1、考研数学三（微积分）模拟试卷 148 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f（x）在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是（ ）（分数：2.00）A.f（x） sinxB.f（x）+sinxC.f 2 （x）D.|f（x）|3.设 f（x）在点 x=a 处可导，则函数|f（x）|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.f（a）=0，且 f（a）=0B.f（a）=
2、0，且 f（a）0C.f（a）0，且 f（a）0D.f（a）0，且 f（a）04.设函数 f（x）在（0，+）上具有二阶导数，且 f“（x）0，令 u n =f（n）（n=1，2，），则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散5.已知函数 y=f（x）对一切的 x 满足 xf“（x）+3xf（x） 2 =1e x ，若 f（x 0 ）=0（x 0 0），则（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ）是 f（x）的极大值B.f（x
3、0 ）是 f（x）的极小值C.（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（x 0 ）不是 f（x）的极值，（x 0 ，f（x 0 ）也不是曲线 y=f（x）的拐点6.由曲线 y=1（x1） 2 及直线 y=0 围成的图形（如图 131 所示）绕 y 轴旋转一周而成的立体体积y 是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 f（x，y）可微，且对任意 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2B.x 1 x 2 ，y 1 y 2C.x 1 x 2 ，y 1 y 2D.x 1 x 2 ，y 1 y 28.设函数 f（x）连续，若 F（u，）= ，
4、其中区域 D u 为图 141 中阴影部分，则 （分数：2.00）A.f（u 2 ）B.C.f（u）D.f（u）9.下列命题成立的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.方程 y“一 3y+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x （Acos2x+Bsin2x）C.y=ae x +b+xe x （Acos2x+Bsin2x）D.y=ae x +b+e x （Acos2x+Bsin2x）二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.已
5、知 （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.设 z=z（x，y）由方程 z+e z = xy 2 所确定，则 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.积分 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_18.设 a 1 =1， a n =2 021，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2
6、1. （分数：2.00）_22.证明 4arctanx x+ （分数：2.00）_23.设生产某产品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=60 （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设 f（x），g（x）在0，1上的导数连续，且 f（0）=0，f（x）0，g（x）0。证明对任何a0，1，有 0 a g（x）f（x）dx+ 0 1 f（x）g（x）dxf（a）g（1）。（分数：2.00）_26.设 z= f（x，y），x=g（y，z）+ ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_27.求曲线 x 3 xy +y 3 =1（x0
7、，y0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（分数：2.00）_28.计算二重积分 （分数：2.00）_29.设 a n = tan n xdx。 （）求 （a n +a n+2 ）的值； （）证明对任意的常数0，级数 （分数：2.00）_30.设幂级数 a n x n 在（一，+）内收敛，其和函数 y（x）满足 y“一 2xy一 4y=0，y（0）=0，y（0）=1。 （）证明：a n+2 = （分数：2.00）_31.设 f（u，）具有连续偏导数，且 f u （u，）+f （u，）=sin（12+）e u+ ，求y（x）=e 2x f（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2
8、.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 148 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f（x）在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是（ ）（分数：2.00）A.f（x） sinxB.f（x）+sinx C.f 2 （x）D.|f（x）|解析：解析：若 f（x）+sinx 在 x=x 0 处连续，则 f（x）=f（x）+sinxsinx 在 x=x 0 处连续，与已知矛盾。因此 f（x
9、）+sinx 在点 x 0 必间断。故选 B。3.设 f（x）在点 x=a 处可导，则函数|f（x）|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.f（a）=0，且 f（a）=0B.f（a）=0，且 f（a）0 C.f（a）0，且 f（a）0D.f（a）0，且 f（a）0解析：解析：若 f（a）0，由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D。（当 f（x）在 x=a 可导，且f（a）0 时，|f（x）|在 x=a 点可导。） 当 f（a）=0 时，4.设函数 f（x）在（0，+）上具有二阶导数，且 f“（x）0，令 u n =f（n）（n=1，2，），则下列结论正确的是（
10、）（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散 解析：解析：本题依据函数 f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列u n = f（n）的敛散性。 取f（x）=lnx，f“（x）= 0，u 1 = lnl=0 ln2=u 2 ，而 f（n）=lnn 发散，则可排除A； 取 f（x）= 0，u 1 =1 =u 2 ，而 f（n）= 收敛，则可排除 B； 取 f（x）=x 2 ，f“（x）=20，u 1 =14=u 2 ，而 f（n）=n 2 发散，则可排除
11、 C； 故选 D。 事实上，若 u 1 u 2 ，则 5.已知函数 y=f（x）对一切的 x 满足 xf“（x）+3xf（x） 2 =1e x ，若 f（x 0 ）=0（x 0 0），则（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ）是 f（x）的极大值B.f（x 0 ）是 f（x）的极小值 C.（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（x 0 ）不是 f（x）的极值，（x 0 ，f（x 0 ）也不是曲线 y=f（x）的拐点解析：解析：由 f（x 0 ）=0 知，x=x 0 是 y=f（x）的驻点。将 x=x 0 代入方程，得 x 0 f“（x 0 ）+3x 0 f（x 0 ） 2
12、 =1 e x0 ， 即得 f“（x 0 ）= 6.由曲线 y=1（x1） 2 及直线 y=0 围成的图形（如图 131 所示）绕 y 轴旋转一周而成的立体体积y 是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据选项，需要把曲线表示成 x=x（y），于是要分成两部分： 则所求立体体积为两个旋转体的体积差，其中7.设函数 f（x，y）可微，且对任意 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2B.x 1 x 2 ，y 1 y 2C.x 1 x 2 ，y 1 y 2D.x 1 x 2 ，y 1 y 2 解析：解析：由 8.设函数 f（x）连续，若 F（u，）=
13、 ，其中区域 D u 为图 141 中阴影部分，则 （分数：2.00）A.f（u 2 ） B.C.f（u）D.f（u）解析：解析：题设图像中所示区域用极坐标表示为 0v，1ru 因此可知 根据变限积分求导可得 9.下列命题成立的是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 =0 中至少有一个不成立，则级数10.方程 y“一 3y+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x （Acos2x+Bsin2x）C.y=ae x +b+xe x （Acos2x+Bsin2x）D
14、.y=ae x +b+e x （Acos2x+Bsin2x） 解析：解析：齐次微分方程 y“一 3y+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0， 特征根为 r 1 =1，r 2 =2，则方程 y“-3y+2y=e x +1+e x cos2x 的特解为 y=axe x +b+e x (4cos2x+Bsin2x)， 故选 D。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式两边取对数，则有 等式两边分别对 x 求导，有13.设
15、函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设所求斜渐近线方程为 y= ax+b。因为 于是所求斜渐近线方程为15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 x2=t，dx=dt，当 x=1 时，t=1；当 x=4 时，t=2。于是16.设 z=z（x，y）由方程 z+e z = xy 2 所确定，则 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：方程两端对 x
16、 求偏导，17.积分 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 sin1）解析：解析：积分区域 D 如图 14 12 所示18.设 a 1 =1， a n =2 021，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2020）解析：解析：级数 （a n+1 一 a n ）的部分和数列为 S n =（a 2 a 1 ）+（a 3 a 2 ）+（a n+1 一 a n ）=a n+1 a n =a n+1 1。 则 19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2 +y）解析：解析：将 x 看作未知函数，则 上式为
17、 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y| x=2 =10，则 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该极限式为 1 型未定式，可直接利用重要极限公式 进行计算， )解析：22.证明 4arctanx x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（x）=4arctanx x+ 。则有 又因为 =一，根据介值定理可知，存在 （ ，+），使得 f（）=0。且当 x 时，f（x）0，f（x）单调下降，可得 x= 是区间（ ，+）内的唯一一个实根。 因此 4ar
18、ctanx x+ =0 恰有两个实根 x=)解析：23.设生产某产品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=60 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 P=60 ，因此 Q=1 000（60 P）。由 总成本 C（P）=60 000+20Q=1 260 000 20 000P， 总收益 R（P）=PQ=100P 2 +60 000P， 总利润 L（P）=R（P）C（P）=1000P 2 +80 000P 1 260 000。 （）边际利润 L（P）=2 000P+80 000。 （）当 P= 50 时的边际利润为 L（50）=2 00050 +80 0
19、00= 20 000，其经济意义为在 P= 50 时，价格每提高1 元，总利润减少 20 000 元。 （）由于 )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f（x），g（x）在0，1上的导数连续，且 f（0）=0，f（x）0，g（x）0。证明对任何a0，1，有 0 a g（x）f（x）dx+ 0 1 f（x）g（x）dxf（a）g（1）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F（x）= 0 x g（t）f（t）dt+ 0 1 f（t）g（t）dt 一 f（x）g（1）， 则 F（x）在0，1上的导数连续，并且 F（x）= g（x）f（x）f（x）g（
20、1）=f（x）g（x）一g（1）。 由于 x0，1时，f（x）0，g（x）0，因此 F（x）0，即 F（x）在0，1上单调递减。 注意到 F（1）= 0 1 g（t）f（t）dt + 0 1 （t）g（t）dt f（1）g（1），故 F（1）=0。 因此 x0，1时，F（x）F（1）=0，由此可得对任何 a0，1，有 0 a g（x）f（x）dx+f（x）g（x）dxf（a）g（1）。 0 a g（x）f（x）dx =g（x）f（x）| 0 a 一 0 a f（x）g（x）dx =f（a）g（a）一 0 a f（x）g（x）dx， 0 a g（x）f（x）dx+ 0 1 f（x）g（x） dx
21、 =f（a）g（a）一 0 a f（x）g（x）dx+ 0 1 f（x）g（x）dx = f（a）g（a）+ a 1 f（x）g（x）dx， 由于 x0，1时，g（x）0，因此 f（x）g（x）f（a）g（x），xa，1， a 1 f（x）g（z）dx 0 1 f（a）g（x）dx=f（a）g（1）g（a）， 从而 0 a g（x）f（x）dx+ 0 1 f（x）g（x）dxf（a）g（a）+f（a）g（1） g（a）=f（a）g（1）。)解析：26.设 z= f（x，y），x=g（y，z）+ ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z= f（x
22、，y），有 dz=f 1 dx+f 2 dy。 )解析：27.求曲线 x 3 xy +y 3 =1（x0，y0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 L（x，y）=x 2 +y 2 +（x 3 xy+y 3 1），令 得唯一驻点x=1，y=1，即 M 1 （1，1）。 考虑边界上的点，M 2 （0，1），M 3 （1，0），距离函数 f（x，y）= 在三点的取值分别为 f（1，1）= ，f（0，1）=1，f（1，0）=1，因此可知最长距离为 )解析：28.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是正方形区域（如图 1420
23、）。因在 D 上被积函数分块表示为 maxx 2 ，y 2 = 于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块： D= D 1 D 2 ，D 1 =D yx，D 2 =Dyx。 则 )解析：29.设 a n = tan n xdx。 （）求 （a n +a n+2 ）的值； （）证明对任意的常数0，级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为 )解析：30.设幂级数 a n x n 在（一，+）内收敛，其和函数 y（x）满足 y“一 2xy一 4y=0，y（0）=0，y（0）=1。 （）证明：a n+2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）记 n（n 一 1）a n
24、 x n2 ，代入微分方程 y“一 2xy一 4y=0 有 故有 （n+2）（n+1）a n+2 2na n 一 4a n =0， 即 a n+2 = a n ，n=1，2，。 （）由初始条件 y（0）=0，y（0）=1，知 a 0 =0，a 1 =1。 于是根据递推关系式 a n+2 = a n ，有 a 2n =0，a 2n+1 = 。 故 )解析：31.设 f（u，）具有连续偏导数，且 f u （u，）+f （u，）=sin（12+）e u+ ，求y（x）=e 2x f（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y（x）=e 2x f（x，x），有 y（x）=一 2e 2x f（x，x）+e 2x f 1 （x，x）+f 2 （x，x）， 由 f u （u，）+f （u，）=sin（u+）e u+ 可得 f 1 （x，x）+f 2 （x，x）=（sin2x）e 2x 。 于是 y（x）满足一阶线性微分方程 y（x）+2y（x）=sin2x。 通解为 y（x）=e 2x sin2xe 2x dx+C， 由分部积分公式，可得 sin2xe 2x dx= （sin2xcos2x）e 2x ， 所以 y（x）= )解析：
