【考研类试卷】考研数学二（一元函数微分学）-试卷16及答案解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 16 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)= ( )（分数：2.00）A.(一 1) n 一 1 (n 一 1)!B.(一 1) n (n1)!C.(一 1) n 一 1 n!D.(一 1) n n!4.设 f(x)在0，1上连续，在

2、(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.f(x)=xe n 一 1 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 1 一 x 2 )f“()，(a，b)B.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 1 一 x 2 )f“()， 在 1 x，x 2 之间C.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x

3、 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 2D.f(x 1 )一 f(x 1 )=(x 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 27.在区间0，83 内，对函数 f(x)= （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0D.成立，并且 f“(8)=08.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则一 x 0 必是一 f(一 x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3C.4D.5

4、二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 y=cos x 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.y=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_13.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 ms，问在 2 s 末扰动水面面积的增大率为 1m 2 s（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.

5、利用导数证明：当 x1 时， （分数：2.00）_16.设 x(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ；(2) （分数：2.00）_17.求证：当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1) 2 （分数：2.00）_18.证明： （分数：2.00）_19.求使不等式 （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+)内有界，证明：f“(x)在(一，+)内有界（分数：2.00）_21.设 n 为自然数，试证： （分数：2.00）_22.证明：函数 f(x)在 x 0 处可导的充要条件是存在一个关于x

6、的线性函数 L(x)=x，使 （分数：2.00）_23.已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一f“(x) 2 0(xR) (1)证明：f(x 1 )f(x 2 )f 2 （分数：2.00）_24.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_25.证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_26.证明：当 0ab 时，bsin b+2cos b+basin a+2cos a+a（分数：2.00）_

7、27.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_28.证明：当 x0 时，不等式 （分数：2.00）_29.证明：当 x （分数：2.00）_30.(1)证明：当x充分小时，不等式 0tan 2 x 一 x 2 x 4 成立； (2)设 x n = （分数：2.00）_31.若函数 f(x)在(0，+)上有定义，在 x=1 点处可导，且对于任意的正数 a，b 总有 f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+)上处处可导，且 f“(x)= （分数：2.00）_32.设 f(x)和 g(x)是对 x 的所有值都有定义的函数，具有下列性质： (1)f(x+y)=f(x)g(

8、y)+f(y)g(x)； (2)f(x)和 g(x)在 x=0 处可微，且当 x=0 时，f(0)=0，g(0)=1，f“(0)=1，g“(0)=0证明：f(x)对所有 x都可微，且 f“(x)=g(x)（分数：2.00）_33.用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数（分数：2.00）_34.用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 16 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符

9、合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：3.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)= ( )（分数：2.00）A.(一 1) n 一 1 (n 一 1)! B.(一 1) n (n1)!C.(一 1) n 一 1 n!D.(一 1) n n!解析：解析：用导数定义4.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设

10、 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，1)，使得xf(x)“ x= =0，即 f“()+f()=0，有 f“(=一 5.f(x)=xe n 一 1 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 f(x)=xe x ，f(x)=0，f“(x)=e x (1+x)，f“(0)=1，f (n) (x)=e x (n+x)，f (n) (0)=n，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)6.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x

11、 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )一 f(x 1 )=(x 1 一 x 2 )f“()，(a，b)B.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 1 一 x 2 )f“()， 在 1 x，x 2 之间 C.f(x 1 )一 f(x 2 )=(x 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 2D.f(x 1 )一 f(x 1 )=(x 2 一 x 1 )f“()，x 1 x 2解析：解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又由未知 x 1 与 x 2 的大小关系，知(D)不正确7.在区间0，83 内

12、，对函数 f(x)= （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f“(2)=0C.成立，并且 f“(4)=0 D.成立，并且 f“(8)=0解析：解析：因为 f(x)在0，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件 令 f“(x)=8.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则一 x 0 必是一 f(一 x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3 C.4D.5解析：

13、解析：对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x 0 取到极大值，则一 f(x)必在点 x 0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意 xa，由拉格朗日中值定理知，存在(a，x)使 f(x)一 f(a)=f“()(x 一 a)，则 由 f“(x)0 知，f“(x)在(a，+)内单调增加因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f“(x)f“()，从而由上式得 F“(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确； 对于(3)，因 f“(x 0 )=0，故给定的方程为 f“(x 0 )= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 y=cos

14、 x 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2xsinx 2 sin 2 ）解析：解析：10.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一*）解析：解析：12.y=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4 n 一 1 cos(4x+ ）解析：解析：13.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 ms，问在 2 s 末扰动水面面积的增大率为 1

15、m 2 s（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：144）解析：解析：设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r 2 (t)，故 s“(t)=2r(t)r“(t)，由题知 r“(t)=6，r(t)=6t，所以 s“(2)=2r(2)6=144(m 2 s)三、解答题(总题数：21，分数：42.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.利用导数证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xln x，有 f(1)=2ln 20 由

16、f“(x)=ln(1+ )0(x0)知，f(x)单调递增，且当 x1 时， f(x)f(1)=2ln 20，ln x0， 从而得 )解析：16.设 x(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=x 2 一(1+x)ln 2 (1+x)，有 (0)=0，且 “(x)=2xln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，“(0)=0 当 x(0，1)时，“(x)= x 一 ln(1+x)0。则 “(x)单调递增从而 “(x)“(0)=0，则 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln 2 (1

17、+x)x 2 )解析：17.求证：当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=(x 2 一 1)ln x 一(x1) 2 ，所以 f(1)=0 )解析：18.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求使不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)一 x 2 ，x0，1，则 g(0)=0，且 G(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)一 2x，g(0)=0， 故 g“(x)在0，1上严格单调递减，所以 g“(x)g“(0)=0同理，g(x)在

18、0，1上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)一 x 2 0，从而f“(x)0(0x1)，因此 f(x)在(0，1上也严格单调递减 )解析：20.设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+)内有界，证明：f“(x)在(一，+)内有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在正常数 M 0 ，M 2 ，使得 z(一，+)，恒有 f(x)M 0 ，f“(x)M 2 由泰勒公式，有 )解析：21.设 n 为自然数，试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：右端不等式等价于证明 从而，当 x0 时，f“(x)单调增，且当

19、 x+时，f“(x)趋于零，所以，当 x0 时，f“(x)0进而可知当 x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当 x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有 从而右端不等式成立 类似地，引入辅助函数 )解析：22.证明：函数 f(x)在 x 0 处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 若 f(x)在 x 0 点可导，则 f(x)在 x 0 点可微，由可微的定义知， f(x 0 +x)一 f(x 0 )=x+o(x)(其中 为常数)，取 L(x)=x， )解析：23.已知 f

20、(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一f“(x) 2 0(xR) (1)证明：f(x 1 )f(x 2 )f 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f“(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用拉格朗日中值定理 当 a=0 时，等号成立 当 a0 时，由于 f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b

21、)， 1 2 ，使得 f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)=af“( 2 )一 af“( 1 ) 因为 f“(x)在(0，c)内单调减少，所以 f“( 2 )f“( 1 )，于是 f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)0， 即 f(a+b)f(a)+f(b)解析：25.证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用拉格朗日中值定理 )解析：26.证明：当 0ab 时，bsin b+2cos b+basin a+2cos a+a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xsin x+2cos x+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增 F

22、“(x)=sin x+xcos x 一 2sin x+=+xcos xsin x， 由此式很难确定 F“(x)在(0，)上的符号，为此有 F“(x)=一 xsin x0，x(0，)， 即函数 F“(x)在(0，)上单调递减，又 F“()=0，所以 F“(x)0，x(0，)， 于是 F(b)F(a)，即 bsin b+2cos b+basina+2cos a+a)解析：27.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)= ，其中 ln xln e=1，所以，f“(x)0，即函数 f(x)单调递减所以，当 bae 时， )解析：28.证明：当 x0 时，

23、不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.证明：当 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 但是，2xcos x 一 2sin x+x 3 的符号无法直接确定，为此，令 g(x)=2xcos x 一 2sin x+x 3 ，则 g(0)=0，且 g“(x)=x 2 +2x(xsin x)0，所以，当 x(0， )时， g(x)=2xcos x 一 2sin x+x 3 0 )解析：30.(1)证明：当x充分小时，不等式 0tan 2 x 一 x 2 x 4 成立； (2)设 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 )解析：31.若函数

24、f(x)在(0，+)上有定义，在 x=1 点处可导，且对于任意的正数 a，b 总有 f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+)上处处可导，且 f“(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a=b=1，由于 f(ab)=f(a)+f(b)，则 f(1)=0于是 )解析：32.设 f(x)和 g(x)是对 x 的所有值都有定义的函数，具有下列性质： (1)f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)； (2)f(x)和 g(x)在 x=0 处可微，且当 x=0 时，f(0)=0，g(0)=1，f“(0)=1，g“(0)=0证明：f(x)对所有 x都可微，且 f“(x)=g(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)，g(x)在 x=0 处可微，所以有 )解析：33.用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(一 x)=f(x)，而 )解析：34.用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的周期为 T，即 f(x+T)=f(x)， )解析：