【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷21及答案解析.doc
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1、考研数学一(线性代数)-试卷 21 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 1 , 2 , 3 均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1 - 2 , 1 -2 2 + 3 , (分数:2.00)A.4B.3C.2D.13.设 A 是秩为 n-1 的 72 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是 ( )(分数:2.00)A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 - 2 )4.设
2、 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0,现有命题 ()的解必是()的解; ()的解必是()的解; ()的解不一定是()的解; ()的解不一定是()的解 其中,正确的是 ( )(分数:2.00)A.B.C.D.5.n 维向量组 1 , 2 , s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )(分数:2.00)A.存在一组全为零的数忌 k 1 ,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 , 2 , s 中任意两个向量都线性无关C. 1 , 2 , s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k 1
3、,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 06.设有两个 n 维向量组() 1 , 2 , s ,() 1 , 2 , s ,若存在两组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s ,使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0,则 ( )(分数:2.00)A. 1 + 1 , s + s , 1 - 1 , s - s 线性相关B. 1 , s 及 1 , s 均线性无关C. 1 , s 及 1 , s 均线性相关D. 1 + 1 , s + s ,
4、 1 - 1 , s - s 线性无关7.已知向量组() 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则与()等价的向量组是 ( )(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1B. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 4 , 4 - 1C. 1 + 2 , 2 - 3 , 3 + 4 , 4 - 1D. 1 + 2 , 2 - 3 , 3 - 4 , 4 - 18.设向量组() 1 , 2 , s 线性无关,() 1 , 2 , t 线性无关,且 i (i=1,2,s)不能由() 1 , 2 , t 线性表出, i (i=1,2,t)不能由() 1 , 2
5、, s 线性表出,则向量组 1 , 2 , s , 1 , 2 , s ( )(分数:2.00)A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关,也可能线性无关D.以上都不对二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.已知 ABC=D,其中 A= (分数:2.00)填空项 1:_10.设 1 =1,0,-1,2 T , 2 =2,-1,-2,6 T , 3 =3,1,t,4 T ,=4,-1,-5,10 T ,已知 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 t= 1(分数:2.00)填空项 1:_11.已知 3 维向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则向量组 1 - 2 , 2 -k 3 ,
6、3 - 1 也线性无关的充要条件是 k 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 n 维向量组 1 , 2 , 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0,对于任意的 n 维向量 ,向量组 l 1 + 1 ,l 2 + 2 ,l 3 + 3 都线性相关,则参数 l 1 ,l 2 ,l 3 应满足关系 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 A 是 5 阶方阵,且 A 2 =O,则 r(A * )= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设四元齐次线性方程组()为 (分数:4.00)(1).求线性方
7、程组()的基础解系;(分数:2.00)_(2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解若没有,则说明理由(分数:2.00)_15.设 1 , 2 , t 和 1 , 2 , s 分别是 AX=0 和 BX=0 基础解系证明:AX=0 和BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 , 2 , t , 1 , 2 , s 线性相关(分数:2.00)_已知 1 =1,2,-3,1 T , 2 =5,-5,a,11 T , 3 =1,-3,6,3 T , 4 =2,-1,3,a T 问:(分数:6.00)(1).a 为何值时,向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关;(分
8、数:2.00)_(2).a 为何值时,向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关;(分数:2.00)_(3).a 为何值时, 4 能由 1 , 2 , 3 线性表出,并写出它的表出式(分数:2.00)_已知 (分数:6.00)(1). 可由 1 , 2 , 3 线性表出,且表达式唯一;(分数:2.00)_(2). 可由 1 , 2 , 3 线性表出,但表达式不唯一;(分数:2.00)_(3). 不能由 1 , 2 , 3 线性表出(分数:2.00)_16.设向量组 1 =a 11 ,a 21 ,a n T , 2 =a 11 ,a 22 ,a n2 T , s =a 1s ,a 2s ,a
9、1ts T 证明:向量组 1 , 2 , s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 (分数:2.00)_17.已知 1 , 2 , s 线性无关, 可由 1 , 2 , s 线性表出,且表示式的系数全不为零证明: 1 , 2 , s , 中任意 s 个向量线性无关(分数:2.00)_18.已知向量组 1 , 2 , s+1 (s1)线性无关, i = i +t i+1 ,i=1,2,s证明:向量组 1 , 2 , s 线性无关(分数:2.00)_设 A 是 33 矩阵, 1 , 2 , 3 是三维列向量,且线性无关,已知 A 1 = 2 + 3 ,A 2 = 1 + 3 ,A 3 =
10、 1 + 2 (分数:4.00)(1).证明:A 1 ,A 2 ,A 3 线性无关;(分数:2.00)_(2).求A(分数:2.00)_19.已知 A 是 n 阶矩阵, 1 , 2 , s 是 n 维线性无关向量组,若 A 1 ,A 2 ,A s 线性相关证明:A 不可逆(分数:2.00)_20.设 A 是 nm 阶矩阵,B 是 mn 矩阵,E 是 n 阶单位阵,若 AB=E证明:B 的列向量组线性无关(分数:2.00)_21.设 A 是 mn 矩阵,证明:存在非零的 ns 矩阵 B,使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n(分数:2.00)_考研数学一(线性代数)-试卷 21 答案解析(总分
11、:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 1 , 2 , 3 均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1 - 2 , 1 -2 2 + 3 , (分数:2.00)A.4 B.3C.2D.1解析:解析:由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b-b=0, A( 1 -2 2 + 3 )=A 1 -2A 2 +A 3 =b-2b+b=0, 3.设 A 是秩为 n-1 的 72 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 Ax=0
12、的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是 ( )(分数:2.00)A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 - 2 ) 解析:解析:因为通解中必有任意常数,显见(A)不正确由规 n-r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 , 1 + 2 与 1 - 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 , 2 是两个不同的解,那么 1 可以是零解,因而 k 1 可能不是通解如果 1 =- 2 0,则 1 , 2 是两个不同的解,但 1 + 2 =0,即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B),(C)由于 1 2 ,必有 1 - 2 0
13、可见(D)正确4.设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0,现有命题 ()的解必是()的解; ()的解必是()的解; ()的解不一定是()的解; ()的解不一定是()的解 其中,正确的是 ( )(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:当 A n x=0 时,易知 A n+1 x=A(A n x)=0,故()的解必是()的解,也即正确,错误 当 A n+1 x=0 时,假设 A n x0,则有 x,Ax,A n x 均不为零,可以证明这种情况下x,Ax,A n x 是线性无关的由于 x,Ax,A n x 均为 n 维向量,而 n+1 个 n
14、维向量都是线性相关的,矛盾故假设不成立,因此必有 A n x=0可知()的解必是()的解,故正确,错误故选(B)5.n 维向量组 1 , 2 , s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )(分数:2.00)A.存在一组全为零的数忌 k 1 ,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 , 2 , s 中任意两个向量都线性无关C. 1 , 2 , s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0解析:解析:可用反证法证明之必要性:假设有一向量,如 s 可由 1 ,
15、2 , s-1 线性表出,则 1 , 2 , s 线性相关,这和已知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出,充分性:假设 1 , 2 , s 线性相关 6.设有两个 n 维向量组() 1 , 2 , s ,() 1 , 2 , s ,若存在两组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s ,使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0,则 ( )(分数:2.00)A. 1 + 1 , s + s , 1 - 1 , s - s 线性相关 B. 1 , s 及 1 , s 均
16、线性无关C. 1 , s 及 1 , s 均线性相关D. 1 + 1 , s + s , 1 - 1 , s - s 线性无关解析:解析:存在不全为 0 的 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k 2 - 2 ) 2 +(k s - s ) s =0, 整理得 k 1 ( 1 + 1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 - 1 )+ 2 ( 2 - 2 )+ s ( s - s )=0,从而得 1 + 1 , s + s
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