【考研类试卷】考研数学三(微积分)模拟试卷148及答案解析.doc
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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 148 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义,且 f(x)在点 x 0 处间断,则在点 x 0 处必定间断的函数是( )(分数:2.00)A.f(x) sinxB.f(x)+sinxC.f 2 (x)D.|f(x)|3.设 f(x)在点 x=a 处可导,则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.f(a)=0,且 f(a)=0B.f(a)=
2、0,且 f(a)0C.f(a)0,且 f(a)0D.f(a)0,且 f(a)04.设函数 f(x)在(0,+)上具有二阶导数,且 f“(x)0,令 u n =f(n)(n=1,2,),则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散5.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x) 2 =1e x ,若 f(x 0 )=0(x 0 0),则( )(分数:2.00)A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x
3、0 )是 f(x)的极小值C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值,(x 0 ,f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点6.由曲线 y=1(x1) 2 及直线 y=0 围成的图形(如图 131 所示)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积y 是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.设函数 f(x,y)可微,且对任意 x,y 都有 (分数:2.00)A.x 1 x 2 ,y 1 y 2B.x 1 x 2 ,y 1 y 2C.x 1 x 2 ,y 1 y 2D.x 1 x 2 ,y 1 y 28.设函数 f(x)连续,若 F(u,)= ,
4、其中区域 D u 为图 141 中阴影部分,则 (分数:2.00)A.f(u 2 )B.C.f(u)D.f(u)9.下列命题成立的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.方程 y“一 3y+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)C.y=ae x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)D.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)二、填空题(总题数:9,分数:18.00)11. (分数:2.00)填空项 1:_12.已
5、知 (分数:2.00)填空项 1:_13.设函数 y= (分数:2.00)填空项 1:_14.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_15. (分数:2.00)填空项 1:_16.设 z=z(x,y)由方程 z+e z = xy 2 所确定,则 dz= 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.积分 0 1 dx (分数:2.00)填空项 1:_18.设 a 1 =1, a n =2 021,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_19.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_2
6、1. (分数:2.00)_22.证明 4arctanx x+ (分数:2.00)_23.设生产某产品的固定成本为 60 000 元,可变成本为 20 元件,价格函数为 P=60 (分数:2.00)_24. (分数:2.00)_25.设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续,且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0。证明对任何a0,1,有 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)。(分数:2.00)_26.设 z= f(x,y),x=g(y,z)+ ,其中 f,g, 在其定义域内均可微,求 (分数:2.00)_27.求曲线 x 3 xy +y 3 =1(x0
7、,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。(分数:2.00)_28.计算二重积分 (分数:2.00)_29.设 a n = tan n xdx。 ()求 (a n +a n+2 )的值; ()证明对任意的常数0,级数 (分数:2.00)_30.设幂级数 a n x n 在(一,+)内收敛,其和函数 y(x)满足 y“一 2xy一 4y=0,y(0)=0,y(0)=1。 ()证明:a n+2 = (分数:2.00)_31.设 f(u,)具有连续偏导数,且 f u (u,)+f (u,)=sin(12+)e u+ ,求y(x)=e 2x f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。(分数:2
8、.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 148 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义,且 f(x)在点 x 0 处间断,则在点 x 0 处必定间断的函数是( )(分数:2.00)A.f(x) sinxB.f(x)+sinx C.f 2 (x)D.|f(x)|解析:解析:若 f(x)+sinx 在 x=x 0 处连续,则 f(x)=f(x)+sinxsinx 在 x=x 0 处连续,与已知矛盾。因此 f(x
9、)+sinx 在点 x 0 必间断。故选 B。3.设 f(x)在点 x=a 处可导,则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.f(a)=0,且 f(a)=0B.f(a)=0,且 f(a)0 C.f(a)0,且 f(a)0D.f(a)0,且 f(a)0解析:解析:若 f(a)0,由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D。(当 f(x)在 x=a 可导,且f(a)0 时,|f(x)|在 x=a 点可导。) 当 f(a)=0 时,4.设函数 f(x)在(0,+)上具有二阶导数,且 f“(x)0,令 u n =f(n)(n=1,2,),则下列结论正确的是(
10、)(分数:2.00)A.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ,则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ,则u n 必发散 解析:解析:本题依据函数 f(x)的性质选取特殊的函数数列,判断数列u n = f(n)的敛散性。 取f(x)=lnx,f“(x)= 0,u 1 = lnl=0 ln2=u 2 ,而 f(n)=lnn 发散,则可排除A; 取 f(x)= 0,u 1 =1 =u 2 ,而 f(n)= 收敛,则可排除 B; 取 f(x)=x 2 ,f“(x)=20,u 1 =14=u 2 ,而 f(n)=n 2 发散,则可排除
11、 C; 故选 D。 事实上,若 u 1 u 2 ,则 5.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x) 2 =1e x ,若 f(x 0 )=0(x 0 0),则( )(分数:2.00)A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值,(x 0 ,f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析:由 f(x 0 )=0 知,x=x 0 是 y=f(x)的驻点。将 x=x 0 代入方程,得 x 0 f“(x 0 )+3x 0 f(x 0 ) 2
12、 =1 e x0 , 即得 f“(x 0 )= 6.由曲线 y=1(x1) 2 及直线 y=0 围成的图形(如图 131 所示)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积y 是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据选项,需要把曲线表示成 x=x(y),于是要分成两部分: 则所求立体体积为两个旋转体的体积差,其中7.设函数 f(x,y)可微,且对任意 x,y 都有 (分数:2.00)A.x 1 x 2 ,y 1 y 2B.x 1 x 2 ,y 1 y 2C.x 1 x 2 ,y 1 y 2D.x 1 x 2 ,y 1 y 2 解析:解析:由 8.设函数 f(x)连续,若 F(u,)=
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