【考研类试卷】考研数学二-118 (1)及答案解析.doc

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1、考研数学二-118 (1)及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设*，且 f“(0)存在，则( )（分数：4.00）A.a=2，b=2，c=1B.a=-2，b=-2，c=-1C.a=-2，b=2，c=1D.a=-2，b=2，c=-12.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f“(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0( )（分数：4.00）A.至少有一个根B.只有一根C.没有根D.有无根无法确定3.设 f(x)连续，则*为( )（分数：4.00）A.0B.f(x+b)C.f(x+b)-f(x+a)D.f(b+y)-

2、f(a+y)4.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.x=x0为 f(x)的极大点B.x=x0为 f(x)的极小点C.(x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点D.(x0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5.设 a0，b0 为两个常数，则*为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 mn 矩阵，r（分数：4.00）A.=n，则下列结论不正确的是( )(A) 若 AB=0，则 B=0B.对任意矩阵 B，有 r(AB)=r(B)C.存在 B，使得 BA=ED.)7.设

3、 AX=b 为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1， 2， 3为 AX=b 的三个线性无关解，*，则方程组 AX=b 的通解为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.8.设*，则*为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2，*则 g“(2)=_（分数：4.00）填空项 1:_10.*（分数：4.00）填空项 1:_11.*（分数：4.00）填空项 1:_12.*（分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 y“+y=-2x 的通解为 1（分数：4.00）填空项

4、 1:_14.*（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，*证明：存在 (0，1)，使得 f“()8（分数：11.00）_16.求不定积分*（分数：11.00）_17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且*，f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得*（分数：11.00）_18.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明： *（分数：11.00）_19.计算二重积分*，其中积分区域 D=(x，y)|0x 2yx1（分数：11.0

5、0）_20.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ex+ey=ez确定，其中 f 二阶连续可偏导，求*（分数：11.00）_21.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x 的通解（分数：11.00）_22.设矩阵 A 满足 A(E-C-1B)TCT=E+A，其中*，求矩阵 A（分数：11.00）_23.设二次型*的秩为 1，且(0，1，-1) T为二次型的矩阵 A 的特征向量 () 求常数 a，b； () 求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX 化为标准形（分数：11.00）_考研数学二-118 (1)答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数

6、：8，分数：32.00)1.设*，且 f“(0)存在，则( )（分数：4.00）A.a=2，b=2，c=1B.a=-2，b=-2，c=-1C.a=-2，b=2，c=1 D.a=-2，b=2，c=-1解析：f(0-0)=f(0)=c，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1， * * 因为 f“(0)存在，所以 a=-2，选(C)2.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f“(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0( )（分数：4.00）A.至少有一个根B.只有一根 C.没有根D.有无根无法确定解析：当 x1 时，由 f(x)-f(1)=f()(x-1)k(x

7、-1)得 f(x)f(1)+k(x-1)，于是*因为 f(x)在1，+)上连续且 f(1)0，所以 f(x)=0 在(1，+)内至少有一个根，又因为 f(x)k0，所以 f(x)单调增加，于是 f(x)=0 在(1，+)内有且仅有一个根，选(B)3.设 f(x)连续，则*为( )（分数：4.00）A.0B.f(x+b)C.f(x+b)-f(x+a) D.f(b+y)-f(a+y)解析：*4.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.x=x0为 f(x)的极大点B.x=x0为 f(x)的极小点C.(

8、x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点 D.(x0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：* 由极限的保号性，存在 0，当 0|x-x 0| 时，* 当 x(x 0-，x 0)时，f“(x)0；当 x(x 0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)5.设 a0，b0 为两个常数，则*为( ) *（分数：4.00）A. B.C.D.解析：令*，当 x0 +时，m+，其中 01，则*6.设 A 是 mn 矩阵，r（分数：4.00）A.=n，则下列结论不正确的是( )(A) 若 AB=0，则 B=0B.对任意矩阵 B，有 r(AB)=r

9、(B)C.存在 B，使得 BA=ED.) 解析：因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0 只有零解，而由 AB=O 得 B 的列向量为方程组 AX=0 的解，故若AB=O，则 B=O； 令 BX=0，ABX=0 为两个方程组，显然若 BX=0，则 ABX=0，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=n，所以方程组AX=0 只有零解，于是 BX=0，即方程组 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组，故 r(AB)=r(B)； 因为 r(A)=n，所以 A 经过有限次初等行变换化为*，即存在可逆矩阵 P 使得 PA=*，令 B=(En O)P，则BA=E； *，B=(1 1 1)，r(A)=1，但

10、r(BA)=0r(B)=1，选(D)7.设 AX=b 为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1， 2， 3为 AX=b 的三个线性无关解，*，则方程组 AX=b 的通解为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：因为 A 至少两行不成比例，所以 r(n)2，又因为 AX=b 有非零解，所以 r(A)=*，于是 r(A)=2，故方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 = 1+ 2+ 3-3 1=*8.设*，则*为( ) *（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1

11、)=2，*则 g“(2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：* *10.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：当 0x1 时，* 当 x=1 时，f(x)=0； 当 x1 时，* *11.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：* 由极限的保号性，存在 0，当 0|x-x 0| 时，* 当 x(x 0-，x 0)时，f“(x)0；当 x(x 0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)13.微分方程 y“+y=-2x 的

12、通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1cosx+C2sinx-2x）解析：y“+y=-2x 的特征方程为 2+1=0，特征值为 1,2=i，y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx，又y“+y=-2x 显然有特解 y=-2x，故方程 y“+y=-2x 的通解为 y=C1cosx+C2sinx-2x14.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：因为 B=AE12(2)E13，所以|B|=|A|E 12(2)|E13|=-3，又因为 B*=|B|B-1，所以*， *三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)二阶可导，且

13、f(0)=f(1)=0，*证明：存在 (0，1)，使得 f“()8（分数：11.00）_正确答案：(因为*，所以存在 c(0，1)，使得 f(c)=-1 且 f(c)=0, 由泰勒公式得 * * 故存在 (0，1)，使得 f“()8)解析：16.求不定积分*（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且*，f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得*（分数：11.00）_正确答案：(由*，得 f(0)=0，f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2，P(1)=1，P(2)=6

14、， 解得*，C=2，D=0 令* 则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0， 因此 (x)在0，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)， 使得 ( 1)=( 2)=0 又 (0)=0，由罗尔定理，存在 1(0， 1)， 1( 1， 2)，使得 “( 1)=“( 2)=0，再由罗尔定理，存在*，使得*)解析：18.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明： *（分数：11.00）_正确答案：(* 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f()f(x)， *)解析：19.

15、计算二重积分*，其中积分区域 D=(x，y)|0x 2yx1（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：20.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ex+ey=ez确定，其中 f 二阶连续可偏导，求*（分数：11.00）_正确答案：(由 ex+ey=ez得 *)解析：21.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x 的通解（分数：11.00）_正确答案：(特征方程为 2+-2=0， 特征值为 1=-2， 2=1，y“+y-2y=0 的通解为 y=C1e-2x+C2ex 设 y“+y-2y=xex (*) y“+y-2y=sin2x (*) 令(*)的特解为 y1(x)=(ax

16、2+bx)ex，代入(*)得*， 由 y“+y-2y=sin2x 得*， 显然*有特解*， 对*，令其特解为 y=Acos2x+Bsin2x,代入得*，则*，所以原方程的通解为 *)解析：22.设矩阵 A 满足 A(E-C-1B)TCT=E+A，其中*，求矩阵 A（分数：11.00）_正确答案：(由 A(E-C-1B)TCT=E+A 得 AC(E-C-1B)T=E+A， 即 E+A=A(C-B)T，E=A(C-B)-E T， *)解析：23.设二次型*的秩为 1，且(0，1，-1) T为二次型的矩阵 A 的特征向量 () 求常数 a，b； () 求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX 化为标准形（分数：11.00）_正确答案：(* * ()* *)解析：