在 (0,1),使得(xf(x)| x= =0,即 f()+f()=0,有 f“()= 8.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) (分数
13、:2.00)A.B. C.D.解析:解析:因为 f(x)=xe x ,f(0)=0,f“(x)=e x (1+x),f“(0)=1,f (n) (x)=e x (n+x),f (n) (0)=n,f n+1 (x)=e x (n+1+x),f (n+1) (x)=e x (n+1+x),依次代入到泰勒公式,即得(B)9.若 f(x)在开区间(a,b)内可导,且 x 1 ,x 2 是(a,b)内任意两点,则至少存在一点 ,使下列诸式中成立的是 ( )(分数:2.00)A.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 1 一 x 2 )f“(),(a,b)B.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 1
14、一 x 2 )f“(), 在 x 1 ,x 2 之间 C.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 2 一 x 1 )f“(),x 1 x 2D.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 2 一 x 1 )f“(),x 1 x 2解析:解析:由拉格朗日中值定理易知(A),(C)错,(B)正确,又因未知 x 1 与 x 2 的大小关系,知(D)不正确10.在区间0,8内,对函数 f(x)= (分数:2.00)A.不成立B.成立,并且 f“(2)=0C.成立,并且 f“(4)=0 D.成立,并且 f“(8)=0解析:解析:因为 f(x)在0,8上连续,在(0,8)内可导,且 f(0)=f(8),故 f
15、(x)在0,8上满足罗尔定理条件令11.给出如下 5 个命题: (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一,+)内有定义,且 x 0 0 是 f(x)的极大值点,则一 x 0 必是一 f(一 x)的极大值点; (2)设函数 f(x)在a,+)上连续,f“(x)在(a,+)内存在且大于零,则 F(x)= (分数:2.00)A.2B.3 C.4D.5解析:解析:对上述 5 个命题一一论证 对于(1),只要注意到:若 f(x)在点 x 0 取到极大值,则一 f(x)必在点 x 0 处取到极小值,故该结论错误; 对于(2),对任意 xa由拉格朗日中值定理知,存在(a,x)使 f(x)-f(a)=f“()
16、(xa),则 由 f“(x)0 知,f“(x)在(a,+)内单调增加因此,对任意的 x 与 ,ax,有 f“(x)f“(),从而由上式得 F(x)0,所以函数 F(x)在(a,一)内单调增加,该结论正确; 对于(3),因 f“(x 0 )=0,故所给定的方程为 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)12. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:13.设 y=cos x 2 sin 2 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:14.设 y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:15. (分数
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