【考研类试卷】考研数学三-254及答案解析.doc

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1、考研数学三-254 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设在区间(0，+)内函数 f(x)的原函数为 F(x)，则 A B （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数图形如下图所示，则在(-，+)内 （分数：4.00）A.函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点B.函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f(x)有一个拐点C.函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有一个拐点D.函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点3.设 z=f(x 2 -y 2 ，e

2、xy )，其中 f(u，v)具有连续二阶偏导数，则 （分数：4.00）A.(x2+y2)exyf“vB.4xyf“u+2xyexyf“vC.(x2+y2)exyf“uD.2xyexyf“v4.设函数 f(x，y)连续，则累次积分 等于 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量 （分数：4.00）A.r(1，2，3)2B.r(1，2，4)2C.r(1，3，4)3D.r(2，3，4)36.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax，其矩阵 A 满足 A 3 =A，且行列式|A|0，矩阵 A 的迹 trA0，则此二次型的规范形为 A B C D （分数：4.00）

3、A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，其分布函数和概率密度分别为 F(x)和 f(x)，则随机变量Z=minX，Y)的概率密度为（分数：4.00）A.2F(x)f(x)B.21-F(x)f(x)C.21-f(x)F(x)D.21-F(x)1-f(x)8.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自指数总体 E()的简单随机样本， 和 S 2 分别是样本均值和样本方差若 ，则 k= A1 B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.微分方程 2x 3 y“=y(2x 2 -y 2 )满足 y(1)=1

4、 的解为 1 （分数：4.00）11.曲线 （分数：4.00）12.无穷级数 （分数：4.00）13.设 1 =(1，2，0) T ， 2 =(-1，0，2) T 分别是 3 阶矩阵 A 属于特征值-1，1 的特征向量，记=(-2，-2，2) T ，则 A= 1 （分数：4.00）14.从 1，2，5 这 5 个数字中不放回地每次取一个数，先后取两次，以 X，Y 分别表示先后两次取到的数字，则 DY= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 9 分) ()设 x(0，+)，证明： ()记 （分数：9.00）_16.(本题满分 10 分) 设某产品的需求

5、函数为 Q=Q(p)，收益函数为 R=pQ，其中 p 为产品价格，Q 为需求量(产品的产量)，Q(p)为单调减函数如果当价格为 p 0 ，对应产量为 Q 0 时，边际收益 收益对价格的边际效应 （分数：10.00）_17.(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系中，求椭圆 C：z 2 +2xy+5y 2 -16y=0 与直线 L：x+y-8=0 的最短距离 （分数：10.00）_18.(本题满分 10 分) 设区域 D=(x，y)|xy ，计算二重积分 （分数：10.00）_19.(本题满分 11 分) 求幂级数 （分数：11.00）_20.(本题满分 11 分) 设 n 元(n3)线性方程组

6、 Ax=b，其中 （分数：11.00）_21.(本题满分 11 分) 设实对称矩阵 （分数：11.00）_22.(本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间(0，1)上的均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布 ()求概率 PX+Y1； ()令 （分数：11.00）_23.(本题满分 11 分) 设袋中有 2 个红球，2 个黑球现从中不放回随机取球，每次取 1 个记 X 为首次取到黑球时取球的次数，Y 为第二次取到黑球时取球的总次数 ()求(X，Y)的概率分布； ()求 X=2 条件下关于 Y 的条件分布律； ()求 X 与 Y 的协方差 cov(X，Y)，并问

7、X 与 Y 是否相互独立? （分数：11.00）_考研数学三-254 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设在区间(0，+)内函数 f(x)的原函数为 F(x)，则 A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查求变限积分函数的导数问题由于被积函数中隐藏着求导变量 x，故要先处理之，再求导 解 因 故 令 ，则 2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数图形如下图所示，则在(-，+)内 （分数：4.00）A.函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点B.函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f

8、(x)有一个拐点 C.函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有一个拐点D.函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点解析：解析 本题考查函数的极值、拐点问题见到求函数的单调区间、极值，函数曲线的凹凸区间、拐点问题，就想“四步八个字”定域、找点、分段、判断，其关键是要先找出驻点和 f“(x)不存在的点及 f“(x)的零点和 f“(x)不存在的点 解 由题设所给 y=f“(x)的图形可看出，f“(x 1 )=f“(x 2 )=f“(x 3 )=0，f(x)在 x=0 处不可导，即 f(x)可能有 4 个极值点，且曲线 y=f“(x)在 x 轴上方时 f“(x)0，在 x 轴下

9、方时 f“(x)0，可见这四个点都是极值点(x 1 ，x 2 为极大值点，原点与 x 3 为极小值点，为什么?) 3.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中 f(u，v)具有连续二阶偏导数，则 （分数：4.00）A.(x2+y2)exyf“v B.4xyf“u+2xyexyf“vC.(x2+y2)exyf“uD.2xyexyf“v解析：解析 本题考查求二元抽象复合函数偏导数问题，利用多元复合函数的链式法则求解即可 解 因 故 4.设函数 f(x，y)连续，则累次积分 等于 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查交换二重积分的累次积分次序问题，其一般

10、方法是“找边界、画草图、换次序”，即由所给累次积分找到积分区域的边界曲线方程，然后画出积分区域，交换积分次序即可 解 由题设所给累次积分可画出积分区域如下图所示，故有 5.设向量 （分数：4.00）A.r(1，2，3)2B.r(1，2，4)2C.r(1，3，4)3 D.r(2，3，4)3解析：解析 本题考查求数值型向量组的秩的问题，只是其中有参数此类问题的一般方法是将向量组按列排组成矩阵，对此矩阵作初等行变换可得 解 对( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，得 由此可见，无论 a，b，c，d 为何值，总有行列式|( 1 ， 3 ， 4 )|=0，即 r( 1 ， 3 ， 4 )3而

11、6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax，其矩阵 A 满足 A 3 =A，且行列式|A|0，矩阵 A 的迹 trA0，则此二次型的规范形为 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查求抽象二次型的规范形由题设条件特点只要求得 A 的特征值即得 解 由条件 A 3 =A 可知 A 的特征值必满足 3 =，故 =0，1又由|A| 1 2 3 0， trA= 1 + 2 + 3 0 知，矩阵 A 的特征值为 1，-1，-1，故二次型 x T Ax 的规范形为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 7.设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，其分布函

12、数和概率密度分别为 F(x)和 f(x)，则随机变量Z=minX，Y)的概率密度为（分数：4.00）A.2F(x)f(x)B.21-F(x)f(x) C.21-f(x)F(x)D.21-F(x)1-f(x)解析：解析 本题考查随机变量的最大值、最小值分布问题利用分布函数法解之即可 解 因 F Z (x)=Pmin(X，Y)x=1-Pmin(X，Y)x =1-PXx，Yx)=1-PXx)PYx)=1-1-F(x) 2 ， 故 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自指数总体 E()的简单随机样本， 和 S 2 分别是样本均值和样本方差若 ，则 k= A1 B2 C D （分数：4.00）A.B

13、.C.D. 解析：解析 本题考查求统计量的数字特征问题，利用“已知分布法”和“运算性质法”求解即可 解 因 由 得 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查导数的几何意义及参数方程确定的函数的导数问题，由参数方程确定的函数的导数公式可得 解 曲线上任意一点处的切线斜率为 又直线 2x-y=0 的斜率为 2，故由题设可知 于是点 M 的坐标是 10.微分方程 2x 3 y“=y(2x 2 -y 2 )满足 y(1)=1 的解为 1 （分数：4.00）解析：x 2 =y 2 (ln|x|+1) 解析 本题考查求齐次方程的特解，利用齐次方程的求解方

14、法解之即可 解 原方程可变形为 则方程化为 两边积分，得 由 y(1)=1 得 C=e，故有 11.曲线 （分数：4.00）解析： 解 曲线 是双曲线 y 2 -x 2 =1 的第一象限部分由微元法，得所求体积为(以 y 为积分变量简单) 注 本题若以 x 为积分变量，则所求体积的积分表达式为 12.无穷级数 （分数：4.00）解析： 解 因 则 于是 而 根据级数的运算性质得 13.设 1 =(1，2，0) T ， 2 =(-1，0，2) T 分别是 3 阶矩阵 A 属于特征值-1，1 的特征向量，记=(-2，-2，2) T ，则 A= 1 （分数：4.00）解析：(0，2，2) T 解析

15、本题表面上是矩阵运算问题，但矩阵 A 未知，不能利用矩阵乘法求解，要利用特征值、特征向量计算本题的关键是要能够从所给向量 1 ， 2 ，“看出”= 2 - 1 ! 解 由题设条件可知， A 1 =- 1 ，A 2 = 2 ，= 2 - 1 ，故 A=A( 2 - 1 )=A 2 -A 1 - 2 + 1 =(0，2，2) T 注 若不能看出 = 2 - 1 ，则要构造非齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 =，求其解即可若此方程组无解，则此题不可解14.从 1，2，5 这 5 个数字中不放回地每次取一个数，先后取两次，以 X，Y 分别表示先后两次取到的数字，则 DY= 1 （分数：4.00

16、）解析：2 解析 本题考查求离散型随机变量 Y 的方差，要先求出 Y 的分布律“三大纪律”：定取值，算概率，验证 1，其中“算概率”要用到全概公式 解 Y 的所有可能取值为 1，2，3，4，5，且 同理可得 PY-2)=PY=3)=PY=4=PY=5= 故随机变量 y 的分布律为 于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 9 分) ()设 x(0，+)，证明： ()记 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 因 x0 时， 故 解析 本题考查求 16.(本题满分 10 分) 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，收益函数为 R=pQ，其中 p 为产品价格，Q 为需求量

17、(产品的产量)，Q(p)为单调减函数如果当价格为 p 0 ，对应产量为 Q 0 时，边际收益 收益对价格的边际效应 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由收益 R=pQ 对 Q 求导，注意到 p 与 Q 存在函数关系，得 由收益 R=pQ 对 p 求导，得 解析 由 R=pQ 分别求出 和 ，将它们与弹性 17.(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系中，求椭圆 C：z 2 +2xy+5y 2 -16y=0 与直线 L：x+y-8=0 的最短距离 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 P(x，y)为椭圆上任意一点，则点 P 到直线 L 的距离为 下面只要求 d 2 在约束

18、条件 x 2 +2xy+5y 2 -16y=0 下的最小值点即可 令 由 得(x 1 ，y 1 )=(2，2) 或 (x 2 ，y 2 )=(-6，2) 又 故椭圆 C 与直线 L 的最短距离为 18.(本题满分 10 分) 设区域 D=(x，y)|xy ，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图所示，显然积分区域 D 关于y 轴对称，而被积函数中 是 x 的奇函数，故 于是 19.(本题满分 11 分) 求幂级数 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得收敛半径 R=1，收敛区间为(-1，1)当 x=1 时， 收敛，故原级数绝对收敛，因而收敛域为-1，

19、1 设 显然 x=0 时，s(0)=0 当 x(-1，1)且 x0 时 而 故 因 s(x)在 x=1 处连续，故 s(1)=ln 2- ；x=-1 时，原级数为 因此 注 上述求解过程中用到了 20.(本题满分 11 分) 设 n 元(n3)线性方程组 Ax=b，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 因 故当 a1-n 且 a0 时，|A|0，此时方程组 Ax=b 有唯一解又 故由克拉默法则，得 当 a=0 时，Ax=b 为齐次线性方程组 Ax=0，由 知 r(A)=1，n-r(A)=n-1，由 得基础解系为 方程组 Ax=0 的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-

20、1 n-1 ，其中 k 1 ，k 2 ，k n-1 是任意常数 当 a=1-n 时，由 21.(本题满分 11 分) 设实对称矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 22.(本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间(0，1)上的均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布 ()求概率 PX+Y1； ()令 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()由题设条件可知随机变量 X 与 Y 的概率密度分别为 因 X 与 Y 相互独立，故(X，Y)的概率密度为 于是 ()因 i)当 z0 时，由 知 x，y 必异号，此时 与 f(x，y)的非零区域无交集，

21、F Z (z)=0 ii)当 z0 时，由 ，得 yzz(z0)，如下图所示，故 因此 解析 本题考查二维连续型随机变量的有关问题对于求概率 PX+Y1)，就想“基本法”与“化二维为一维法”，此处用“基本法”找交集、定类型、重转定，即计算一个二重积分；对于求函数 23.(本题满分 11 分) 设袋中有 2 个红球，2 个黑球现从中不放回随机取球，每次取 1 个记 X 为首次取到黑球时取球的次数，Y 为第二次取到黑球时取球的总次数 ()求(X，Y)的概率分布； ()求 X=2 条件下关于 Y 的条件分布律； ()求 X 与 Y 的协方差 cov(X，Y)，并问 X 与 Y 是否相互独立? （分数：11.00）_正确答案：()解析：()由题意可知 X 的所有可能取值为 1，2，3；Y 的所有可能取值为 2，3，4，且 故(X，Y)的分布律为 ()因 ，故二维随机变量(X，Y)在 X=2 的条件下关于 Y 的条件分布律为 ()由()可知， 故 由于 X 与 Y 的协方差 cov(x，y)=